第四章第四章动量动量物体状态的改变不仅与速度有关，还与物体状态的改变不仅与速度有关，还与物体的质量有关物体的质量有关（例：木、铁锤敲钉子）（例：木、铁锤敲钉子）物体状态的改变不仅与所受到的力有关，物体状态的改变不仅与所受到的力有关，还与力作用的延续时间有关还与力作用的延续时间有关（例：推车）（例：推车） 上一章我们讨论了力对上一章我们讨论了力对空间空间的积累效应，本的积累效应，本章讨论力对章讨论力对时间时间的积累效应，冲量与质点运动状的积累效应，冲量与质点运动状态的变化态的变化(即质点动量增量）之间的关系。即质点动量增量）之间的关系。动量（冲量）力对时间的积累动量（冲量）力对时间的积累冲量冲量动量动量 动量冲量动量定理动量冲量动量定理一、动量一、动量1定义：定义： 物体的物体的质量质量和它的运动和它的运动速度速度的乘积，称为动量。的乘积，称为动量。2矢量：矢量：大小：大小：方向方向：与物体的速度方向相同与物体的速度方向相同单位单位：直角分量式：直角分量式：二、冲量二、冲量1定义：定义：力力的作用与作用的作用与作用时间时间的乘积，称为冲量。的乘积，称为冲量。的方向决定于冲力的方向。的方向决定于冲力的方向。若为恒力若为恒力在在t1到到t2时间间隔内，力对物体的冲量时间间隔内，力对物体的冲量2矢量：矢量：方向方向：单位单位：描述作用在物体上的力描述作用在物体上的力 对时间的累积效应对时间的累积效应直角坐标系的直角坐标系的分量式分量式为为三、质点的动量定理三、质点的动量定理牛顿第二定律的动量形式牛顿第二定律的动量形式动量定理动量定理物理意义：物理意义：物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量。质点的动量定理质点的动量定理直角坐标直角坐标分量式分量式为为注意：注意：为矢量式，使用中为矢量式，使用中常伴以矢图，再用解析式计算。常伴以矢图，再用解析式计算。常用图解法求常用图解法求平均力平均力2.的方向是的方向是 ，即，即 的方向。的方向。 例例：一质量m=2.3kg的球以从水平方向飞来，以棒击球，击球后，球飞到竖直上方10m处下落，求棒给予球的冲量的大小和方向，如棒和球接触时间为0.02s，求垒球受到的平均冲力。 解：状态分析解：状态分析球与棒脱离到飞至最高点过程球与棒脱离到飞至最高点过程球与棒脱离到飞至最高点过程球与棒脱离到飞至最高点过程机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒v1= 20 m/s据动量原理作矢量图：据动量原理作矢量图：解析式解析式:问题问题：还有其它：还有其它的计算方法吗？的计算方法吗？法：用分量式求解法：用分量式求解其分量式为其分量式为例一摆长为例一摆长为L的单摆，一端固定于悬点的单摆，一端固定于悬点O，另一端系有一质量，另一端系有一质量为的小球，当其从摆线与竖直方向成最大摆角静止释放至竖为的小球，当其从摆线与竖直方向成最大摆角静止释放至竖直位置的过程中，重力的冲量如何？合外力的冲量如何？直位置的过程中，重力的冲量如何？合外力的冲量如何？动量定理中，是指合外力动量定理中，是指合外力的冲量，本题中重力只是外力中的冲量，本题中重力只是外力中的一个，故解重力的冲量时，不的一个，故解重力的冲量时，不能用，能用，解：重力冲量解：重力冲量周期周期只能用定义式：只能用定义式：合外力冲量合外力冲量 设锤与工件设锤与工件 碰撞前的速度为碰撞前的速度为 ，撞击后速，撞击后速 度度 。由机械能守恒定律有。由机械能守恒定律有例例2.一重锤从高度一重锤从高度h=1.5m处自静止下落，锤与被加工的处自静止下落，锤与被加工的工件碰撞后末速为。若打击时间工件碰撞后末速为。若打击时间 为为 和和 ，试计算这几种情形下平均冲击力与重力的比值，试计算这几种情形下平均冲击力与重力的比值.hy由动量定理：由动量定理：选取选取 y 坐标如图。坐标如图。解：解：计算结果：计算结果：在许多打击或碰撞问题中，只要持续时间足够短，在许多打击或碰撞问题中，只要持续时间足够短，略去诸如重力这类有限大小的力是合理的。略去诸如重力这类有限大小的力是合理的。结论：结论：例例3.一质点的运动轨迹如图所示。已知质点的质量为一质点的运动轨迹如图所示。已知质点的质量为20g ,在在A、B二位置处的速率为二位置处的速率为20m/s， 与与 x 轴成轴成45角，角， 垂垂直于直于 y 轴轴，求，求质质点由点由A点到点到B点点这这段段时间时间内，作用在内，作用在质质点点上外力的上外力的总总冲量。冲量。xyO解：解：由动量定理有由动量定理有总冲量：总冲量： 大小大小方向方向（与（与x轴正向夹角）轴正向夹角）AB例例4. 有一质量为有一质量为m=5kg的物体，在的物体，在0至至10秒内，受到如图秒内，受到如图所示的变力所示的变力 F 的作用，由静止开始沿的作用，由静止开始沿 x 轴正向运动，而轴正向运动，而力的方向始终为力的方向始终为 x 轴的正方向，则轴的正方向，则10秒内变力秒内变力 F 所做的所做的功为功为 。OF(N)t(s)5102040解：解： I = Ft 曲线下的面积曲线下的面积 动量守恒定理动量守恒定理一、系统的动量定理一、系统的动量定理单个质点的动量定理：单个质点的动量定理：质点系：质点系：m1 + m2m1 + m2：等于等于得：得：系统所受合外力的冲量，等于系统总动量的增量。系统所受合外力的冲量，等于系统总动量的增量。说明：内力的作用不会改变系统的动量，只有外力的作用说明：内力的作用不会改变系统的动量，只有外力的作用才会改变系统的动量。才会改变系统的动量。说明：由于内力做功不一定为，故其可改变系统的动能。说明：由于内力做功不一定为，故其可改变系统的动能。系统的动量定理系统的动量定理二、动量守恒定律二、动量守恒定律动量守恒定律：动量守恒定律：（由牛顿第二定律出发推出）由牛顿第二定律出发推出）如果系统所受的合外力为，即如果系统所受的合外力为，即则有为恒矢则有为恒矢PPrr,0=D（注意：并不意味着）（注意：并不意味着）物理意义：物理意义：若系统不受外力或所受的合外力为零时，若系统不受外力或所受的合外力为零时，系统内各物体的动量的矢量和保持不变，系统内各物体的动量的矢量和保持不变，即系统总动量守恒。即系统总动量守恒。动量守恒定律动量守恒定律2.动量守恒定律的使用动量守恒定律的使用说明说明进行条件分析进行条件分析动量守恒定律的形式为一矢式，使用中应取坐标，动量守恒定律的形式为一矢式，使用中应取坐标， 利用分量式求解。利用分量式求解。在平面问题中：在平面问题中： 只要某一个方向上满足守恒条件，则在该方向上只要某一个方向上满足守恒条件，则在该方向上的分动量守恒，即可在该方向上应用动量守恒定律。的分动量守恒，即可在该方向上应用动量守恒定律。应用动量守恒定律时，注意守恒式中各速度均应对同应用动量守恒定律时，注意守恒式中各速度均应对同 一惯性系而言。一惯性系而言。例例3. (书书p.88例例4-2)如图如图,总质量为总质量为M的载物小船以速度的载物小船以速度v 在静水中航在静水中航行行.然后然后 分别同时在船头和船尾以相对于船的速度分别同时在船头和船尾以相对于船的速度u 向前和向后抛向前和向后抛出质量为出质量为m和和2m的两物体的两物体.设设u 、v在同一直线上在同一直线上,问抛出两物体后问抛出两物体后,小船的速度变为多少小船的速度变为多少?设水平方向船受的阻力可以忽略设水平方向船受的阻力可以忽略.2mmM-2m-m 解解: 一个整体分为三个运动物一个整体分为三个运动物体体, 三物体速度重新分配三物体速度重新分配. 以船以船+两物为系统两物为系统, 水平方向阻水平方向阻力略去力略去, 因而水平方向动量守恒因而水平方向动量守恒. 选两物抛出前为初态选两物抛出前为初态,两物抛出两物抛出后为末态后为末态. 以岸为惯性系以岸为惯性系, 取向右为正取向右为正.末态末态: 船的质量船的质量 M-2m-m 此时船对岸速度设为此时船对岸速度设为末态末态XM-2m-mmM-2m-m初态初态2m重点是确定始末态船、物对惯重点是确定始末态船、物对惯性系的速度。性系的速度。初态初态: 系统质量系统质量M 系统对岸速度系统对岸速度 ,且且解：解：m+M条件分析：条件分析：抛球前后抛球前后状态分析：状态分析：抛球前抛球前M+m例例5.一运动员质量为一运动员质量为M，手中拿着质量为手中拿着质量为m的篮球自地面的篮球自地面以仰角以仰角 、初速度、初速度 斜向前跳起，跳至最高点时，以相斜向前跳起，跳至最高点时，以相对于人的速率对于人的速率u将球将球水平向后抛出，问运动员向前的距离水平向后抛出，问运动员向前的距离与不抛球时相比，增加多少？与不抛球时相比，增加多少？抛球后抛球后MmmV球地球地= m(V-u)系统：系统：动量守恒式：动量守恒式：复复 习习冲量冲量动量动量动量定理动量定理(单质点）单质点）(质点组质点组)动量守恒定律动量守恒定律例例6.炮车以炮车以 的仰角发射一颗炮弹，已知炮车重的仰角发射一颗炮弹，已知炮车重5000kg , 炮弹重炮弹重100kg , 炮弹对炮车的出口速度为炮弹对炮车的出口速度为 300m/s。求炮求炮车的反冲速度车的反冲速度 , 忽略炮车与缓冲垫间的摩擦。忽略炮车与缓冲垫间的摩擦。设炮车设炮车倒退时与垫子的相互作用时间为倒退时与垫子的相互作用时间为 2s, 求垫子受的平均冲力求垫子受的平均冲力.解解: 系统：系统：质量为质量为 M 的炮车的炮车+质量为质量为 m的炮弹的炮弹 总动量的水平分量守恒总动量的水平分量守恒 水平方向不受外力作用水平方向不受外力作用 （ P105 4-10）状态分析：状态分析：发射炮弹前发射炮弹前发射炮弹后的瞬间发射炮弹后的瞬间m M 解得：解得：守恒式：守恒式： 炮车的反冲速度大小为炮车的反冲速度大小为 5.09 m/s，方向与炮弹发射方向与炮弹发射的水平方向相反。的水平方向相反。M = 5000kg ，m = 100 kg，v = 300 m/s 由牛顿第三定律，垫子受的平均冲力为由牛顿第三定律，垫子受的平均冲力为12725N。由动量定理知，垫子给炮车的平均冲力为由动量定理知，垫子给炮车的平均冲力为用动量守恒定律求解问题的步骤：用动量守恒定律求解问题的步骤： 确定系统；确定系统； 进行受力分析和守恒条件分析；进行受力分析和守恒条件分析； 选取坐标系，确定相互作用前、后两时刻各物体选取坐标系，确定相互作用前、后两时刻各物体 的动量；的动量； 列方程求解列方程求解(有时还要联系与系统能量相关的方程有时还要联系与系统能量相关的方程).cabB例例7.质量分别为质量分别为 的的3个个重物重物a、b、c连接如图所示。当连接如图所示。当a下降时，下降时，b在楔子在楔子ABCD的水平面的水平面BC上向右滑动，上向右滑动，c则沿斜面则沿斜面AB上升。楔子质量上升。楔子质量M=100kg，如略去一切摩擦和绳子与滑轮的质量，求当如略去一切摩擦和绳子与滑轮的质量，求当重物重物a下降下降1m时，楔子相对于地面的位移？时，楔子相对于地面的位移？ACDMox解：解：系统：系统： M+a+b+c受力分析：受力分析：状态分析：状态分析： 取坐标取坐标ox 如图所示，设如图所示，设a、b、c对对M的速率为的速率为 为为M对地的速度。对地的速度。a下降下降1m后后0，a下降前下降前acbBACDMoxVV动量守恒式动量守恒式解得：解得：一、碰撞一、碰撞4-3 碰碰 撞撞碰撞的物体可能相互接触碰撞的物体可能相互接触也可能不直接接触也可能不直接接触两个或两个以上的物体相遇，相遇时物体间的相两个或两个以上的物体相遇，相遇时物体间的相互作用仅持续极短的时间，这种相遇称为互作用仅持续极短的时间，这种相遇称为碰撞碰撞。（如打击球间的碰撞、子弹射入墙内等）（如打击球间的碰撞、子弹射入墙内等） 粒子散射实验粒子散射实验 碰撞系统大都满足外力远小于内力，即碰撞系统大都满足外力远小于内力，即 ，故碰撞物体组成的系统动量守恒。故碰撞物体组成的系统动量守恒。二二.碰撞的共同规律碰撞的共同规律 完全弹性碰撞完全弹性碰撞 非弹性碰撞非弹性碰撞 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞碰撞过程中机械能守恒碰撞过程中机械能守恒宏观物体间一般为非弹性碰撞宏观物体间一般为非弹性碰撞碰撞过程中机械能（动能）不守恒碰撞过程中机械能（动能）不守恒两物体碰后结合在一起，并以同一速度运动两物体碰后结合在一起，并以同一速度运动三三.分类分类由于碰撞时物体间的相互作用力很大，其它的作用力可由于碰撞时物体间的相互作用力很大，其它的作用力可以略去，因此把相互作用的物体取为系统时，系统的动量以略去，因此把相互作用的物体取为系统时，系统的动量（或其动量在某一坐标方向的分量）守恒。（或其动量在某一坐标方向的分量）守恒。机械能不一定守恒。机械能不一定守恒。碰碰撞撞完全完全弹性碰撞弹性碰撞非非弹性碰撞弹性碰撞完全非完全非弹性碰撞弹性碰撞（粘在一块以同一粘在一块以同一速度速度运动运动）四四.遵循的规律遵循的规律例例4 P106 4-19 M=1000m, L=1米米,求？求？解：以子弹和砂袋组成的系解：以子弹和砂袋组成的系统为研究对象，它们发生的统为研究对象，它们发生的是是完全非完全非弹性碰撞。弹性碰撞。水平方向动量守恒水平方向动量守恒状态分析：碰前状态分析：碰前碰后碰后子弹砂袋子弹砂袋据动量守恒，有据动量守恒，有虽然碰撞时，机械能不守恒，虽然碰撞时，机械能不守恒，但从子弹射入砂袋到一起升高到但从子弹射入砂袋到一起升高到最高点的过程中，只有保守力最高点的过程中，只有保守力（重力）做功，故机械能守恒。（重力）做功，故机械能守恒。解之，得：解之，得：状态：状态： M = 1000m l = 1m例例5 P106 4-14分析：以人球为研究系统分析：以人球为研究系统抛球前后水平方向不受外力，故动量守恒。抛球前后水平方向不受外力，故动量守恒。解解: 条件分析：条件分析：状态分析：抛前状态分析：抛前抛后抛后人球人球对地速度对地速度据动量守恒，有据动量守恒，有0解之，得：解之，得：0因平抛与自由落体均对应于同一时间，从最高点到地因平抛与自由落体均对应于同一时间，从最高点到地面与从地面到最高点时间相同。则求到最高点所用时间面与从地面到最高点时间相同。则求到最高点所用时间？则有则有AB解：两个过程：解：两个过程： 子弹射入滑块子弹射入滑块弹簧被压缩弹簧被压缩第一过程第一过程系统：系统： 子弹子弹 例例9.在如图所示的光滑桌面上，一根轻弹簧（弹性系在如图所示的光滑桌面上，一根轻弹簧（弹性系数数k）两端各连质量为）两端各连质量为m的滑块的滑块A和和B。如果滑块。如果滑块被水平被水平飞来的质量为飞来的质量为m/4、速度为速度为 的子弹射中，并停留在其中的子弹射中，并停留在其中,试求运动过程中弹簧的最大压缩量。试求运动过程中弹簧的最大压缩量。第二过程第二过程子弹子弹A弹簧弹簧B系统：系统： 由于系统在水平方向不受外力作用，故系统在水由于系统在水平方向不受外力作用，故系统在水平方向上动量守恒。平方向上动量守恒。由机械能守恒有由机械能守恒有联立以上三个方程求解，得：联立以上三个方程求解，得：AB一、质点对一点的角动量一、质点对一点的角动量质点相对于质点相对于O 点的点的角动量或动量矩角动量或动量矩定义为定义为4-4 4-4 质点的角动量和角动量守恒定律质点的角动量和角动量守恒定律角动量的大小为角动量的大小为L = prsin = mvrsin 若质点绕若质点绕O 点作圆周运动，有点作圆周运动，有单位：单位： 例如天文上行星围绕太阳转，单位例如天文上行星围绕太阳转，单位时间内扫过的面积是一个与时间内扫过的面积是一个与 有关的问题。这个量称为角动量。有关的问题。这个量称为角动量。角动量的提出，是与转动相联系的角动量的提出，是与转动相联系的o m由由 转至转至 的的右手螺旋法右手螺旋法则确定的方则确定的方向向二、力对一点的力矩二、力对一点的力矩 作用于质点的力作用于质点的力 位于质点运动所在的平面上，它位于质点运动所在的平面上，它对定点对定点O 的力矩定义为的力矩定义为力矩大小为力矩大小为力臂力臂则则单位：牛顿米单位：牛顿米dr= =j jsino m由由 转至转至 的的右手螺旋法右手螺旋法则确定的方则确定的方向向三、质点的角动量定理和角动量守恒定律三、质点的角动量定理和角动量守恒定律牛顿第二定律牛顿第二定律对对 两边求时间的导数两边求时间的导数因此，得因此，得用用 从左侧叉从左侧叉乘等式两边乘等式两边力力 对点对点O的力矩的力矩 = 质点的角动量定理质点的角动量定理 作用于质点的合力对点作用于质点的合力对点O 的力矩的力矩等于质点对点等于质点对点O 的角动量对时间的导数的角动量对时间的导数如果合力如果合力 对点对点O 的力矩的力矩 ，则有，则有质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 特例特例：如果力的方向永远指向空间一定点，这种力就：如果力的方向永远指向空间一定点，这种力就称为有心力，该定点则称为力心。因为有心力对其力心的称为有心力，该定点则称为力心。因为有心力对其力心的力矩为零，故质点在有心力的作用下运动时，对其力心的力矩为零，故质点在有心力的作用下运动时，对其力心的角动量是守恒的。角动量是守恒的。若质点绕若质点绕O 点作点作圆周运动圆周运动，有，有常量常量有心力的力矩为零有心力的力矩为零解解 小球所受重力和桌面支承力互相抵消绳的拉力始终经小球所受重力和桌面支承力互相抵消绳的拉力始终经过过O点，对点，对O点的力矩为零质点的角动量守恒点的力矩为零质点的角动量守恒得得 例题例题4-6 在光滑桌面上开一个小孔，把系在轻绳一端的在光滑桌面上开一个小孔，把系在轻绳一端的小球放在桌面上，绳的另一端穿过小孔而执于手中，设开始小球放在桌面上，绳的另一端穿过小孔而执于手中，设开始时小球以速率时小球以速率 作半径为作半径为 r1 的圆周运动，然后向下拉绳使的圆周运动，然后向下拉绳使小球的转动半径减为小球的转动半径减为 r2 ，求这时小球的速率，求这时小球的速率 。O例例4-74-7用角动量守恒定律导出开普勒第二定律用角动量守恒定律导出开普勒第二定律- 行星单位时行星单位时间内扫过的面积相等。间内扫过的面积相等。作直线作直线bc垂直于垂直于oa， 因因 t很小很小 t t时间内扫过的面积时间内扫过的面积解：设行星绕太阳运解：设行星绕太阳运动动,在在时间时间 内，从内，从a点运动到点运动到b点，其速率点，其速率为为 。 t( (行星质量为行星质量为m)m)Oabc t t时间内扫过的面积时间内扫过的面积（证毕）（证毕） 因为行星是在有心力的作用下运动的，故角动量因为行星是在有心力的作用下运动的，故角动量守恒（守恒（L不变），行星的质量是常数不变），行星的质量是常数.所以所以Oabc例题例题4-8 哈雷慧星围绕太阳作轨道为椭圆的运动，慧星轨哈雷慧星围绕太阳作轨道为椭圆的运动，慧星轨道上的近日距离为道上的近日距离为 Rp = 0.885 1011 m, R = 52.5 1011 m 。已知在近日点，慧星的速率为已知在近日点，慧星的速率为 vp = 5.4 104 m/s, 计算慧计算慧星在其远日点处的速率。星在其远日点处的速率。v慧慧星星太阳太阳RRpvp解：太阳对哈雷慧星的引力为有心力。引力对力心的力解：太阳对哈雷慧星的引力为有心力。引力对力心的力矩为零矩为零: 慧星对太阳中心的角动量守恒，慧星对太阳中心的角动量守恒，设慧星质量为设慧星质量为 m ，它在近日点和远日点的角动量分别它在近日点和远日点的角动量分别为为 和和 ：从而慧星在远日点处的速率为从而慧星在远日点处的速率为或或复复 习习碰撞碰撞 完全弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞完全弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞质点的角动量质点的角动量质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律质点的角动量定理质点的角动量定理力矩力矩一、质心一、质心4-5 4-5 质心质心运动定理质心质心运动定理 消防水龙头喷出的水，各水滴的运动情况并不一样，但消防水龙头喷出的水，各水滴的运动情况并不一样，但我们看到，就其整体而言，大致是按一条我们看到，就其整体而言，大致是按一条抛物线抛物线轨道运动。轨道运动。投出的手榴弹出一样，尽管因有转动，各质点的运动情况很投出的手榴弹出一样，尽管因有转动，各质点的运动情况很复杂，但我们可近似按斜抛运动来讨论其射程。消防水和手复杂，但我们可近似按斜抛运动来讨论其射程。消防水和手榴弹都是质点系。用什么来反映榴弹都是质点系。用什么来反映质点系整体质点系整体运动的规律呢？运动的规律呢？ 对对于于由由许许多多质质点点组组成成的的系系统统或或者者连连续续分分布布的的质质点点系系统统，存存在在一一个个空空间间的的特特殊殊位位置置，称称为为系系统统的的质质心心。系系统统整整体体行行为为与与位位于于质质心心处处的的一一个个质质点点的的行行为为相相同同，此此质质点点的的质质量量等等于于整整个个系系统统的总质量。的总质量。 对于由质量相对于由质量相同的质点组成的质同的质点组成的质点系，其质心位置点系，其质心位置坐标为：坐标为：质心运动轨迹质心运动轨迹抛物线抛物线质心质心跳水运动员的运动可以看成是其跳水运动员的运动可以看成是其质心沿抛物线运动与运动员绕质质心沿抛物线运动与运动员绕质心的转动的合成心的转动的合成若组成系统的各质点质量不相同，质心位置坐标为何？若组成系统的各质点质量不相同，质心位置坐标为何？寻找质心坐标寻找质心坐标质质点点系系中中N个个质质点点的的质质量量分分别别为为m1，m2，m3，各质点的质量总和为各质点的质量总和为 分量式，即分量式，即质心的位置坐标质心的位置坐标为为 位矢分别为位矢分别为r1，r2，r3，质质心位矢心位矢为为质量连续分布的物体的质心计算：质量连续分布的物体的质心计算：取取质量元质量元dm，物体的质量为，物体的质量为m，质心的位置坐标为，质心的位置坐标为密度均匀、具几何对称分布物体的质心在几何中心密度均匀、具几何对称分布物体的质心在几何中心 质心不一定在质心不一定在系统中某一个系统中某一个质点的位置上质点的位置上质心不一质心不一定位于物定位于物体内部体内部 上述为质量分离的质点的质心，质量连续分上述为质量分离的质点的质心，质量连续分布的物体的质心？布的物体的质心？月球质量的月球质量的81倍倍 地球地球月球月球两质点质量均为两质点质量均为m，以任意点，以任意点O为原点，为原点， 质心在两质点连线上接质心在两质点连线上接近质量较大的质点一端近质量较大的质点一端 系统质心的位置与坐标系统质心的位置与坐标原点的选取无关原点的选取无关 Omm质心连线的中点质心连线的中点地球半径的地球半径的60倍倍 先将质量分别集中在各自的几何中心处构成两个质点先将质量分别集中在各自的几何中心处构成两个质点 位矢分别为位矢分别为r1和和r2，质心的位置坐标为质心的位置坐标为 地月质心地月质心 例题例题 4-9 求半径为求半径为R的匀质半圆环的质心。的匀质半圆环的质心。设半圆环的质量线密度为设半圆环的质量线密度为l l，取弧长为，取弧长为dl的线元，的线元，xyxyO半圆环以半圆环以 y 轴为对称轴为对称 xc= 0x = Rcos ，y = Rsin 在在 y 轴上的坐标为轴上的坐标为 Rdl其坐标为其坐标为解取坐标如右图所示，解取坐标如右图所示，质量为质量为dm = l ldl = l lRd ，二、质心运动定理二、质心运动定理质心位矢表达式可写为质心位矢表达式可写为 对时间对时间 t 求导数得求导数得 令质心速度令质心速度 则则如何描述质点系的运动？如何描述质点系的运动？因因系统所受的合外力为系统所受的合外力为 质心运动定理质心运动定理，令质心加速度令质心加速度形式上它与牛顿第二定律完全相同形式上它与牛顿第二定律完全相同 可见，如果将质点系的全部质量和所有外力都集中到可见，如果将质点系的全部质量和所有外力都集中到质质心心上，质心就与一个在力上，质心就与一个在力F外外作用下质量为作用下质量为m的的质点质点的运动情的运动情况相同。况相同。 动力学上质心也是整个质点系的代表点动力学上质心也是整个质点系的代表点,它的运动它的运动精确地反映了整个系统的平均运动状况。精确地反映了整个系统的平均运动状况。合外力为零合外力为零 质心作匀速直线运动质心作匀速直线运动扳手沿光滑水平面滑移扳手沿光滑水平面滑移质心运动轨迹质心运动轨迹抛物线抛物线质心质心质心运动轨迹质心运动轨迹抛物线抛物线例题例题 4-10 火箭向正东方向发射，达轨道最高点时炸裂成三火箭向正东方向发射，达轨道最高点时炸裂成三段，质量为段，质量为m 的两段分别向正南和正北方平抛，三段同时的两段分别向正南和正北方平抛，三段同时落地问在何处能找到第三段。落地问在何处能找到第三段。解将整个火箭视为一个质点系，根据质心运动定理，爆炸解将整个火箭视为一个质点系，根据质心运动定理，爆炸前后火箭的质心运动轨迹不变，质心沿爆炸前的抛物线轨道前后火箭的质心运动轨迹不变，质心沿爆炸前的抛物线轨道运动。以发射点作为坐标原点，自西向东为运动。以发射点作为坐标原点，自西向东为X轴，从南向北为轴，从南向北为Y轴，则质心到达地面位于正东轴，则质心到达地面位于正东1.10103 m处，即坐标为处，即坐标为xc= 1.10103 m， yc = 0落向正南落向正南65m处处落向正北落向正北120m处处质心轨迹质心轨迹按定义质心坐标为按定义质心坐标为因因 x1 = x2 = 550m；y1 = - -65.0m，y2 = 120m 可解得可解得代入数值得代入数值得 即在正东方向即在正东方向1.65103m，再偏南，再偏南27.5m处处 例题例题 4-11 质量为质量为m、长度为、长度为l的匀质软绳竖直悬垂，下的匀质软绳竖直悬垂，下端刚好与地面接触，从静止状态下落。下落到所剩长度为端刚好与地面接触，从静止状态下落。下落到所剩长度为y 时，求地面对软绳的作用力时，求地面对软绳的作用力 。解：单位长度软绳的质量为解：单位长度软绳的质量为=m/l ,dy长的线元长的线元dm质量为（质量为（m/l）dy，以软绳以软绳与地面接触点为原点，竖直向上为与地面接触点为原点，竖直向上为 y 轴正向，所剩长度为轴正向，所剩长度为y 时，质心坐标为时，质心坐标为分析：将软绳视为一个质点系，在其下落分析：将软绳视为一个质点系，在其下落过程中其受到重力与地面的作用力，力的过程中其受到重力与地面的作用力，力的不平衡使其产生加速度，即为质心的加速不平衡使其产生加速度，即为质心的加速度，所以通过计算质心加速度就可以间接度，所以通过计算质心加速度就可以间接求出地面对软绳的作用力。求出地面对软绳的作用力。对时间对时间t 求导数得求导数得 软绳上端的下软绳上端的下落速度落速度 对于一个完全柔软的绳子，其中各点的速度和加速度对于一个完全柔软的绳子，其中各点的速度和加速度与一个自由下落质点的相同，即与一个自由下落质点的相同，即 则质心加速度为则质心加速度为 应用质心运动定理，得应用质心运动定理，得 即即 本章小结本章小结主要公式：主要公式：1.冲量冲量3.动量定理动量定理4.动量守恒定律动量守恒定律2.动量动量5.质点的角动量质点的角动量7.质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律6.质点的角动量定理质点的角动量定理基本要求：基本要求：掌握质点的动量定理、动量守恒定律和角动掌握质点的动量定理、动量守恒定律和角动量守恒定律。量守恒定律。五五.一维碰撞一维碰撞 （对心碰撞）（对心碰撞）m1m1碰撞前碰撞前碰撞后碰撞后碰撞碰撞m2m2x由动量守恒有：由动量守恒有：（其中各速率均为代数值）（其中各速率均为代数值）一维弹性碰撞：一维弹性碰撞：弹性碰撞的机械能守恒，则有方程弹性碰撞的机械能守恒，则有方程联立解方程得：联立解方程得：（正碰）（正碰）一维完全非弹性碰撞：一维完全非弹性碰撞： 设两球碰撞后结合在一起，设两球碰撞后结合在一起，以速度以速度 沿原方向运动，由沿原方向运动，由动量守恒定律动量守恒定律解得：解得：六六.二维完全弹性碰撞二维完全弹性碰撞 如果两球碰撞后不沿一条直线运动则称为二维碰撞。yxm1m2由动量守恒有由动量守恒有:x方向：方向：y方向：方向：机械能守恒：机械能守恒：