( (第一课时第一课时) )性质性质动手做一做动手做一做ACBABCABC有什么特点有什么特点? ?上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即ABC中中 AB=AC ABC是等腰三角形是等腰三角形有有两条边相等两条边相等的三角形叫做的三角形叫做等腰三角形等腰三角形. . 等腰三角形中，相等的两边都叫做等腰三角形中，相等的两边都叫做腰腰，另一边叫做另一边叫做底边底边，两腰的夹角叫做，两腰的夹角叫做顶角顶角，腰，腰和底边的夹角叫做和底边的夹角叫做底角底角.ACB腰腰底边底边顶顶角角底角底角底角底角探究：课本P75 把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，沿折痕对折，找出其中重合的线段和角找出其中重合的线段和角. 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说说你的猜想。重合的线段重合的角 AC B D ABAC BDCD ADAD B CBAD CADADB ADC 等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗? 大胆猜想大胆猜想猜想与论证一：等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。已知：ABC中，AB=AC求证：B=C分析：分析：1.如何证明两个角相等如何证明两个角相等？ 2.2.如何构造两个全等的如何构造两个全等的三角形？三角形？性质1ABC 如何构造两个全等的三角形如何构造两个全等的三角形?ABC已知：ABC中， AB=AC 求证：B=CABC则有则有12D1 2在在ABD和和ACD中中证明证明: 作顶角的平分线作顶角的平分线AD，ABAC 12 ADAD （公共边）（公共边） ABD ACD （SAS） BC （全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等） ABC则有则有 BDCDD在在ABD和和ACD中中证明证明: 作作ABC 的中线的中线ADABAC BDCDADAD （公共边）（公共边） ABD ACD （SSS） BC （全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等） ABC则有则有 ADBADC 90D在在RtABD和和RtACD中中证明证明: 作作ABC 的高线的高线ADABAC ADAD （公共边）（公共边） RtABDRtACD （HL） BC （全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等） 等腰三角形性质等腰三角形性质性质性质1 1：等腰三角形两个底角相等，等腰三角形两个底角相等，简称简称“等边对等角等边对等角”在在ABC中，中， AB=AC = ，数学语言数学语言B CABC想一想想一想: : 刚才的证明除了能得到 B C 你还能发现什么?重合的线段重合的角 A B D C ABAC BDCD ADAD B C.BAD CAD ADB ADC=90=90 等腰三角形性质等腰三角形性质性质性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线、底边上的高互相重合。上的中线、底边上的高互相重合。 （可简记为（可简记为“三线合一三线合一”）性质性质2:在在ABC中，中， ( 1 ) AB=AC AD是角平分线，是角平分线， ， _=_ ； ( 2 ) AB=AC AD是中线，是中线， ， = _； ( 3 ) AB=AC ADBC, _=_，_=_ 。BAD CADBAD CADAD BCAD BCBD CDBD CD数学语言数学语言 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、腰上的中线和高，看看它们是否重合？“三线合一”应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高G 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是什么？等腰三角形是轴对称图形，对称轴是什么？ 等腰三角形是等腰三角形是轴对称图形轴对称图形，底边上的中线底边上的中线（顶角平分线，顶角平分线，底边底边上的高上的高）所在的直线所在的直线就是就是 它的对称轴它的对称轴。ABPlAAB作作ABC的高的高AD.DCBC等腰三角形常见辅助线等腰三角形常见辅助线1作顶角的平分线作顶角的平分线AD.D2ABC作作ABC底边底边BC的的中线中线AD.D等腰三角形一个底角为等腰三角形一个底角为7575, ,它的另外两个它的另外两个 角为角为_ _； 等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为7070, ,它的另外两个角它的另外两个角 为为_； 等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为110110, ,它的另外两个角它的另外两个角 为为_ _ _。75, 3070,40或55,5535,35 尝试应用（1） 例1、如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求ABC各角的度数。(课本P76)ABCD解：解：AB=ACAB=AC，BD=BC=ADBD=BC=AD，ABC=ABC= C= BDC，A= ABD （等（等边对等角角)设A=x,则BDC= A+ ABD=2x,从而ABC= C= BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得x=36，在ABC中， A=36，ABC= C=72x2x2x2x尝试应用（2）尝试应用（3）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，B=30。.求和ADC的度数 AB=AC，D是BC边上的中点ADC 90 BAC=180-30-30=120（三线合一） 等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线（顶角顶角平分线，平分线，底边上的高）所在的直线所在的直线就是它的对就是它的对称轴称轴。性质性质1 1：等腰三角形两个底角相等，简称等腰三角形两个底角相等，简称“等边等边对等角对等角”（前提是在同一个三角形中。）性质性质2 2 : :等腰三角形的等腰三角形的等腰三角形的等腰三角形的顶角的顶角的顶角平分线、底边上的顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高中线、和底边上的高互相重合，互相重合，简称简称“三线合三线合 一一”（前提是在同一个等腰三角形中。）你的细心加你的耐心等于成功！ 如图：如图：ABC中，中，AB=AC,AD和和BE是高，它们相是高，它们相交于点交于点H，且，且AE=BE。 求证：求证：AH=2BDABCDEH证明：证明：AB=AC,AD是高是高, BC=2BD12又又BE是高，是高，ADC= BEC= AEH=90在在AEH和和BEC中中AEHBEC(ASA)1+ C= 2+ C=90 1= 2 AEH= BECAE=BE1= 2 AH=BCAH=2BD 一次数学课上，老师布置了一道几何证明题，通过大家的激烈讨论得到了许多种证明方法，聪明的你们，能找出几种证明方法呢？试试看吧！ 如图，已知如图，已知ABCABC中，中，AB=AC,FAB=AC,F在在ACAC上，在上，在BABA的延长线上截取的延长线上截取AE=AF,AE=AF,求证：求证：EDBCEDBCABCDEF如图：在如图：在ABC中，中，AB=AC，BD=CD.求证：求证：OB=OCDCBAO扩展思维扩展思维 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.等腰三角形等腰三角形性质性质2：猜想与论证二猜想与论证二：ABCD 等腰三角形的等腰三角形的顶角顶角平分线平分线与与底边底边上的中上的中线线，底边底边上的高上的高互相重合（简称互相重合（简称“三线三线合一合一”）？，还有呢？，还有呢你会证明吗？ 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平说房梁是水平的，你知道其中的，你知道其中反映了什么数学反映了什么数学 原理原理? ?