极速秒杀法-椭圆经典结论 结论 1：椭圆焦点三角形周长：1 22PFF=2a2 ,=4acMNF周长周长； 例题： （1）椭圆22131xy，点 A,B 经过椭圆左焦点，2ABF的周长。 解：2AB=4a=4 3F 周长。 （2）过椭圆221259xy左焦点作直线与椭圆交于 AB，若22AF + BF =12AB，求的值。 解：2AB=4a=12+ ABAB =8F周长。 结论 2：焦点三角形离心率：121222FFceaPFPF；1 22 1cos2= PFF= PF Fcos2e（，）； 例题： （1）过椭圆22221xyab左焦点作 x 轴的垂线与椭圆交于 P，若1260F PF，求离心率。 解：1212233233FFcteaPFPFt 。 （2）过椭圆22112mxy右焦点2F作 x 轴的垂线与椭圆交于 A,B，若1ABF为正三角形，求椭圆方程。 解：3090coscos112-m22=8309032 3coscos22em 。 （3）已知正方形 ABCD，求以 A，B 为焦点且过 C，D 的椭圆的离心率。 解：121222122FFcteaPFPFtt 。 （4）在三角形 ABC 中，AB=BC，7cos18B ，求以 A,B 为焦点，且过 C 的椭圆的离心率。 解：21221225523593283FFttctACACetaPFPFt 。 （5）设222221Fxyab以的右焦点为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为 M，若1FM与圆相切，求 e. 解：121222c3123FFceaPFPFcc。 结论 3：焦点三角形之夹角：1 22PFF12S=b tan,sin1= FPF22e，； 例题：已知椭圆22221xyab的两焦点，P 为椭圆上点且12120FPF，求离心率取值范围。 解：3sin1 ,122ee ， 。 结论 4：中点弦斜率：则2222220022222200xx11axxybyakkabaybby ； 例题：(1)已知椭圆2222x1ayb的焦点F050（ ，）被直线 y=3x-2 截得弦中点横坐标为12，求椭圆方程。 解：22222111a2-c503-112275252yxkb中点（ ， ），。 (2)已知椭圆 22x143y，确定 m 取值范围，使得对于直线 y=4x+m，椭圆上总有不同两点关于该直线对称。 解：00000013ABx-344xkyxy 设中点（，y ）,， 22m92 132 13-m -3m1431313mm 中点（，）在椭圆内。 结论 5：椭圆上任意不与 x 轴垂直弦 AB 中点 M，O 为原点，则22ABOM2kk=e1ba ； 例题：(1)过点 M（1,1）作斜率为1-2的直线与椭圆2222x1yab交于 A,B 两点，且 M 为 AB 中点，求离心率。 解：2ABOM2112k=1,K=-kk222OMABbea 。 （2）过椭圆2222x1yab的右焦点直线x30y交椭圆于 A,B 两点，且 p 为 AB 中点，OP 斜率为12，求椭圆方程。 解：222PABOM211k=-1,K=kkF3 0a6,312263OABbxyba （，）。 （3）椭圆22221xyab的右焦点 F(3,0),过 F 作直线交椭圆于 A，B 两点，若中点 M(1,-1),求椭圆方程。 解：222222119k1-11=3 2,3122a189ABOMxykeeeab （ ）。 结论 6：椭圆上两关于原点对称点为 A，B，任意点为 P，则222kk=e1PAPBba ； 例题：(1)已知椭圆2222x1yab的离心率 e=63,过椭圆上一点 M 作直线 MA，MB 分别交椭圆于 A,B 两点，且斜率分别为12k ,k，若 A，B 关于原点对称，求12k k的值。 解：222212221k k=-1a3bacea 。 (2)已知椭圆22x143y的左右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆上，且 PA 斜率取值范围：-2 -1，,直线 PB 的斜率取值范围。 解：212233 3k kk2, 1 =-,48 4bka 。 结论 7：焦点弦：设通径长为 H， 则222222222222H2abH2abAB =(xAB =(cossin1-e cos1-e sinacac焦点在 轴）；焦点在y 轴）； 例题：(1)已知斜率为 1 的直线过椭圆22x14y焦点交椭圆于 A，B 两点，求AB。 解：2222H82AB =351-e sin1-sin 454； (2)已知过椭圆 221x1F32y 的左焦点的直线叫椭圆于 B，D 两点，过2F右焦点的直线交椭圆于 A，C 两点，且ACBD,垂足为 P，求四边形 ABCD 的面积最小值。 解：ABCD2224411969633S=min112224sin 2251-cos1-sin33ABDBCDSSBDAC. 结论 8：焦半径： 则2222bbbbAF =AF =(xBFBF(cos+ cossin+ sinaca caca c；焦点在 轴）；焦点在y 轴）； 例题：已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆2222x1yab左焦点1F交椭圆于 A，B 两点，其中22AFAB BF，成等差数列，求椭圆离心率。 解：22222222AF + BF =2 AB422ABAF + BF + AB =4a32cos4aabeac 。 结论 9：焦半径之比：2111ek（焦点在 x 轴） ；2111)k1e（焦点在 y 轴）; 例题：(1)连接椭圆22221xyab右焦点 F 和短轴端点 A 交椭圆于另点 B,且2AFFB，求离心率。 解：22111 2 1311112 13bekece 。 (2)已知22221xyba的离心率22e ，直线 l:y=kx+1 过上焦点 F 与椭圆交于 A，B 两点,若 A 到 y 轴距离是点 B 到y 轴距离的 2 倍，求 k。 解：221112 12141)1)kk1k2 127e（ 。 结论 10：焦半径之比求离心率取值范围：111e椭圆：，； 例题：已知椭圆22221xyab的两焦点，P 为椭圆上点且123PPFF，求离心率取值范围。 解：111112ee ， 。 结论 11：仿射变换求斜率：222222x1PAPBybk kaba 椭圆：； 例题： （1）已知 P 是椭圆22221axyb上一点，且 A，B 为椭圆左右顶点，求 PA，PB 两直线斜率之积。 解：222222xa+y1,1PAPBPAPBPAPBxabxk kk kk kybayb 。 （2）已知 P 是椭圆22143xy上一点，且 A，B 为椭圆左右顶点，且 PB 斜率取值范围为【-2，-1】 ，求 PA 斜率取值范围。 解：333-2k1k484PAPBPBPAk k ， 。 结论 12：仿射变换求面积：2222x1ySabSab 椭圆：； 例题： （1）已知椭圆22y14x，且 A（2,0） ，B（0,1） ，直线 y=kx(k0)与 AB 相交于 D，于椭圆相交于 EF，求四边形 AEBF 面积最大值。 解：22maxmaxx1+y1,222(EFS2 12=2 222xxSAByy ） 。 （2）已知椭圆22y143x，且四边形 EFGH 四个顶点都在椭圆上，且 EG，FH 过原点，若3k4EGFHk ，求证：四边形 EFGH 面积为定值。 解：22121212121212x33332+y1,1,y44223xyyyyyyxxxxxxxy 则对角线垂直 ， 1S2 2=2S=232=4 32 。 结论 13：直线与椭圆位置关系： 222222222222222c(c(c(A aB bA aB bA aB b相切）；相离）；相交）； 例题： （1）求直线 y=2x+1 与椭圆22y1416x的位置关系_。 解：14 4 1 16 ，则相交。 （2）求直线 x+y-3=0 与椭圆22y14x的位置关系_。 解：94 1 1 1 ，则相离。