二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第三节第三节不定积分不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法1高等数学53定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1. 即即 在在上上(或或) (或或) 2高等数学53定积分的换元法和分部积分法证证: 所证等式两边被积函数都连续所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在且它们的原函数也存在 .这因为：这因为：是是的原函数的原函数 ,则则3高等数学53定积分的换元法和分部积分法应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意: : 换元必换限换元必换限 , 原函数中的变量不必代回原函数中的变量不必代回 .4高等数学53定积分的换元法和分部积分法 换元公式也可反过来使用换元公式也可反过来使用 , 即即 配元配元配元不换限配元不换限6高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例1 1 计算计算解解8高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例2 2 计算计算解解9高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例3 3 计算计算解解原式原式10高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例4. 计算计算解解: 令令则则 原式原式 =且且11高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例6. 计算计算解解: 令令则则 原式原式 =且且 12高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例7.求证：求证：证：证：即只需证：即只需证：13高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例7.(1) 若若(2) 若若偶倍奇零偶倍奇零14高等数学53定积分的换元法和分部积分法奇函数奇函数例例8 8 计算计算解解 原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积15高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例9 9 设函数设函数解解1所以所以16高等数学53定积分的换元法和分部积分法解解2 2 令令x-2=tx-2=t，有，有17高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例10 10 计算积分计算积分 解（解（1 1）当）当 时时（2 2）当）当 时时（3）当当18高等数学53定积分的换元法和分部积分法证证（1）设）设19高等数学53定积分的换元法和分部积分法（2）设）设20高等数学53定积分的换元法和分部积分法21高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例12 12 证明下列等式：证明下列等式：证明证明: :（1 1）等式两边被积函数相同，应从积分区）等式两边被积函数相同，应从积分区间入手，设间入手，设22高等数学53定积分的换元法和分部积分法对等式右端第二个积分设对等式右端第二个积分设所以原式成立所以原式成立23高等数学53定积分的换元法和分部积分法证明证明：24高等数学53定积分的换元法和分部积分法证明证明：25高等数学53定积分的换元法和分部积分法证明证明：26高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例 是连续函数，是连续函数，解解: 令令则则且且 27高等数学53定积分的换元法和分部积分法 是连续函数，是连续函数，解解: 令令则则且且 28高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例13 13 是连续奇函数，证明是连续奇函数，证明 是偶函数；是偶函数； 是连续偶函数，证明是连续偶函数，证明 是奇函数。是奇函数。 证明证明:(1)令令 对对 设设t=-ut=-u有有即即证毕，同理可证证毕，同理可证(2)29高等数学53定积分的换元法和分部积分法定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 30高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例14. 计算计算解解:原式原式 =31高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例15 15 计算计算解解32高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例16 16 计算计算解解33高等数学53定积分的换元法和分部积分法解解例例17.17.设设 求求34高等数学53定积分的换元法和分部积分法35高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例18 18 设设f f（x x）在积分区间上连续，证明：）在积分区间上连续，证明：证明证明1 1：用分部积分法：用分部积分法36高等数学53定积分的换元法和分部积分法证明证明2 2 左端左端= = 37高等数学53定积分的换元法和分部积分法证明证明3 3( (常用常用) )38高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例20 20 设设解解 41高等数学53定积分的换元法和分部积分法例例21 21 设设f f（x x）连续，计算）连续，计算解解 （1 1）令）令x+t=ux+t=u，则，则dt=dudt=du（2） 42高等数学53定积分的换元法和分部积分法思考与练习思考与练习1.提示提示: 令则则43高等数学53定积分的换元法和分部积分法2. 设设解法解法1解法解法2 对已知等式两边求导对已知等式两边求导,思考思考:若改题为若改题为提示提示: 两边求导两边求导, 得得得得44高等数学53定积分的换元法和分部积分法3. 设设求求解解:(分部积分分部积分)45高等数学53定积分的换元法和分部积分法解：解：5.右端试证试证分部积分积分再次分部积分= 左端左端46高等数学53定积分的换元法和分部积分法47高等数学53定积分的换元法和分部积分法48高等数学53定积分的换元法和分部积分法49高等数学53定积分的换元法和分部积分法50高等数学53定积分的换元法和分部积分法