高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期 第一章第一章 一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限对对y = f(x)自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限本节内容本节内容 :2.函数极限函数极限 第一章第一章 第五节函数的极限函数的极限高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限观察函数观察函数当当时的变化趋势时的变化趋势. .问题问题: :如何用数学语言刻画下述过程如何用数学语言刻画下述过程: :要点要点: :(1)过程过程(2)函数函数与与无限接近无限接近:有有函数函数“无限接近无限接近”确定值确定值)(xfA. .当当时时, ,x 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限定义定义:设函数设函数当当大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义.如果对任意给定的正数如果对任意给定的正数(不论它多么小不论它多么小),总存在总存在着正数着正数使得对于满足不等式使得对于满足不等式的一切的一切恒有恒有那么常数那么常数就叫函数就叫函数当当时的极限时的极限,记作记作或或(当当注注:可用可用语言语言描述如下描述如下:使得使得时时, 恒有恒有成立成立高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期类似的可定义单侧极限类似的可定义单侧极限时时当当有有时时当当有有定理定理1且且高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期几何解释几何解释:直线直线 y = A 为曲线为曲线的水平渐近线的水平渐近线例如，例如，都有水平渐近线都有水平渐近线高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例如例如高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期分析 证明证明 例例1. 证明证明 因为因为 所以所以就有就有欲使欲使即即高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 2证明证明证证因为因为于是于是可取可取则当则当时时,恒有恒有故故证毕证毕.高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期二、二、 自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限时时,对应函数对应函数f(x)无限接近于无限接近于A问题问题: :如何用数学语言刻画下述过程如何用数学语言刻画下述过程: :要点要点: :(1)过程过程(2)函数函数与与无限接近无限接近:有有高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期定义定义2. 设函数设函数f(x) 在点在点x0的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,当当时时, 有有则称常数则称常数 A 为函数为函数f(x) 当当时的极限时的极限,或或即即当当时时, 有有若若记作记作几何解释几何解释:极限存在极限存在函数局部有界函数局部有界这表明这表明: 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期注意注意考虑空心邻域，是什麽意思？考虑空心邻域，是什麽意思？ 考虑函数在一点的极限时，不考虑函数考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，在该点处是否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。但是，在附近必须要有定义。例例高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例3. 证明证明证证:故故对任意的对任意的当当时时 , 因此因此总有总有(C为常数为常数)高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例4. 证明证明证证:欲使欲使取取则当则当时时 , 必有必有因此因此只要只要高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期单侧极限单侧极限左极限左极限 :当当时时, 有有右极限右极限 :当当时时, 有有定理定理2. 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例5. 设函数设函数讨论讨论 时时f(x)的极限是否存在的极限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 . 因为因为显然显然所以所以不存在不存在 .高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 6 设设求求解解在在处没有定义处没有定义,故故不存在不存在.高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期函数极限的性质函数极限的性质下面仅以下面仅以的极限形式为代表给出这的极限形式为代表给出这些性质些性质, 至于其他形式的极限的性质至于其他形式的极限的性质, 只需作出些修只需作出些修改即可得到改即可得到.唯一性定理唯一性定理若若存在存在, 则极限唯一则极限唯一.有界性定理有界性定理若若则存在常数则存在常数和和使得当使得当时时,有有保号性定理保号性定理若若且且( (或或则则使得当使得当时时,有有高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期推论推论若若且在且在的某去心邻域内的某去心邻域内(或或则则(或或高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期子序列收敛性子序列收敛性定义定义设在过程设在过程可以是可以是或或中有中有数列数列使得使得时时则称数列则称数列为函数为函数当当时的时的子序列子序列.定理定理若若数列数列是是当当时的一个子序列时的一个子序列, 则有则有高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是函数极限存在的充要条件是都存在且相等都存在且相等.例如例如,设设则则它的任何子列的极限它的任何子列的极限高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期且且且且, ,而而二者不相等二者不相等, 故故不存在不存在.例如例如证明证明不存在不存在.证证取取高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期1. 函数极限的概念函数极限的概念内容小结内容小结时刻，时刻，从该时刻从该时刻以后，以后， 恒有恒有高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期过过 程程时时 刻刻过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后从此时刻以后从此时刻以后内容小结内容小结高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期1. 设函数设函数课堂练习课堂练习问当问当|x-1| 中的中的等于多少时等于多少时, ,有有| y-2 | 0.5 ?当当x1时，有时，有y2,解：解：欲使欲使只要只要即即时，有时，有 | y-2 | 0.5高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期证明证明证证:欲使欲使取取则当则当时时 , 必有必有因此因此只要只要2高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期2.解解设函数设函数试问函数在试问函数在处的左、右极限是否存在处的左、右极限是否存在 ？ 当当时，时，的极限是否存在的极限是否存在 ？左极限存在左极限存在 .右极限存在右极限存在 .不存在不存在 .高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期作业作业 P46 习题习题1-5; 4(1)(2)； 5 作业作业