第三章圆第三章圆 第一讲圆的有关性质第一讲圆的有关性质考点梳理考点梳理过关过关考点考点1 1 圆的有关概念及对称性圆的有关概念及对称性概念概念确定圆的条件：圆心和_半径_，_圆心_确定了圆的位置，_半径_确定了圆的大小对称性对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的_对称轴_；圆又是中心对称图形，_圆心_是它的对称中心考点考点2 2 垂径定理及其推论垂径定理及其推论提示过圆心、平分弦、垂直于弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧，若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项定理定理垂直于弦的直径_平分_这条弦，并且平分弦所对的_两条弧_推论推论1 1平分弦(不是直径)的直径_垂直_于弦，并且_平分_弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过_圆心_，并且平分弦所对的两条弧推论推论2 2平分弦所对的一条弧的_直径_垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧圆的两条平行弦所夹的弧_相等_考点考点3 圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等圆周角圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角定理圆周角定理及其推论及其推论(1)圆周角的度数等于它所对弧的度数的_一半_.(2)同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.(3)半圆(或直径)所对的圆周角是_90_；90的圆周角所对的弦是_直径_.(4)圆内接四边形的对角_互补_考点考点4 圆周角定理及推论圆周角定理及推论拓展等弧只存在于同圆或者等圆中，是指能够完全重合的弧，在学习了弧长公式后，等弧可以定义为：弧长和度数都相等的弧典型例题典型例题运用运用类型类型1 1 垂径定理及其推论的运用 【例1】 如图，CD是O的直径，弦ABCD于点E，BCD30，下列结论：AEBE；OEDE；ABBC；BEDE.其中正确的是()A BC DDD根据垂径定理及等边三角形的性质和判定定理即可作出判断CD是O的直径，ABCD，AEBE，故正确；BCD30，BOD60.又OBOD，OBD是等边三角形ABCD，OEDE，BE DE，故正确；ACB2BCD60，又ACBC，ABC是等边三角形ABBC，故正确故选D.技法点拨在应用垂径定理及其推论进行计算时，往往构造如图所示的直角三角形，根据垂径定理和勾股定理有： 根据公式，在r、d、a三个量中，知道其中任何两个量就可以求出第三个量 变式运用1.如图，AB为O的直径，弦CDAB，垂足为点E，连接OC，若CD6，OE4，则OC等于()A3B4C5D6C变式运用2.2017历城区模拟在直径为50cm的圆中，有两条弦AB和CD，ABCD，且AB为40cm，CD为48cm，求AB与CD之间距离解：当两弦位于圆心的一旁时，如图1所示，过O作OMAB交AB于M，交CD于N，连接OB，OC.ABCD，ONCD.在RtBMO中，BO25cm.由垂径定理得，当两弦位于圆心的两旁时，如图2所示，过O作OMAB交AB于M，交CD于N，连接OB，OC.ABCD，ONCD.在RtBMO中，BO25cm.由垂径定理得，类型类型2 2 圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系【例2】已知，如图，BD，CE是O的两条弦，AO平分DAE.求证：ABAC.【思路分析】作OMBD于M，ONCE于N，根据角平分线的性质得到OMON，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到BDCE，证明AMOANO，得到AMAN，进而求证ABAC.【自主解答】 如图，作OMBD于M，ONCE于N.AO平分DAE，OMON，BDCE.OMBD，ONCE，MBNC；在AMO和ANO中，AMOANO(AAS)，AMAN，ABAC.AMOANO，MAONAO，OAOA，变式运用3.已知：如图，O的两条半径OAOB，C，D是的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F.求证：CDAEBF.证明：如图所示，连接AC，BD.C，D是 的三等分点，ACCDBD.AOCCOD，OAOCOD， ACODCO.ACODCO.OEFOAEAOE453075，OCD OEFOCD.CDAB，AECOCD，ACOAEC.故ACAE.同理，BFBD.又ACCDBD，CDAEBF.类型类型3 3 圆周角及其推论的运用圆周角及其推论的运用【例3】如图，AB，CD是O的直径，DF，BE是弦，且DFBE，求证：DB.【自主解答】 方法(二)证明：如图，连接CF，AE.AB，CD是O的直径，FE90(直径所对的圆周角是直角)ABCD，DFBE，RtDFCRtBEA(HL)DB.技法点拨利用“在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等”是证明角相等的重要方法之一，解答此类问题的方法往往不唯一变式运用4.2017黄冈中考已知：如图，在O中，OABC，AOB70，则ADC的度数为()BA30B35C45D70变式运用5.2018原创如图，O是ABC的外接圆，D是 的中点，DEBC交AC的延长线于点E，若AE10，ACB60，求BC的长六年真题六年真题全练全练命题点命题点1 1 圆周角的运用圆周角的运用12017泰安，12，3分如图，ABC内接于O，若A，则OBC等于()A1802 B2C90 D90DD连接OC，ABC内接于O，A，BOC2A2.OBOC，OBCOCB22016泰安，10，3分如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OFOC交圆O于点F，则BAF等于()A12.5B15C20D22.5B连接OB.四边形ABCO是平行四边形，OCAB.又OAOBOC，OAOBAB，AOB为等边三角形OFOC，OCAB，OFAB，BOFAOF30.由圆周角定理得BAF BOF15.B32012泰安，23，3分如图，在半径为5的O中，弦AB6，点C是优弧AB上一点(不与A，B重合)，则cosC的值为 .D得分要领(1)圆周角定理及推论的应用：由于直径所对的圆周角是直角，所以在圆中有直径时，构造直径所对的圆周角，利用解直角三角形的知识解决问题；在圆中，常利用等弧所对的圆周角相等证明角相等(2)利用圆内接四边形求角度，往往将所求角与已知角进行等量代换，因此需要熟练掌握圆内接四边形的性质命题点命题点2 2 垂径定理的运用垂径定理的运用42015泰安，9，3分如图，O是ABC的外接圆，B60，O的半径为4，则AC的长等于( )AD52012泰安，11，3分如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，下列结论不成立的是()ACMDM B.CACDADC DOMMDDD已知CDAB，利用垂径定理得到M为CD的中点，B为劣弧 的中点，可得出A和B选项成立再由AM为公共边，AMCAMD，CMDM，利用SAS可得出ACM与ADM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出C选项成立而OM不一定等于MD，所以D选项不一定成立62014泰安，23，3分如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA5，弦AC8，ODAC，垂足为E，交O于D，连接BE.设BEC，则sin的值为_得分要领解决与垂径定理有关的问题时，垂径定理涉及垂直关系，利用弦心距(圆心到弦的距离)、半径和弦的一半组成直角三角形，用三角函数值或勾股定理来解决在圆中常作的辅助线是连接圆上的点与圆心作半径，过圆心作已知弦的垂线