24.424.424.4相似三角形的判定（相似三角形的判定（相似三角形的判定（相似三角形的判定（相似三角形的判定（相似三角形的判定（1 11） 1一、复习引入一、复习引入形状相同的两个图形形状相同的两个图形今天我们来研究其中比较特殊的情况今天我们来研究其中比较特殊的情况相似三角形相似三角形什么是相似形什么是相似形? ?2相似三角形定义：相似三角形定义：如果两个三角形的三个角对应相等、三边对应成比例，那么这两个三角形叫做如果两个三角形的三个角对应相等、三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三相似三角形角形是相似三角形是相似三角形对应相等的角对应相等的角及其顶点及其顶点以对应顶点为端点的以对应顶点为端点的边边的对应边的对应边的对应角和对应顶的对应角和对应顶点，点，是相似三角形是相似三角形3相似三角形的表示方法：相似三角形的表示方法： ABC ABC 读作：读作：对应顶点的字母分别写对应顶点的字母分别写在相对应位置上在相对应位置上 记作：记作：相似于相似于ABC4如图，如图，DE是是 ABC的中位线，请问的中位线，请问 ABC与与 ADE有何关系？为什么？有何关系？为什么？ 探究探究相似三角形的性质相似三角形的性质DEBC由相似三角形的定义可得由相似三角形的定义可得: ADEABC5 相似三角形的对应角相等，相似三角形的对应角相等， 对应边成比例对应边成比例 相似比相似比两个相似三角形的两个相似三角形的对应边对应边对应边对应边的比的比k，叫做这两个相似三角，叫做这两个相似三角形的相似比（或相似系数）形的相似比（或相似系数）如如图，与的相似比的相似比k与与k有何数量关系有何数量关系？注意：两个相似三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺注意：两个相似三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关序有关或相似三角形的性质相似三角形的性质：与的相似比的相似比此时此时k= 吗吗6当两个相似三角形的相似比当两个相似三角形的相似比k=1，这两个相似三角形有怎样的关系，这两个相似三角形有怎样的关系？ 全等三角形全等三角形 想想全等三角形与相似三角形是何关系？想想全等三角形与相似三角形是何关系？ 全等三角形一定是相似三角形，全等三角形一定是相似三角形，全等三角形是相似三角形的特例全等三角形是相似三角形的特例 思考思考对应边相等对应边相等7如果如果，那么那么与相似相似吗？为什么？什么？ 新知探索新知探索 ABCA1B1C1A1B1C1 A2B2C2ABCA2B2C2相似三角形的定义相似三角形的定义同一个三角形同一个三角形可得：等量代换得等量代换得8如果两个三角形分如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似两个三角形也相似 ,(相似三角形的相似三角形的传递性性) 相似三角形具有传递性相似三角形具有传递性 （判定方法）（判定方法）符号语言：符号语言：9对应角相等，对应角相等，对应边成比例对应边成比例 如如图，如果，如果DEBC，那么，那么与相似相似吗？为什么什么?现有的证明两个三角形相似的方现有的证明两个三角形相似的方法是什么？法是什么？ 相似三角形的定义 符合角和边的条件了吗？符合角和边的条件了吗？ DEBCADE= B, AED= C 思考思考公共角：公共角：A=A10证明： DEBC 如图，如果DEBC，那么与相似吗？为什么?思考思考由平行得由平行得对应线段成对应线段成比例，比例，同位角相等同位角相等.再加公共角，得对应角再加公共角，得对应角相等，对应线段成比例，相等，对应线段成比例，得三角形相似得三角形相似.11如果如果DE交直交直线AB、AC所形成所形成 ，那，那么么 与与 还相似吗？为什么还相似吗？为什么?探究探究E与思考题区别在哪与思考题区别在哪？DDEBCADE=B,AED=CBAC=DAE 仍可得仍可得：12平行于三角形一平行于三角形一边的直的直线截其他两截其他两边所在的直所在的直线，截得的三角形与原三，截得的三角形与原三角形相似角形相似 DEBC（相似三角形的预备定理）符号表达：符号表达：相似三角形的预备定理相似三角形的预备定理： 归纳小结：一边一边直线直线13适时小结：适时小结：一是定义法；一是定义法；二是预备定理二是预备定理能类比全等三角形的判定定理得到相似三角形的判定定理吗能类比全等三角形的判定定理得到相似三角形的判定定理吗？掌握了证明三角形相似的两种方法：掌握了证明三角形相似的两种方法：还有其他的还有其他的证明方法吗？证明方法吗？14思考：思考：在与中，能能证明明与相似相似吗?ABCA1B1C1已有两个角对应相等，用已有两个角对应相等，用定义还是预备定理证相似定义还是预备定理证相似？ 预备定理预备定理 怎样添加辅助线，才能构造出使用预备定理的基本图形？ 辅助助线写法：在写法：在ABC边AB（或延（或延长线）上，截取）上，截取AD=A1B1 ，过D作作DEBC交交AC于于E. DE作相似 证全等 ADE A1B1C1ADEABCABCA1B1C1DEBCAD=A1B1点点D的位置？的位置？由由A=A1，可，可知将两个三角形知将两个三角形的的A和和A1叠叠合时，合时，B1在在AB上，上，C1在在AC上。上。此时就能构造出此时就能构造出预备定理的基本预备定理的基本图形图形15在与中，求证：，ABCDEA1B1C1证明：在明：在AB截取截取AD=A1B1 ，过，过D作作DEBC 交交AC于于E.DEBC， DEBC， ADE ABC (相似三角形的预备定理相似三角形的预备定理) (相似三角形的相似三角形的传递性性)16（两角对应相等，两个三角形相似）（两角对应相等，两个三角形相似）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似两个三角形相似符号语言：符号语言： ABCA1B1C1（两角（两角对应相等，两个三角形相似）相等，两个三角形相似）相似三角形判定定理相似三角形判定定理1：17例1、已知：在ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，EDF=B，求证： B=C用哪种方法来证明用哪种方法来证明 BEDCDF呢呢？ 相似三角形相似三角形判定定理判定定理1再需找出哪对角相等？再需找出哪对角相等？ 1=2还是还是3=4？ EFCDB12341234观察图形可得，观察图形可得， EDC是是 EBD的外角，同时又是的外角，同时又是 5与与 2的和，因此可得的和，因此可得 2= 1518例例1、已知：在、已知：在ABC中，中，AB=AC，点，点D、E、F分分别在在BC、AB、AC上，上，EDF=B，求求证：（两角（两角对应相等，两个三角形相似）相等，两个三角形相似） 有一对角相等，有一对角相等，找另一对角相等找另一对角相等EFCDB32119课堂练习：课堂练习：1、依据下列条件判定ABC和DEF是否相似，并说明理由如果相似，那么用符号表示出来 A= D=70，B=60，E=50； 由三角形内角和可得由三角形内角和可得：C=50ABCDEFC=EA=D201、依据下列条件判定ABC和DEF是否相似，并说明理由如果相似，那么用符号表示出来 A=40，B=80，E=80，F=60 由三角形内角和可得：C=60，即C=F ABCDEF课堂练习：课堂练习：B=E212、如图：、如图：E是平行四边形是平行四边形ABCD的边的边BA延长线上的一点，延长线上的一点，CE交交AD于于点点F图中有那几对相似三角形？图中有那几对相似三角形？ ABCD，ADBCABCDADBCAFEBCEEAFBCEADFCAFEDFC由相似传递性可得：由相似传递性可得：DFCBCE 课堂练习：课堂练习：223、已知：如已知：如图，D、E分分别是是ABC边AB、AC上的点，且上的点，且求证：课堂练习：课堂练习：由由AED=B,公共角公共角A由判定定理由判定定理1，得得AEDABC根据四条线段的位置，可根据四条线段的位置，可知应寻找比例关系知应寻找比例关系233、已知：如图，D、E分别是ABC边AB、AC上的点，且求证：（两角（两角对应相等，两个三角形相似）相等，两个三角形相似）即：课堂练习：课堂练习：24课堂小结：课堂小结：本节课主要学习了什么，有何收获？本节课主要学习了什么，有何收获？1、相似三角形的定义相似三角形的定义对应角相等，对应线段成比例对应角相等，对应线段成比例2、相似三角形的性质相似三角形的性质：25课堂小结：课堂小结： 相似三角形判定定理相似三角形判定定理1 3、相似三角形的判定方法：、相似三角形的判定方法： 相似三角形的传递性；相似三角形的传递性； 相似三角形的预备定理；相似三角形的预备定理；ABCB1C1A1, DEBC26布置作业：布置作业：练习册24.4(1) 27