四面体外接球的球心、半径求法四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什位置，半径是多少而无法解题。本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】 ：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c，则体对角线长为a2b2c2l a b c，几何体的外接球直径2R为体对角线长l即R 2222【例题】 ：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1，6 ,3，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE的长即：4R2 AB2 AC2 AD2D DE4R212326 16所以R 2球的表面积为S 4R216二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。B B2A AC C【原理】 ：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。PC 51，【例题】 ： 已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，PB 5，AB BC且PA 7，AC 10,求球O的体积。解：AB BC且PA 7，PB 5，PC 51，AC 10,因为7251 102所以知AC2 PA2 PC2所以PA PC所以可得图形为：在RtABC中斜边为AC在RtPAC中斜边为AC取斜边的中点O，在RtABC中OAOB OC2P PB BA A精选O OC C在RtPAC中OP OB OC所以在几何体中OP OB OC OA，即O为该四面体的外接球的球心R 1AC 524500所以该外接球的体积为V R333【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】 ：已知在三棱锥ABCD中，AD 面ABC，BAC 120，AB AD AC 2，求该棱锥的外接球半径。解：由已知建立空间直角坐标系0)A(0， 0， 0)B(2， 0， 0)D(0， 0， 2)C(1，3，zDAC由平面知识得yxB设 球 心 坐 标 为O(x, y,z)则AO BO CO DO, 由 空 间 两 点 间 距 离 公 式 知x2 y2 z2 (x2)2 y2 z2x2 y2 z2 x2 y2(z 2)2x2 y2 z2 (x1)2(y 3)2 z2解得x 1y 33z 1所以半径为R 12 （32221）1 33222【结论】 ：空间两点间距离公式：PQ (x1 x2) (y1 y2) (z1 z2)四、四面体是正四面体四面体是正四面体处理球的“内切”处理球的“内切” “外接”问题“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。一、棱锥的内切、外接球问题一、棱锥的内切、外接球问题精选例 1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图 1 所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a由图形的对称性知，点O也是外接球的球心设内切球半径为r，外接球半径为R正四面体的表面积S表 432a3a24正四面体的体积VABCD13232a AE aAB2 BE234123223223aa a312a123V1S表r VABCD，r ABCD3S表233a612a2123a2图 1362222 r2，得R aa，得R 3r在RtBEO中，BO BE EO，即R 34【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为h3h (h为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中44RtOBE建立棱长与半径之间的关系。例 2设棱锥M ABCD的底面是正方形，且MA MD，MA AB，如果AMD的面积为 1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解： AB AD, AB MA, AB 平面MAD，由此，面MAD 面AC.记E是AD的中点，从而ME AD.ME 平面AC，ME EF设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.如图 2，得截面图MEF及内切圆O不妨设O平面MEF，于是O是MEF的内心.设球O的半径为r，则r 图 22SMEF，设AD EF a, SAMD1.EF EM MF22 2EM ,MF a2,r aa22 2a a2aa222 2 22 1当且仅当a 2，即a 2时，等号成立.a2时，满足条件的球最大半径为2 1.精选当AD ME 练习：一个正四面体内切球的表面积为3，求正四面体的棱长。 （答案为：2）【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。二、二、 球与棱柱的组合体问题球与棱柱的组合体问题1 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心， 显然球心为正方体的中心。 设正方体的棱长为a，球半径为R。如图 3，截面图为正方形图 3图 4图 5EFGH的内切圆，得R a；22 与正方体各棱相切的球： 球与正方体的各棱相切， 切点为各棱的中点， 如图 4 作截面图， 圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R 2a。23 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA1作截面图得，圆O为矩形AA1C1C的外接圆，易得R A1O 3a。2例 3.在球面上有四个点P、A、B、且PA PB PC a,C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，那么这个球的表面积是_.解：解：由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角线CD 3aS球表面积3 3a2 4a22练习：练习：一棱长为2a的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为V 342a363a）24构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例 4.已知三棱柱ABC A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的 5 个面都相切，求球O1与球O2的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图， 再来探求半径之间的关系。解：如图 6，由题意得两球心O1、O2是重合的，精选图 6过正三棱柱的一条侧棱AA1和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a，则R23a，正三棱柱6的高为h 2R223a，由RtA1D1O中，得3223335 R22a2R1aaa336122，R15a12S1: S2 R1: R2 5:1，V1:V2 5 5 :1练习：正四棱柱ABCD A1B1C1D1的各顶点都在半径为R的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。 （答案为：4 2R）【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。222勾股定理知，假设正四面体的边长为a时，它的外接球半径为6a。4精选