第第6讲讲 MATLAB数据分析数据分析与多项式计算与多项式计算6.1 数据统计处理数据统计处理6.2 数据插值数据插值6.3 曲线拟合曲线拟合6.4 离散傅立叶变换离散傅立叶变换6.5 多项式计算多项式计算MATLAB数据分析与多项式计算优秀6.1 数据统计处理数据统计处理6.1.1 最大值和最小值最大值和最小值 MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为值的函数分别为max和和min，两个函数的调，两个函数的调用格式和操作过程类似。用格式和操作过程类似。1求向量的最大值和最小值求向量的最大值和最小值 求一个向量求一个向量X的最大值的函数有的最大值的函数有两种调用格两种调用格式式，分别是：，分别是：(1) y=max(X)：返回向量：返回向量X的最大值存入的最大值存入y，如，如果果X中包含复数元素，则按模取最大值。中包含复数元素，则按模取最大值。MATLAB数据分析与多项式计算优秀(2) y,I=max(X)：返回向量：返回向量X的最大值存入的最大值存入y，最大值的序号存入，最大值的序号存入I，如果，如果X中包含复数中包含复数元素，则按模取最大值。元素，则按模取最大值。求向量求向量X的最小值的函数是的最小值的函数是min(X)，用法和，用法和max(X)完全相同。完全相同。例例6-1 求向量求向量x的最大值。的最大值。命令如下：命令如下：x=-43,72,9,16,23,47;y=max(x) %求向量求向量x中的最大值中的最大值y,l=max(x) %求向量求向量x中的最大值及其中的最大值及其该元素的位置该元素的位置MATLAB数据分析与多项式计算优秀2求矩阵的最大值和最小值求矩阵的最大值和最小值 求矩阵求矩阵A的最大值的函数有的最大值的函数有3种调用格式，分种调用格式，分别是：别是：(1) max(A)：返回一个：返回一个行向量行向量，向量的第，向量的第i个元个元素是矩阵素是矩阵A的第的第i列上的最大值。列上的最大值。(2) Y,U=max(A)：返回：返回行向量行向量Y和和U，Y向量向量记录记录A的每列的最大值，的每列的最大值，U向量记录每列最大向量记录每列最大值的行号。值的行号。(3) max(A,dim)：dim取取1或或2。dim取取1时，时，该函数和该函数和max(A)完全相同；完全相同；dim取取2时，该函时，该函数返回一个列向量，其第数返回一个列向量，其第i个元素是个元素是A矩阵的矩阵的第第i行上的最大值。行上的最大值。MATLAB数据分析与多项式计算优秀 求最小值的函数是求最小值的函数是min，其用法和，其用法和max完全完全相同。相同。例例6-2 分别求下列分别求下列43矩阵矩阵A中各列和各行元素中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。值。MATLAB数据分析与多项式计算优秀程序如下：A=13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1;Y=max(A);Z=max(A,2);y=max(Y);z=min(min(A); Y = Z= 78 63 563 78 63 y= z= 563 1 563 -235MATLAB数据分析与多项式计算优秀3两个向量或矩阵对应元素的比较两个向量或矩阵对应元素的比较 函数函数max和和min还能对两个同型的向量或矩阵还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：进行比较，调用格式为：(1) U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩是两个同型的向量或矩阵，结果阵，结果U是与是与A,B同型的向量或矩阵，同型的向量或矩阵，U的的每个元素等于每个元素等于A,B对应元素的较大者。对应元素的较大者。(2) U=max(A,n)：n是一个标量，结果是一个标量，结果U是与是与A同型的向量或矩阵，同型的向量或矩阵，U的每个元素等于的每个元素等于A对应对应元素和元素和n中的较大者。中的较大者。min函数的用法和函数的用法和max完全相同。完全相同。例例6-3 求两个求两个23矩阵矩阵x, y所有同一位置上的较所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵大元素构成的新矩阵p。操作如下：操作如下：x=4,5,6;1,4,8;y=1,7,5;4,5,7;p=max(x,y)MATLAB数据分析与多项式计算优秀6.1.2 求和与求积求和与求积 数据序列求和与求积的函数是数据序列求和与求积的函数是sum和和prod，其使用方法类似。设其使用方法类似。设X是一个向量，是一个向量，A是一是一个矩阵，函数的调用格式为：个矩阵，函数的调用格式为：sum(X)：返回向量：返回向量X各元素的和。各元素的和。prod(X)：返回向量：返回向量X各元素的乘积。各元素的乘积。sum(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列的元素和。列的元素和。prod(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列的元素乘积。列的元素乘积。MATLAB数据分析与多项式计算优秀sum(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于sum(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，其时，返回一个列向量，其第第i个元素是个元素是A的第的第i行的各元素之和。行的各元素之和。prod(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于prod(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，时，返回一个列向量，其第其第i个元素是个元素是A的第的第i行的各元素乘积。行的各元素乘积。例例6-4 求矩阵求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的每行元素的乘积和全部元素的乘积。的乘积。A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;S=prod(A,2)prod(S)MATLAB数据分析与多项式计算优秀6.1.3 平均值和中值平均值和中值 求数据序列平均值的函数是求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中，求数据序列中值的函数是值的函数是median。两个函数的调用格式为：。两个函数的调用格式为：mean(X)：返回向量：返回向量X的算术平均值。的算术平均值。median(X)：返回向量：返回向量X的中值。的中值。mean(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列列的算术平均值。的算术平均值。median(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列的中值。列的中值。mean(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于mean(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，其第时，返回一个列向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i行的算术平均值。行的算术平均值。median(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于median(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，其第时，返回一个列向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i行的中值。行的中值。MATLAB数据分析与多项式计算优秀6.1.4 累加和与累乘积累加和与累乘积 在在MATLAB中，使用中，使用cumsum和和cumprod函数能方函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：函数的调用格式为：cumsum(X)：返回向量：返回向量X累加和向量。累加和向量。cumprod(X)：返回向量：返回向量X累乘积向量。累乘积向量。cumsum(A)：返回一个矩阵，其第：返回一个矩阵，其第i列是列是A的第的第i列的累列的累加和向量。加和向量。cumprod(A)：返回一个矩阵，其第：返回一个矩阵，其第i列是列是A的第的第i列的累列的累乘积向量。乘积向量。cumsum(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于cumsum(A)；当；当dim为为2时，返回一个矩阵，其第时，返回一个矩阵，其第i行行是是A的第的第i行的累加和向量。行的累加和向量。cumprod(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于cumprod(A)；当；当dim为为2时，返回一个向量，其第时，返回一个向量，其第i行是行是A的第的第i行的累乘积向量。行的累乘积向量。MATLAB数据分析与多项式计算优秀例例6-5 求向量求向量y的平均值和中值。的平均值和中值。命令如下：命令如下：y=9,-2,5,6,7,12;m=mean(y)median(y)例例6-6 求向量求向量X=(1!,2!,3!, ,10!)。命令如下：命令如下：X=cumprod(1:10)MATLAB数据分析与多项式计算优秀6.1.5 标准方差与相关系数标准方差与相关系数1求标准方差求标准方差 在在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的中，提供了计算数据序列的标准方差的函数函数std。对于向量。对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对返回一个标准方差。对于矩阵于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵是矩阵A各列或各行的标准方差。各列或各行的标准方差。std函数的一般调函数的一般调用格式为：用格式为：Y=std(A,flag,dim) 其中其中dim取取1或或2。当。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当时，求各列元素的标准方差；当dim=2时，则时，则求各行元素的标准方差。求各行元素的标准方差。flag取取0或或1，当，当flag=0时，时，按按S1所列公式计算标准方差，当所列公式计算标准方差，当flag=1时，按时，按S2所列所列公式计算标准方差。缺省公式计算标准方差。缺省flag=0，dim=1。MATLAB数据分析与多项式计算优秀例例6-7 对二维矩阵对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。，从不同维方向求出其标准方差。命令如下：命令如下：x=4,5,6;1,4,8;y1=std(x,0,1)y2=std(x,1,1)y3=std(x,0,2)y4=std(x,1,2)2相关系数相关系数 MATLAB提供了提供了corrcoef函数，可以求出函数，可以求出数据的相数据的相关系数矩阵关系数矩阵。corrcoef函数的调用格式为：函数的调用格式为：corrcoef(X)：返回从矩阵：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵一样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。corrcoef(X,Y)：在这里，：在这里，X,Y是向量，它们与是向量，它们与corrcoef(X,Y)的作用一样。的作用一样。MATLAB数据分析与多项式计算优秀例例6-8 生成满足正态分布的生成满足正态分布的100005随机矩阵，随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求然后求各列元素的均值和标准方差，再求这这5列随机数据的相关系数矩阵。列随机数据的相关系数矩阵。命令如下：命令如下：X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X)MATLAB数据分析与多项式计算优秀6.1.6 排序排序 MATLAB中对向量中对向量X是排序函数是是排序函数是sort(X)，函数返回一个对函数返回一个对X中的元素中的元素按升序排列按升序排列的新的新向量。向量。sort函数也可以对矩阵函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排的各列或各行重新排序，其调用格式为：序，其调用格式为：Y,I=sort(A,dim)其中其中dim指明对指明对A的列还是行进行排序。若的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若，则按列排；若dim=2，则按行排。，则按行排。Y是排序后的矩阵，而是排序后的矩阵，而I记录记录Y中的元素在中的元素在A中位置。中位置。MATLAB数据分析与多项式计算优秀例例6-9 对下列矩阵做各种排序。对下列矩阵做各种排序。命令如下：命令如下：A=1,-8,5;4,12,6;13,7,-13;sort(A) %对对A的每列按升序排序的每列按升序排序-sort(-A,2) %对对A的每行按降序排序的每行按降序排序X,I=sort(A) %对对A按列排序，并将每个元按列排序，并将每个元素所在的行号送矩阵素所在的行号送矩阵IMATLAB数据分析与多项式计算优秀Ex:利用MATLAB提供的randn函数生成符合正态分布的105随机矩阵A，进行如下操作： (1) A各列元素的均值和标准差。 (2) A的最大元素和最小元素。 (3) 求A每行元素的和以及全部元素之和。 (4) 分别对A的每列元素按升序、每行元素按降序。 MATLAB数据分析与多项式计算优秀6.2 数据插值数据插值6.2.1 一维数据插值一维数据插值 数据插值的任务是数据插值的任务是根据采集到的离散数据构根据采集到的离散数据构造一个函数造一个函数g(x)，既与真实函数，既与真实函数f(x)接近，又接近，又有很好的性质有很好的性质。 在在MATLAB中，实现这些插值的一维函数是中，实现这些插值的一维函数是interp1，其调用格式为：，其调用格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,method) 函数根据函数根据X,Y的值，计算函数在的值，计算函数在X1处的值。处的值。X,Y是两个等长的已知向量，分别描述采样是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，点和样本值，X1是一个向量或标量，描述是一个向量或标量，描述欲欲插值的点插值的点，Y1是一个与是一个与X1等长的插值结果。等长的插值结果。method是插值方法，允许的取值有是插值方法，允许的取值有linear、nearest、cubic、spline。MATLAB数据分析与多项式计算优秀注意：注意：X1的取值范围不能超出的取值范围不能超出X的给定范围，否则，的给定范围，否则，会给出会给出“NaN”错误。错误。例例6-10 给出概率积分给出概率积分 的数据表，用的数据表，用不同的插值方法计算不同的插值方法计算f(0.472)。x=0.46:0.01:0.49; %给出给出x,f(x)的值的值f=0.4846555,0.4937542,0.5027498,0.5116683;format longinterp1(x,f,0.472) %线性插值线性插值interp1(x,f,0.472, nearest) %最近点插值最近点插值interp1(x,f,0.472, cubic) %3次多项式插值次多项式插值interp1(x,f,0.472, spline) %3次样条插值次样条插值MATLAB中有一个专门的中有一个专门的3次样条插值函数次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数，其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1, spline)完全相同。完全相同。MATLAB数据分析与多项式计算优秀例例6-11 某观测站测得某日某观测站测得某日6:00时至时至18:00时之时之间每隔间每隔2小时的室内外温度小时的室内外温度()，用，用3次样次样条插值分别求得该日室内外条插值分别求得该日室内外6:30至至17:30时时之间每隔之间每隔2小时各点的近似温度小时各点的近似温度()。解：设时间变量解：设时间变量h为一行向量，温度变量为一行向量，温度变量t为为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：第二列储存室外温度。命令如下：h =6:2:18;t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;XI =6.5:2:17.5YI=interp1(h,t,XI, spline) %用用3次样条次样条插值计算插值计算MATLAB数据分析与多项式计算优秀6.2.2 二维数据插值二维数据插值在在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的中，提供了解决二维插值问题的函数函数interp2，其调用格式为：，其调用格式为：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)其中其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采是两个向量，分别描述两个参数的采样点，样点，Z是与参数采样点对应的函数值，是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向量或标量，描述是两个向量或标量，描述欲插值的点欲插值的点。Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。是根据相应的插值方法得到的插值结果。 method的取值与一维插值函数相同。的取值与一维插值函数相同。X,Y,Z也可以是矩阵形式。也可以是矩阵形式。同样，同样，X1,Y1的取值范围不能超出的取值范围不能超出X,Y的给定的给定范围，否则，会给出范围，否则，会给出“NaN”错误。错误。MATLAB数据分析与多项式计算优秀例例6-12 设设z=x2+y2，对，对z函数在函数在0,10,2区域内进区域内进行插值。行插值。x=0:0.1:1; y=0:0.2:2;X,Y=meshgrid(x,y); %产生自变量网格坐标产生自变量网格坐标Z=X.2+Y.2; %求对应的函数值求对应的函数值interp2(x,y,z,0.5,0.5) %在在(0.5,0.5)点插值点插值例例6-13 某实验对一根长某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传米的钢轨进行热源的温度传播测试。用播测试。用x表示测量点表示测量点0:2.5:10(米米)，用，用h表示测量表示测量时间时间0:30:60(秒秒)，用，用T表示测试所得各点的温度表示测试所得各点的温度()。试用线性插值求出在一分钟内每隔试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔秒、钢轨每隔1米处的温度米处的温度TI。x=0:2.5:10;h=0:30:60;T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41;xi=0:10;hi=0:20:60;TI=interp2(x,h,T,xi,hi);mesh(xi,hi,TI)MATLAB数据分析与多项式计算优秀6.3 曲线拟合曲线拟合在在MATLAB中，用中，用polyfit函数来求得函数来求得最小二最小二乘拟合多项式的系数乘拟合多项式的系数，再用，再用polyval函数按函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。值。polyfit函数的调用格式为：函数的调用格式为：P,S=polyfit(X,Y,m)函数根据采样点函数根据采样点X和采样点函数值和采样点函数值Y，产生一，产生一个个m次多项式次多项式P及其在采样点的误差向量及其在采样点的误差向量S。其中其中X,Y是两个等长的向量，是两个等长的向量，P是一个长度是一个长度为为m+1的向量，的向量，P的元素为多项式系数。的元素为多项式系数。polyval函数的功能是按多项式的系数计算函数的功能是按多项式的系数计算x点点多项式的值，将在多项式的值，将在6.5.3节中详细介绍。节中详细介绍。MATLAB数据分析与多项式计算优秀例例6-14 用一个三次多项式在区间用一个三次多项式在区间0,2内逼内逼近函数近函数sin(x)，比，比较较两曲两曲线线。命令如下：命令如下：X=linspace(0,2*pi,50);Y=sin(X);P,S=polyfit(X,Y,3) %得到得到3次多项式次多项式的系数和误差的系数和误差y1=polyval(P,X);plot(X,Y,:o,X,y1,-*)MATLAB数据分析与多项式计算优秀MATLAB数据分析与多项式计算优秀Ex：1. 按要求对指定函数进行插值和拟合：按表1用三次样条方法插值计算090o范围内整数点的正弦值和075o 范围内整数点的正切值，然后用5次多项式拟合方法计算相同的函数值，并将两种计算结果进行比较 表1 特殊角的正弦值和正切值表 a(度) 0 15 30 45 60 75 90 sin(a) 0 0.2588 0.5000 0.7071 0.8660 0.9659 1.0000 tan(a) 0 0.2679 0.5774 1.0000 1.7320 3.7320MATLAB数据分析与多项式计算优秀Ex：2. 已知一组实验数据入表2表2 一组实验数据求它的线性拟合曲线。 i 1 2 3 4 5xi 165 123 150 123 141yi 187 126 172 125 148MATLAB数据分析与多项式计算优秀6.4 离散傅立叶变换离散傅立叶变换6.4.1 离散傅立叶变换算法简述离散傅立叶变换算法简述DFT(discrete Fourier transform)广泛应用于信号分广泛应用于信号分析、光谱和声谱分析、全息技术等各个领域。但析、光谱和声谱分析、全息技术等各个领域。但是直接计算是直接计算DFT的运算量与变换的长度的运算量与变换的长度N的平方的平方成正比。成正比。N较大时，计算量太大，但是计算机使较大时，计算量太大，但是计算机使得这种计算成为可能。特别是得这种计算成为可能。特别是FFT(fast Fourier transform)算法的出现，为离散傅立叶变换的应算法的出现，为离散傅立叶变换的应用创造了条件。用创造了条件。f(m)的的DFT为为MATLAB数据分析与多项式计算优秀6.4.2 离散傅立叶变换的实现离散傅立叶变换的实现一维离散傅立叶变换函数，其调用格式与功一维离散傅立叶变换函数，其调用格式与功能为：能为：(1) fft(X)：返回向量：返回向量X的离散傅立叶变换。设的离散傅立叶变换。设X的长度的长度(即元素个数即元素个数)为为N，若，若N为为2的幂次，的幂次，则为以则为以2为基数的快速傅立叶变换，否则为为基数的快速傅立叶变换，否则为运算速度很慢的非运算速度很慢的非2幂次的算法。对于矩阵幂次的算法。对于矩阵X，fft(X)应用于矩阵的每一列。应用于矩阵的每一列。MATLAB数据分析与多项式计算优秀(2) fft(X,N)：计算：计算N点离散傅立叶变换。它点离散傅立叶变换。它限定向量的长度为限定向量的长度为N，若，若X的长度小于的长度小于N，则不足部分补上零；若大于则不足部分补上零；若大于N，则删去超出，则删去超出N的那些元素。对于矩阵的那些元素。对于矩阵X，它同样应用于，它同样应用于矩阵的每一列，只是限定了向量的长度为矩阵的每一列，只是限定了向量的长度为N。(3) fft(X,dim)或或fft(X,N,dim)：这是对于矩：这是对于矩阵而言的函数调用格式，前者的功能与阵而言的函数调用格式，前者的功能与fft(X)基本相同，而后者则与基本相同，而后者则与fft(X,N)基本相基本相同。只是当参数同。只是当参数dim=1时，该函数作用于时，该函数作用于X的每一列；当的每一列；当dim=2时，则作用于时，则作用于X的每一的每一行。行。MATLAB数据分析与多项式计算优秀值得一提的是，当已知给出的样本数值得一提的是，当已知给出的样本数N0不是不是2的幂次时，可以取一个的幂次时，可以取一个N使它大于使它大于N0且是且是2的幂次，然后利用函数格式的幂次，然后利用函数格式fft(X,N)或或fft(X,N,dim)便可进行快速傅立叶变换。这便可进行快速傅立叶变换。这样，计算速度将大大加快。样，计算速度将大大加快。相应地，一维离散傅立叶逆变换函数是相应地，一维离散傅立叶逆变换函数是ifft。ifft(F)返回返回F的一维离散傅立叶逆变换；的一维离散傅立叶逆变换；ifft(F,N)为为N点逆变换；点逆变换；ifft(F,dim)或或ifft(F,N,dim)则由则由N或或dim确定逆变换的点数确定逆变换的点数或操作方向。或操作方向。MATLAB数据分析与多项式计算优秀例例6-15 给定数学函数给定数学函数x(t)=12sin(210t+/4)+5cos(240t)取取N=128，试对，试对t从从01秒采样，用秒采样，用fft作快速傅作快速傅立叶变换，绘制相应的振幅立叶变换，绘制相应的振幅-频率图。频率图。分析：在分析：在01秒时间范围内采样秒时间范围内采样128点，从而点，从而可以确定采样周期和采样频率。由于离散可以确定采样周期和采样频率。由于离散傅立叶变换时的下标应是从傅立叶变换时的下标应是从0到到N-1，故在，故在实际应用时下标应该前移实际应用时下标应该前移1。又考虑到对离。又考虑到对离散傅立叶变换来说，其振幅散傅立叶变换来说，其振幅| F(k)|是关于是关于N/2对称的，故只须使对称的，故只须使k从从0到到N/2即可。即可。MATLAB数据分析与多项式计算优秀程序如下：程序如下：N=128; % 采样点数采样点数T=1; % 采样时间终点采样时间终点t=linspace(0,T,N); % 给出给出N个采样时间个采样时间ti(I=1:N)x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t); % 求求各采样点样本值各采样点样本值xdt=t(2)-t(1); % 采样周期采样周期f=1/dt; % 采样频率采样频率(Hz)X=fft(x); % 计算计算x的快速傅立叶变换的快速傅立叶变换XF=X(1:N/2+1); % F(k)=X(k)(k=1:N/2+1)f=f*(0:N/2)/N; % 使频率轴使频率轴f从零开始从零开始plot(f,abs(F),-*) % 绘制振幅绘制振幅-频率图频率图xlabel(Frequency);ylabel(|F(k)|)MATLAB数据分析与多项式计算优秀MATLAB数据分析与多项式计算优秀6.5 多项式计算多项式计算6.5.1 多项式的四则运算多项式的四则运算1多项式的加减运算多项式的加减运算系数向量加减。系数向量加减。2多项式乘法运算多项式乘法运算函数函数conv(P1,P2)用于求多项式用于求多项式P1和和P2的乘积。的乘积。这里，这里，P1、P2是两个多项式系数向量。是两个多项式系数向量。例例6-16 求多项式求多项式x4+8x3-10与多项式与多项式2x2-x+3的的乘积。乘积。a=4,3,0,0,-10;b=2,-1,3;conv(a,b)MATLAB数据分析与多项式计算优秀3多项式除法多项式除法函数函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式用于对多项式P1和和P2作除法运算。其中作除法运算。其中Q返回多项式返回多项式P1除以除以P2的商式，的商式，r返回返回P1除以除以P2的余式。这里，的余式。这里，Q和和r仍是多项式系数向量。仍是多项式系数向量。deconv是是conv的逆函数，即有的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。例例6-17 求多项式求多项式x4+8x3-10除以多项式除以多项式2x2-x+3的结果。的结果。Q,r=deconv(a,b)MATLAB数据分析与多项式计算优秀6.5.2 多项式的导函数多项式的导函数对多项式求导数的函数是：对多项式求导数的函数是：p=polyder(P)：求多项式：求多项式P的导函数的导函数p=polyder(P,Q)：求：求PQ的导函数的导函数p,q=polyder(P,Q)：求：求P/Q的导函数，导函的导函数，导函数的分子存入数的分子存入p，分母存入，分母存入q。上述函数中，参数上述函数中，参数P,Q是多项式的向量表示，是多项式的向量表示，结果结果p,q也是多项式的向量表示。也是多项式的向量表示。MATLAB数据分析与多项式计算优秀例例6-18 求有理分式的导数。求有理分式的导数。命令如下：命令如下：P=3,5,0,-8,1,-5;Q=10,5,0,0,6,0,0,7,-1,0,-100;p,q=polyder(P,Q)MATLAB数据分析与多项式计算优秀6.5.3 多项式的求值多项式的求值MATLAB提供了两种求多项式值的函数：提供了两种求多项式值的函数：polyval与与polyvalm，它们的输入参数均为，它们的输入参数均为多项式系数向量多项式系数向量P和自变量和自变量x。两者的区别。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。阵多项式求值。MATLAB数据分析与多项式计算优秀1代数多项式求值代数多项式求值polyval函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：Y=polyval(P,x)若若x为一数值，则求多项式在该点的值；若为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。例例6-19 已知多项式已知多项式x4+8x3-10，分别取，分别取x=1.2和一个和一个23矩阵为自变量计算该多项式的值。矩阵为自变量计算该多项式的值。A=1,8,0,0,-10; %4次多项式系数次多项式系数x=1.2; %取自变量为一数值取自变量为一数值y1=polyval(A,x)x=-1,1.2,-1.4;2,-1.8,1.6; %给出一个矩阵给出一个矩阵xy2=polyval(A,x)MATLAB数据分析与多项式计算优秀2矩阵多项式求值矩阵多项式求值polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与polyval相同，但含义不同。相同，但含义不同。polyvalm函数要求函数要求x为为方阵方阵,它以方阵为自变量求多项式的值。设它以方阵为自变量求多项式的值。设A为方阵，为方阵，P代表代表多项式多项式x3-5x2+8，那么，那么polyvalm(P,A)的含义是：的含义是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)而而polyval(P,A)的含义是：的含义是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A)例例6-20 仍以多项式仍以多项式x4+8x3-10为例，取一个为例，取一个22矩阵为矩阵为自变量分别用自变量分别用polyval和和polyvalm计算该多项式的值。计算该多项式的值。A=1,8,0,0,-10; %多项式系数多项式系数x=-1,1.2;2,-1.8; %给出一个矩阵给出一个矩阵xy1=polyval(A,x) %计算代数多项式的值计算代数多项式的值y2=polyvalm(A,x) %计算矩阵多项式的值计算矩阵多项式的值MATLAB数据分析与多项式计算优秀6.5.4 多项式求根多项式求根n次多项式具有次多项式具有n个根，当然这些根可能是实个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。根，也可能含有若干对共轭复根。MATLAB提供的提供的roots函数用于求多项式的函数用于求多项式的全部根，其调用格式为：全部根，其调用格式为：x=roots(P)其中其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向为多项式的系数向量，求得的根赋给向量量x，即，即x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的分别代表多项式的n个根。个根。MATLAB数据分析与多项式计算优秀例例6-21 求多项式求多项式x4+8x3-10的根。的根。命令如下：命令如下：A=1,8,0,0,-10;x=roots(A)若已知多项式的全部根，则可以用若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建函数建立起该多项式，其调用格式为：立起该多项式，其调用格式为：P=poly(x)若若x为具有为具有n个元素的向量，则个元素的向量，则poly(x)建立以建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量向量P。MATLAB数据分析与多项式计算优秀例例6-22 已知已知 f(x)=3x5+4x3-5x2-7.2x+5(1) 计算计算f(x)=0 的全部根。的全部根。(2) 由方程由方程f(x)=0的根构造一个多项式的根构造一个多项式g(x)，并与并与f(x)进行对比。进行对比。命令如下：命令如下：P=3,0,4,-5,-7.2,5;X=roots(P) %求方程求方程f(x)=0的根的根G=poly(X) %求多项式求多项式g(x)MATLAB数据分析与多项式计算优秀Ex:已知多项式 求： (1) ； (2) 的全部根。 MATLAB数据分析与多项式计算优秀