第十八章第十八章 数学物理方程综述数学物理方程综述18.1 线性偏微分方程解法综述线性偏微分方程解法综述 对于二阶线性偏微分方程定解问题，前面我们介绍了对于二阶线性偏微分方程定解问题，前面我们介绍了几种主要解法，并详细阐述了其解题思路为了理解方便，几种主要解法，并详细阐述了其解题思路为了理解方便，对它们对它们综述如下综述如下：1.行波法行波法：先求出满足定解问题的：先求出满足定解问题的通解通解，再根据定解条件，再根据定解条件确定其定解问题的解确定其定解问题的解. 行波法是通解法中的一种特殊情形行波法是通解法中的一种特殊情形,行波法又称达朗贝尔行波法又称达朗贝尔(dAlembert)解法解法. 它不仅可以求解无它不仅可以求解无界区域的线性偏微分方程，而且能求解某些非线性偏微界区域的线性偏微分方程，而且能求解某些非线性偏微分方程分方程2.分离变量法分离变量法：先求出满足一定条件（如边界条件）的：先求出满足一定条件（如边界条件）的特特解族解族，然后再用线性组合的办法组合成，然后再用线性组合的办法组合成级数或含参数的积分级数或含参数的积分,最后最后构成适合定解条件的特解构成适合定解条件的特解； 这是求解这是求解线性偏微分方程定解问题的最主要方法线性偏微分方程定解问题的最主要方法从理从理论上说，分离变量法的论上说，分离变量法的依据依据是是SturmLiouville型方程的本型方程的本征值问题从征值问题从解题步骤解题步骤上上看，要求本征值问题所对应的定解看，要求本征值问题所对应的定解条件必须是条件必须是齐次的齐次的(若为非齐次，则若为非齐次，则需先齐次化需先齐次化)从而使从而使得这种解法对于得这种解法对于定解问题中微分方程的具体形式定解问题中微分方程的具体形式有一定的有一定的限制，同时对所讨论问题的限制，同时对所讨论问题的空间区域形状也有明显限制空间区域形状也有明显限制并且并且还涉及到正交曲面坐标系的选取还涉及到正交曲面坐标系的选取 在在具体求解具体求解时，当然还必须求解相应的常微分方程时，当然还必须求解相应的常微分方程的的本征值问题本征值问题除了本书中介绍过的几个本征值问题外，除了本书中介绍过的几个本征值问题外，也可能会出现其他的也可能会出现其他的特殊函数特殊函数3 幂级数解法幂级数解法：就是在某个任选点的邻域上，把待求的解：就是在某个任选点的邻域上，把待求的解表示为系数待定的级数，代入方程以逐个确定系数表示为系数待定的级数，代入方程以逐个确定系数勒让勒让德多项式、贝塞尔函数德多项式、贝塞尔函数即用幂级数解法求解得出这种解即用幂级数解法求解得出这种解法普遍，但计算量大，较为繁琐必要时可借助于计算机法普遍，但计算量大，较为繁琐必要时可借助于计算机迭代计算迭代计算4 格林函数法格林函数法：这种方法具有极大的理论意义它给出了：这种方法具有极大的理论意义它给出了定解问题的解和方程的非齐次项以及定解条件之间的关系，定解问题的解和方程的非齐次项以及定解条件之间的关系，因而便于讨论当方程的非齐次项或定解条件发生变化时，解因而便于讨论当方程的非齐次项或定解条件发生变化时，解是如何相应地发生变化的是如何相应地发生变化的. Green函数法函数法，已经成为理论物，已经成为理论物理研究中的常用方法之一理研究中的常用方法之一5. 积分变换方法积分变换方法：这种方法的：这种方法的优点优点是减少方程自变量的是减少方程自变量的数目从原则上说，无论对于时间变量，还是空间变量；数目从原则上说，无论对于时间变量，还是空间变量；无论是无界空间，还是有界空间；都可以采用积分变换无论是无界空间，还是有界空间；都可以采用积分变换的方法求解线性偏微分方程的的方法求解线性偏微分方程的定解问题定解问题但从实际计算上但从实际计算上看，还需要根据方程和定解条件的类型，选择最合适的积看，还需要根据方程和定解条件的类型，选择最合适的积分变换分变换反演问题反演问题，是关系到拟采用的积分变换是否实际，是关系到拟采用的积分变换是否实际可行的关键问题反演时涉及的积分很简单，甚至有现成可行的关键问题反演时涉及的积分很简单，甚至有现成的结果的结果(如查积分变换表，专用工具书等如查积分变换表，专用工具书等)可供引用，采用可供引用，采用积分变换的确可以带来极大的便利但若涉及的积分比较积分变换的确可以带来极大的便利但若涉及的积分比较复杂，而且没有现成的积分变换结果可供引用，那么复杂，而且没有现成的积分变换结果可供引用，那么反演反演问题就成为了积分变换的难点问题就成为了积分变换的难点 积分变换法和分离变量法积分变换法和分离变量法存在密切的联系例如，存在密切的联系例如，当本征值过渡到连续谱时，分离变量法就变为相应的积分当本征值过渡到连续谱时，分离变量法就变为相应的积分变换法变换法 另外，从另外，从实用的角度实用的角度来看，如果空间是有界的，一般来看，如果空间是有界的，一般说来，积分变换和分离变量法没有什么差别，故仍不妨采用说来，积分变换和分离变量法没有什么差别，故仍不妨采用分离变量法分离变量法 积分变换方法积分变换方法也具有分离变量法所没有的也具有分离变量法所没有的优点优点：它还可以：它还可以应用于求解某些非线性偏微分方程应用于求解某些非线性偏微分方程6. 保角变换法保角变换法这种方法的理论基础是这种方法的理论基础是解析函数所代表的解析函数所代表的变换具有保角性变换具有保角性这种解法主要用于二维这种解法主要用于二维Laplace 方程或方程或Poisson方程的边值问题，因为在保角变换下，前者的形式不方程的边值问题，因为在保角变换下，前者的形式不变，后者也只是非齐次项作相应的改变粗略地说，变，后者也只是非齐次项作相应的改变粗略地说，运用保运用保角变换，可以把角变换，可以把“不规则不规则”的边界形状化为规则的边界形状的边界形状化为规则的边界形状例如，可以把多边形化为上半平面或单位圆内再结合上例如，可以把多边形化为上半平面或单位圆内再结合上半平面或圆内的半平面或圆内的Poisson公式，就能直接求出二维公式，就能直接求出二维Laplace方方程的解程的解 运用保角变换运用保角变换，可以解决一些典型的物理问题或工程问题，可以解决一些典型的物理问题或工程问题例如，有限大小的平行板电容器的边缘效应问题，空气动力学例如，有限大小的平行板电容器的边缘效应问题，空气动力学中的机翼问题，以及其他一些流体力学问题又如，应用保角中的机翼问题，以及其他一些流体力学问题又如，应用保角变换法，可以把偏心圆化为同心圆变换法，可以把偏心圆化为同心圆7. 变分法变分法这个方法具有理论价值和实用价值在理论上，这个方法具有理论价值和实用价值在理论上，它可以把不同类型的偏微分方程的定解问题用相同的泛函语言它可以把不同类型的偏微分方程的定解问题用相同的泛函语言表达出来表达出来(当然不同问题中出现的泛函是不同的当然不同问题中出现的泛函是不同的)，或者说，把，或者说，把 不同的物理问题用相同的泛函语言表达出来正是由于这个不同的物理问题用相同的泛函语言表达出来正是由于这个原因，变分或泛函语言已经成为表述物理规律的常用工具之原因，变分或泛函语言已经成为表述物理规律的常用工具之一在实用上，变分法又提供了一种一在实用上，变分法又提供了一种近似计算近似计算的好办法有的好办法有效地利用物理知识，灵活巧妙地选取试探函数，可以使计算效地利用物理知识，灵活巧妙地选取试探函数，可以使计算大为简化在物理学中，无论过去或现在，变分法都是常用大为简化在物理学中，无论过去或现在，变分法都是常用的一种近似计算方法的一种近似计算方法 例如，在原子和分子光谱的计算中就广泛地采用了例如，在原子和分子光谱的计算中就广泛地采用了变分法变分法8.计算机仿真解法计算机仿真解法：利用：利用数学工具软件数学工具软件（Matlab,Mathematic,Mathcad）和和常用计算机语言常用计算机语言（Visual C+）等实现对数学物理等实现对数学物理方程的求解，参考计算机仿真部分对三类典型的数学物理方程的方程的求解，参考计算机仿真部分对三类典型的数学物理方程的求解及其解的动态演示求解及其解的动态演示9.数值计算法数值计算法: 对于边界条件复杂，几何形状不规则的数学物对于边界条件复杂，几何形状不规则的数学物理定解问题，精确求解很困难，甚至不可能的情形，拟采用数理定解问题，精确求解很困难，甚至不可能的情形，拟采用数值求解的方法其中主要的数值解法包括：值求解的方法其中主要的数值解法包括：有限差分法、蒙特有限差分法、蒙特卡洛（卡洛（Monte-Carlo）法等法等18.2 非线性偏微分方程非线性偏微分方程 前面我们讨论了前面我们讨论了线性偏微分方程定解问题的解法线性偏微分方程定解问题的解法, 而现实中而现实中的许多物理现象都是非线性地依赖于一些物理参量变化的的许多物理现象都是非线性地依赖于一些物理参量变化的, 从而从而描述这些现象的数学物理方程就是描述这些现象的数学物理方程就是非线性偏微分方程非线性偏微分方程. 非线性偏非线性偏微分方程有许多不同于线性偏微分方程的特征微分方程有许多不同于线性偏微分方程的特征, 比如线性偏微分比如线性偏微分方程的叠加原理对非线性偏微分方程就不再成立方程的叠加原理对非线性偏微分方程就不再成立, 从而基于叠加从而基于叠加原理的求解方法对非线性偏微分方程就不再适用原理的求解方法对非线性偏微分方程就不再适用. 另外另外, 解的性质解的性质也有许多本质的变化也有许多本质的变化. 自自20世纪世纪60年代以来，非线性方程在物理、化学、生物等各年代以来，非线性方程在物理、化学、生物等各个学科领域中不断出现，其研究内容日趋丰富与线性方程的个学科领域中不断出现，其研究内容日趋丰富与线性方程的定解问题一样，非线性方程同样存在定解问题的适定性，但后定解问题一样，非线性方程同样存在定解问题的适定性，但后者要复杂得多限于篇幅，我们主要介绍物理现象中典型的非者要复杂得多限于篇幅，我们主要介绍物理现象中典型的非线性方程及其求解方法，它们在非线性光学、量子场论和现代线性方程及其求解方法，它们在非线性光学、量子场论和现代通信技术等领域具有广泛的应用前景通信技术等领域具有广泛的应用前景典型非线性方程及其行波解典型非线性方程及其行波解在无限空间，在无限空间，线性或非线性偏微分方程线性或非线性偏微分方程（18.2.1）其中其中为包括包括时间和空和空间偏偏导数的微分算子。形如数的微分算子。形如 的解，称为上式的的解，称为上式的行波解行波解，其中，其中 为常数对线性偏微分方程，比如波动方程，则为常数对线性偏微分方程，比如波动方程，则 为满足一定条件的任意函数但对为满足一定条件的任意函数但对 非线性偏微分方程，由于叠加原理已不成立，非线性偏微分方程，由于叠加原理已不成立， 只能取只能取特定的形式才有可能满足特定的形式才有可能满足(18.2.1)事实上，满足式（事实上，满足式（18.2.1）的的特定形式特定形式 是方程的非线性本征模式由行波解可以是方程的非线性本征模式由行波解可以 分析非线性偏微分方程解的重要性质我们特别感兴趣的是非线分析非线性偏微分方程解的重要性质我们特别感兴趣的是非线性偏微分方程的所谓性偏微分方程的所谓“孤立波孤立波”形式的解形式的解 18.21 孤立波孤立波 1834 年年,英国科学家英国科学家S.Russel沿河边骑马时发现一个有趣的沿河边骑马时发现一个有趣的现象现象14,由于船的推动由于船的推动,河中涌起一个孤立的波河中涌起一个孤立的波,以几乎不变的速以几乎不变的速 度和不变的波形向前推进（如图度和不变的波形向前推进（如图18.1所示）所示）,很久以后才遇障碍而很久以后才遇障碍而消失消失. Russel后来发表了观察报告后来发表了观察报告,首先提出首先提出“孤立波孤立波”的名词概念的名词概念 .1895年年,荷兰数学家（荷兰数学家（D.J. Korteweg）和他的学生和他的学生(G. de Vries)在研在研究浅水波时究浅水波时,导出了如下形式的方程导出了如下形式的方程 (18.2.1) 其中其中 是常数，该方程以两位科学家命名而称为是常数，该方程以两位科学家命名而称为KdV方程方程. 由由 于方程左边第二项关于于方程左边第二项关于 是非线性的，是非线性的， 所以所以(18.2.1)是一非是一非 线性偏微分方程线性偏微分方程. 现在来寻求方程现在来寻求方程(18.2.1)的的平面前进波平面前进波(简称行波简称行波)解解,令令 (18.2.2)其中其中 是常数，将是常数，将(18.2.2)式代入式代入(18.2.1),得得对对 积分一次得积分一次得 （为任意常数）任意常数） (18.2.3)用用乘乘(18.2.3)式两式两边,并并对积分分,得得 ( 18.2.4)其中其中为任意常数由于孤立波是一个任意常数由于孤立波是一个局部波局部波,当当 及其各阶及其各阶导数都趋于零导数都趋于零 于是于是,由由(18.2.3),(18.2.4)式知式知, 时，有时，有 ,从而从而(18.2.4)式变成式变成 (18.2.5)从方程从方程(18.2.5)可看出可看出,只有当只有当 时时,KdV方方程才可能有实的程才可能有实的行波解行波解.当当时时, ,可知当可知当 由由变到到时,由零上升到由零上升到极大极大值,然后又然后又 下降到零下降到零,其图形大致形如图其图形大致形如图18.1所示所示,这种形状的波称为这种形状的波称为孤立波孤立波.下面我们来求下面我们来求 的具体表达式的具体表达式,为此把方程为此把方程 (18.2.5)写成变量写成变量分离的形式分离的形式 (18.2.6)查积分表查积分表,可解得可解得 (18.2.7)其中其中A为为积分常数积分常数.不妨设不妨设A=0 (否则对否则对 作平移作平移), 则则(18.2.7)可可化简化简为为 (18.2.8)这个函数的图形如图这个函数的图形如图18.1所示所示,它表示它表示KdV方程方程(18.2.1)有任意有任意波速波速c的孤立波解的孤立波解,其峰高为其峰高为 . 由由(18.2.8)式及图式及图18.1可得出结论可得出结论(1)波峰高与波速成正比波峰高与波速成正比;(2)由由(18.2.7)式知式知,当当 固定时固定时,相应的相应的 的绝的绝对值与对值与近似地成反比近似地成反比. 因此因此,速率速率大的孤立大的孤立波波,其波宽反而小其波宽反而小. 是钟形的正割双曲函数，其图形与浅水槽中观察到的是钟形的正割双曲函数，其图形与浅水槽中观察到的孤立波的形状相同上述孤立波的形状相同上述KdV方程的行波解方程的行波解(18.2.8)称为称为孤立波解孤立波解，从而在数学上证实了孤立波的存在从而在数学上证实了孤立波的存在20世纪世纪70年代两位美国科学家年代两位美国科学家 (Zabusky和和Kruskal)用用数值模拟证实数值模拟证实了：两个相对运动的孤立了：两个相对运动的孤立波在碰撞之后仍为两个稳定的，形状与碰撞前相同的孤立波，仅波在碰撞之后仍为两个稳定的，形状与碰撞前相同的孤立波，仅仅相位发生了变化，也就是说两个孤立波的碰撞类似于粒子之仅相位发生了变化，也就是说两个孤立波的碰撞类似于粒子之间的碰撞这种孤立波具有类似粒子的性能，因而这两位科学间的碰撞这种孤立波具有类似粒子的性能，因而这两位科学家将家将孤立波命名为孤立波命名为“孤立子孤立子”（Solition） 20世纪中世纪中,人们不仅在浅水波中发现孤立波人们不仅在浅水波中发现孤立波,在光纤通信在光纤通信,金属金属相变相变,神经传播等许多领域中都有神经传播等许多领域中都有”孤立波孤立波”现象现象, 即即某种现象或某种现象或信息脉冲以几乎恒定的形态进行传播信息脉冲以几乎恒定的形态进行传播. 非线性偏微分方程存在孤立波解，除非线性偏微分方程存在孤立波解，除KdV方程之外，还有方程之外，还有很多，如很多，如1）非线性薛定谔方程）非线性薛定谔方程(18.2.9)2）正弦）正弦戈登方程戈登方程(18.2.10) 此外，还有此外，还有Klein-Gordon 方程，方程，Toda非线性晶格非线性晶格方程方程等，这些非线性偏微分方程在等离子体物理、非线性光等，这些非线性偏微分方程在等离子体物理、非线性光学、量子场论和通信技术等领域都有着重要的地位和作用学、量子场论和通信技术等领域都有着重要的地位和作用18.2.2 冲击波冲击波本节研究另一类非线性偏微分方程本节研究另一类非线性偏微分方程 （18.2.11）式（式（18.2.11）称为）称为Burgers 方程方程其中其中 Burgers 方程方程 为常数，为常数，是非线性耗散方程是非线性耗散方程 下面我们以之为例来分析其冲击波解我们不妨设上式下面我们以之为例来分析其冲击波解我们不妨设上式有行波解，并具有下列形式有行波解，并具有下列形式（18.2.12） 将其代入将其代入Burgers 方程得到方程得到 （18.2.13）对积分得到分得到 （18.2.14）其中其中为积分常数上式改写成分常数上式改写成（18.2.15）设方程右边有两个实根设方程右边有两个实根（18.2.16）由于由于和和都是待定常数，取都是待定常数，取 于是式（于是式（18.2.15）为）为（18.2.17）上式上式积分可得到积分可得到（18.2.18）其中其中 （18.2.11）的）的行波解式行波解式（18.2.18），波的振幅和波速为），波的振幅和波速为为积分常数因此，我们得到了为积分常数因此，我们得到了Burgers方程方程（18.2.19）容易得到下列关系容易得到下列关系 式（式（18.2.18）称为）称为Burgers方程的冲击波解方程的冲击波解下面分析平衡点下面分析平衡点 和和 此把二阶方程（此把二阶方程（18.2.13）写成一阶方程组）写成一阶方程组的稳定性为的稳定性为 （18.2.20）在平衡点在平衡点 处，上述方程的系数矩阵的处，上述方程的系数矩阵的特征值特征值 满足满足 （18.2.21）容易求得二个特征值为容易求得二个特征值为因此因此 是不稳定平衡点对是不稳定平衡点对平衡点平衡点 可求得可求得 可可见 为稳定的平衡点从不稳定平衡点为稳定的平衡点从不稳定平衡点 向稳定平衡点向稳定平衡点 的的过渡速度由渡速度由宽度量度量描述，且决定于描述，且决定于 式（式（18.2.18）对对 微分可得到微分可得到 （18.2.22）显然，当然，当时， 回到回到 变量，上式表示向变量，上式表示向 方向传播的方向传播的“孤立孤立”波值得波值得 指出的是，从式（指出的是，从式（18.2.19）可见，）可见，“孤立孤立”波传播的速度与振波传播的速度与振幅有关，这也是幅有关，这也是非线性本征模式的典型特性非线性本征模式的典型特性