第三章 晶体的定向和晶面符号crystal orientating & crystallographic symbols 晶体定向的概念 晶体定向的原则 晶系的定向法则(重点)对称型的国际符号晶面符号 晶棱符号 晶带符号一、晶体的定向（三轴定向） 在晶体上确定坐标系统，即选坐标轴和确定各轴上的轴单位长度之比。(1) 晶轴晶轴：是交于晶体中心的三条直线。为x、y、z。(2) 轴角轴角:、(3) 轴长和轴率：轴长和轴率：晶轴是晶体中格子构造中的行列，轴单位是该行列上的结点间距。分别以 a、b、c表示，a:b:c为轴率。a、b、c和和、称之为晶体几何常数称之为晶体几何常数晶体的三轴定向: 选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。 晶体的四轴定向: 适用于六方和三方晶系一个直立轴，三个水平轴二、晶体定向原则结晶轴的选择应当符合晶体固有的对称性 首先选择对称轴和对称面的法线方向首先选择对称轴和对称面的法线方向 不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取 尽量使得晶轴之间夹角为90每个晶系的对称特点不同每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的因此每个晶系的选择晶轴的具体方法也不同具体方法也不同,见表见表4-1(此表非常重要，要熟记此表非常重要，要熟记). 等轴晶系的定向: 晶体几何常数为晶体几何常数为: a = b = g = 90, a = b = c三个互相垂直的L4, Li4或L2为 x, y, z 轴 z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平四方晶系的定向:晶体几何常数晶体几何常数: a = b = g = 90, a = b c唯一的L4或Li4为 z 轴; 相互 垂直的L2, 或相互垂直的对 称面法线, 或适当的晶棱为 x, y 轴 z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平斜方晶系的定向:晶体几何常数晶体几何常数: a = b = g = 90, a b c三个相互垂直的L2为 z, x, y 轴; 或L2为z轴, 相互垂直的对称面法线为 x, y 轴。 z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平。单斜晶系的定向:晶体几何常数晶体几何常数: a = g = 90, b 90a b cL2为 y 轴; 或对称面法线为 y 轴，z 轴起立， y 轴左右水平， x 轴前后向前下倾斜。三斜晶系的定向:晶体几何常数晶体几何常数: a b g 90 a b c适当的晶棱为 x, y, z 轴。 大致上 z 轴直立， y 轴左右， x 轴前后。三方和六方晶系的四轴定向：选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴的平面内选择三个相同的、即互成60交角的L2或P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴，即x 轴、 y 轴以及 u 轴晶体几何常数晶体几何常数: a = b = 90, g =120, a = b cz 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30 请注意请注意: 在晶体的宏观形态上根据对在晶体的宏观形态上根据对称特点选出的三根晶轴，与晶体内部结称特点选出的三根晶轴，与晶体内部结构的空间格子的三个不共面的行列方向构的空间格子的三个不共面的行列方向是一致的。是一致的。 为什么为什么?因为空间格子中三个不共面的因为空间格子中三个不共面的行列也是根据晶体的对称性，人为地画行列也是根据晶体的对称性，人为地画出来的。而晶轴也是根据晶体的对称性，出来的。而晶轴也是根据晶体的对称性，人为地选出来的。晶体的内部对称与晶人为地选出来的。晶体的内部对称与晶体的宏观对称是一致的，所以晶轴与三体的宏观对称是一致的，所以晶轴与三个行列就是一致的。个行列就是一致的。在三个行列上有在三个行列上有晶胞参数晶胞参数(a,b,c; ,),这些参数就构成了三个晶轴上这些参数就构成了三个晶轴上的轴单位和晶轴之间的夹角。的轴单位和晶轴之间的夹角。 晶体外形不可能知道轴单位晶体外形不可能知道轴单位, ,但根据对但根据对称性可以知道轴单位之间的比值关系称性可以知道轴单位之间的比值关系, ,即：即： a:b:c a:b:c 例如例如, , 等轴晶系的等轴晶系的 a:b:c =?a:b:c =? 四方晶系的四方晶系的 a:b:c =?a:b:c =?我们将我们将a:b:c (a:b:c (轴率轴率), ,(), ,(轴角轴角),),轴率与轴角统称轴率与轴角统称晶体常数。晶体常数。见下表。表见下表。表中列出的是中列出的是晶体常数特点。晶体常数特点。因为根据晶因为根据晶体的宏观形态只能定出晶体常数特点体的宏观形态只能定出晶体常数特点, ,不不能定出晶体常数。能定出晶体常数。各晶系的晶体几何常数特点等轴晶系等轴晶系：a = b = c，a = b = g = 90； 四方晶系四方晶系：a = b c，a = b = g = 90； 三方和六方晶系三方和六方晶系：a = b c，a = b = 90，g = 120； 三方晶系菱面体格子三方晶系菱面体格子：a = b = c，a = b = g 60 90 1092816斜方晶系斜方晶系：a b c，a = b = g = 90； 单斜晶系单斜晶系：a b c，a = g = 90，b 90； 三斜晶系三斜晶系：a b c，a b g； 晶系晶系 选轴原则选轴原则 晶体常数特点晶体常数特点等轴晶系等轴晶系以互相垂直的L4或Li4为X、Y、Z轴a = b = ca = b = g = 90四方晶系四方晶系L4或Li4为Z轴,以垂直Z轴，并互相垂直的L2或P的法线为X、Y轴a = b ca = b = g = 90三三方方晶晶系系及六方晶系及六方晶系以L3或 L6 或Li6 为Z轴，以垂直Z轴并彼此交角120的L2或P法线为X、Y、Ua = b ca = b = 90g = 120 斜方晶系斜方晶系以互相垂直的L2或P的法线为X、Y、Z轴a b ca = b = g = 90单斜晶系单斜晶系以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y轴的主要晶棱方向为X、Z轴a b ca = ga = g = 90 = 90 b b 90 90 三斜晶系三斜晶系以三个主要的晶棱方向为X、Y、Z轴a b c a b g三、对称型的国际符号（一）对称型的国际符号表示法q只写出对称型中的三类对称要素只写出对称轴，对称面，旋转反伸轴，其它对称要素可根据组合定理推导出来q国际符号中对称要素的表示法对称面：m对称轴：以轴次的数字表示，如1、2、3，4和6；旋转反伸轴：轴次数字上面加“-”号，如1、2、3、4和6。由于1=Li1=C 2=Li2=P=m，习惯用1代表对称中心m代表2。对称型的国际符号的书写：q符号位数：是由不超过三个的位组成q符号顺序：依不同晶系的规定排列q符号表示：每个位分别表示晶体该方向上所存在的全部对称要素。 即：平行的对称轴或旋转反伸轴垂直的对称面当这两类对称要素在同一方向上同时存在时，则写成分式的形式，例如，4/m)。不存在对称要素时，则将该位空着。每个晶系的国际符号写法见表42(此表很重要，要熟记！).举例： L2PC 的国际符号的写法qL2PC属于单斜晶系，只一个位，代表方向b0q第1方向(Y轴)上的对称要素，一个L2和垂直的对称面P，写成2m。q第二、第三位空着。q在此符号中没有写出c，它可根据组合定理推导出来。举例：举例：L L4 44L4L2 25PC5PC的国际符号的写法的国际符号的写法qL L4 44L4L2 25PC5PC四方晶系，国际符号三个位的方向：四方晶系，国际符号三个位的方向：c c0 0、a a0 0、(a(a0 0+b+b0 0) )。q第第I I方向方向(Z(Z轴轴) c) c0 0：L L4 4(4)(4)和垂直和垂直L L4 4对称面对称面P(m)P(m)，写做，写做4/m4/m；q第第方向方向(X(X轴轴) a) a0 0 ：一个：一个L L2 2(2)(2)和垂直的对称面和垂直的对称面P(m)P(m)，写做写做2/m2/m；q第第位位(X(X轴与轴与Y Y轴的角平分线轴的角平分线) (a) (a0 0+b+b0 0) ) ：一个：一个L L2 2(2)(2)和和垂直的对称面垂直的对称面P(m)P(m)，写做，写做2/m2/m。q将三个位的符号按照序位排列：将三个位的符号按照序位排列：4/m2/m2/m4/m2/m2/m。其余的没。其余的没有直接写出来，但根据组合定理可由符号中写出的对称有直接写出来，但根据组合定理可由符号中写出的对称要素推导出来。实际上简化成要素推导出来。实际上简化成4 4mmmmmm仍然可以导出对称仍然可以导出对称型的全部对称要素。所以，型的全部对称要素。所以，L L4 44L4L2 25PC5PC的国际符号通常都的国际符号通常都写成写成4 4mmmmmm。根据国际符号判断所属晶系q低级晶族对称特点判断：无2无m者为三斜晶系；2或m不多于1者为单斜晶系；2或m，多于1者为斜方晶系。q国际符号中一个高次轴时，首位符号定晶系。如首位是4或4者为四方晶系；q国际符号中第二位是3或3者为等轴晶系。四、晶面符号1、晶面符号的概念、晶面符号的概念 它是根据晶面(或晶体中平行于晶面的其他平面与各结晶轴的交截关系，用简单的数字符号形式来表达它们在晶体上方位的一种晶体学符号。 目前国际上通用的都是米氏符号(Millers symbol)，亦称米勒符号。 (hkl) (hkil) 晶面指数晶面指数2. 晶面符号的产生晶面符号的产生某晶面在X,Y,Z轴上的截距为2a,3b,6c, 那么截距系数为2, 3, 6, 倒数为1/2, 1/3, 1/6, 化简以后的倒数比为3:2:1, 写做(321),这就是该晶面的米氏符号。注意：三个晶轴上的轴单位不一定相等，所以，截距系数与截距不一定成正比。晶面符号有正负之分。(321)截距系数的倒数比四轴定向的晶面符号四轴定向的晶面符号定义同三轴定向，指数的排列顺序依次为X、Y、U和Z轴，轴率为1：1：1：C，C=c/a，用(h k i l)的形式表达， h:k:i:l=1/OX:1/OY:1/OU:1/OZ由于X、Y和U轴相交120，不难证明： h+k+i=0考察晶体模型晶面的晶面符号：考察晶体模型晶面的晶面符号：CubeOctahedron（111）（111） _（111） _ _（111） _ （100）（010）（001）五、晶棱符号、晶带与晶带定律1、晶棱符号晶棱符号：表征晶棱方向的符号，所有平行的晶棱具有同一个晶棱符号。晶棱符号只涉及方向, 不涉及具体位置。截距系数比：表达为u v w u:v:w = MR/a : MK/b : MF/c u v w = u v w此例：此例：u v w = 1 2 32、晶带晶带: ( (zone)zone)彼此间的交棱均相互平行的一组晶面之组合。晶带轴晶带轴晶带轴晶带轴( (zone axis)zone axis)用以表示晶带方向的一根直线，它平行于该晶带中的所有晶面，也就是平行于该晶带中各个晶面的公共交棱方向。晶带符号晶带符号晶带符号晶带符号( (zone symbol)zone symbol) 在晶体上用相应的晶带轴(晶棱)符号来表示。一个晶体上有多少个方向的晶棱，就有多少个晶带，实际晶体上的晶带是为数不多的。晶带符号晶带符号 例如例如 (110), (100), (110), (010)的交棱相互平行，组成一个晶带; 直线CC即可表达为此晶带的晶带轴 此组晶棱的符号,即该晶带轴的符号，为001（或者001）晶带 3、晶带定律晶带定律(zone law) 德国结晶学家魏斯提出：晶体上任何一个晶面至少属于两个晶带。也可以表述为：任意两晶棱（晶带）相交必可以决定一个可能晶面，而任意两个晶面相交必可决定一可能晶棱（晶带）。晶体形态如图。回答下列问题：对称型，所属晶族和晶系；如何进行晶体定向？各晶面的晶面符号； 单形名称和单形符号。第四章第四章 单形和聚形单形和聚形单形的概念 47种几何单形和146种结晶学单形 单形的命名 聚形及聚形分析 按晶体上的晶面种类，可将晶体的理想形态分为两类：一类是由等大同形的一种晶面组成，称为单形单形，几何形态不同的单形只有47种。另一类是由两种或两种以上的晶面所组成，称为聚形聚形。根据聚形上不同的晶面种类，可确定构成该聚形的单形数目及单形名称。 1、单形(simple form) ：是由对称要素联系起来的一组晶面的组合。也就是说，单形是一个晶体上能够由该晶体的所有对称要素操作而使它们相互重复的一组晶面。单形中所有晶面性质、大小、形状完全等同。2、146中结晶学上不同的单形根据单形的定义，有如下结论：(1) 若已知某个单形中的任一晶面，那么，通过对称型中全部对称要素的作用后，必可导出该单形的所有晶面，即整个单形本身；(2) 在不同的对称型中，由于彼此间在对称要素的种类及数目上是有区别的，因而将导出不同的单形；（3）在同一对称型中，若单形的晶面与对称要素间的相对方位关系不同，则导出的单形亦不同。晶面与对称要素间的三种关系：垂直：垂直：单面单面平行：平行：四方柱四方柱斜交：斜交：四方锥四方锥对于对于32种对称型，总共可推导出种对称型，总共可推导出146种结晶学上不同的种结晶学上不同的单形。单形。几何上不同的47种单形如果仅从几何性质考虑，即只考虑组成单形的晶面数目，各晶面间的几何关系（垂直、平行、斜交等），整个单形单独存在时的几何形状，而不考虑单形的真实对称性时，146种结晶学上不同的单形便可归并为几何性质不同的47种几何学单形。3.单形命名的依据：(1)整个单形的形状，如柱、锥、立方体等；(2)横切面的形状，如四方柱、菱方双锥等；(3)晶面的数目，如单面、八面体等；(4)晶面的形状，如菱面体、五角十二面体等。1）低级晶族，共有七种。A、单面，晶面为一个平面。B、平行双面，晶面为一对相互平行的平面。C、双面，又分反映双面及轴双面，为一对相交平面。D、斜方柱，由四个两两平行的晶面组成，晶棱平行，横切面为菱形。E、斜方单锥，四个全等不等边三角形组成，晶面相交于一点，底面为菱形，锥顶为L2出露点。F、斜方四面体，由四个全等不等边三角形组成，晶面互不平行，每棱的中点为L2出露点，通过晶棱中点的横切面为菱形。G、斜方双锥，由两个相同的斜方单锥底面对接而成。2 2）中级晶族）中级晶族，有一个高次轴的单形。晶面垂直高次轴可出现单面和平行双面。此外还有25种。A、柱类由若干晶面围成柱体，它们的棱相互平行，且平行于高次轴，按切面形状分为6种：三方柱、复三方柱，四方柱、复四方柱，六方柱、复六方柱。（复方柱之横切面两相邻内角不等，两相间内角相等）。B、单锥类:若干等腰三角形晶面相交高次轴于一点，底面垂直高次轴，形状与柱同，有6种单形：三方单锥、复三方锥，四方单锥、复四方单锥，六方单锥复六方单锥。C、双锥类:两相同的单锥底面对接而成。有六种单形。三方双锥、复三方双锥，四方双锥、复四方双锥，六方双锥、复六方双锥。D、四面体类有两种。四方四面体由四个互不平行的等腰三角形组成，相间二晶面的底相交，棱的中点为L2或Li4的出露点，通过腰中点的横切面为正方形。复四方偏三角面体将四面体的晶面平分为两个不等边三角形，对称要素的分布同四方四面体，过中心的横切面为复四边形。E、菱面体类有两种。菱面体，由六个两两平行的菱形晶面组成，上下错开60度。复三方偏三角面体，将菱面体晶面沿高次轴方向平分成两个三角形。F、偏方面体，晶面为偏四方形，与双锥类似，上下与高次轴各交于上一点，但错开一定角度，此类有：三方偏方面体，四方偏方面体，六方偏方面体。且分左右形。3 3）高级晶族）高级晶族单形，共有15个。A、四面体组：晶面为四个等边三角形或将等边三角形分割成三个或六个三角形、四边形、五边形、晶面垂直L3，晶棱中点垂直L2或Li4.有四面体，三角三四面体，四角三四面体，五角三四面体，六四面体。B、八面体组由八个等边三角形组成，晶面分割方式与四面体组完全相同。有八面体、三角三八面体、四角三八面体、五角三八面体、六八面体。C、立方体组由六个正方形晶面组成，晶棱以直角相交。有立方体及四六面体两种。D、十二面体组菱形十二面体，由12个菱形晶面组成，两平行，相邻晶面成120度或90度相交。五角十二面体12个五边形组成，五边形有四边长相等，另一边长不等。偏方十二面体垂直平分五角十二面体的不等长边所形成的二十四面体。单形符号单形符号（形号）：以简单的数字符号的形式来表征一个单形的所有组成晶面及其在晶体上取向的一种结晶学符号。 单形符号的构成单形符号的构成单形符号的构成单形符号的构成：在同一单形的各个晶面中，按一定的原则选择一个代表晶面，将它的晶面指数顺序连写而置于大括号内，例如写成h k l用以代表整个单形。 按“先前、次右、后上” 的法则选择代表晶面; 四方晶系 上上 Z轴正端 (111)，(111)，(111)，(111) 前前X轴正端 (111)，(111)，(111)，(111) 右右 Y轴正端 (111)，(111)，(111)，(111) 111有关单形的几个概念：有关单形的几个概念：1、开形(open form)和闭形(closed form): 由一个单形本身的全部晶面不能围成封闭空间的单形, 称为开形, 否则为闭形。单面、平行双面以及各种柱和单锥共17种单形为开形; 闭形共有30种;2、左形(left-hand form)和右形(right-hand form): 形状完全相同而在空间的取向正好彼此相反的两个形体，若相互间不能借助于旋转、但可借助于反映而使两者的取向达到一致，此二同形反向体即构成左形和右形。左形左形 右形右形左形左形 右形右形3、定形(fixed form)和变形(unfixed form): 若其晶面间的角度为恒定者，则属于定形，反之，即为变形。4、聚形和聚形分析聚形和聚形分析聚形聚形(combinations): 两个或两个以上单形的聚合。 在任何情况下，单形的相聚必定遵循对称性一致的原 则，即只有属于同一对称型的单形才能相聚!聚形分析：聚形分析： 同一单形的晶面形状, 大小, 性质完全相同; 一个聚形最多只可能由7种单形相聚; 聚形分析程序：聚形分析程序： 找出所有对称要素, 确定对称型、晶系和晶族; 确定单形的数目, 以及每种单形的晶面数, 与对称要素间关系等; 确定单形。四方柱和四方双锥四方柱和四方双锥的聚形示意图的聚形示意图 立方体和菱形十立方体和菱形十二面体及其聚形二面体及其聚形 CubeDodecahedron Octahedron111 111 _111 _111 _ 110 101 011 011 _110 _ 101 _110 101 011 011 _110 _ 101 _100 001 010 111 111 _111 _111 _ 思考题单形和聚形单形和聚形的概念。菱面体和三方双锥都是6个晶面，它们之间有什么区别？在47中几何单形中，下列单形能否相聚？ 八面体四方柱 六方柱菱面体 五角十二面体平行双面 三方双锥六方柱 斜方柱四方柱 三方单锥单面