2.6幂函数与二次函数 知识梳理双基自测211.幂函数(1)幂函数的定义:形如(R)的函数称为幂函数,其中x是,是.(2)五种幂函数的图象y=x 自变量 常数 2知识梳理双基自测21(3)五种幂函数的性质 R R R 0,+) x|xR,且x0 R 0,+) R 0,+) y|yR,且y0 增 x0,+)时,增,x(-,0)时,减 增 增 x(0,+)时,减,x(-,0)时,减 3知识梳理双基自测212.二次函数(1)二次函数的三种形式一般式:;顶点式:,其中为顶点坐标;零点式:,其中为二次函数的零点.f(x)=ax2+bx+c(a0) f(x)=a(x-h)2+k(a0) (h,k) f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0) x1,x2 4知识梳理双基自测21(2)二次函数的图象和性质 5知识梳理双基自测2162知识梳理双基自测3415 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5) 7知识梳理双基自测234152.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的x都有f(x+1)=f(-x),那么()A.f(-2)f(0)f(2)B.f(0)f(-2)f(2)C.f(2)f(0)f(-2)D.f(0)f(2)f(-2) 答案解析解析关闭 答案解析关闭8知识梳理双基自测23415A.bacB.abcC.bcaD.ca0时,幂函数在区间(0,+)内都是增函数,当x2f(x2);x1f(x1)x2f(x2); 其中正确结论的序号是()A.B.C.D.C D 13考点1考点2考点3A.bacB.abcC.bcaD.ca0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在区间(0,+)内单调递增.(3)当1时,曲线下凸;当01时,曲线上凸;当0时,曲线下凸.16考点1考点2考点33.比较幂值大小的常见类型及解决方法:(1)同底不同指,可以利用指数函数单调性进行比较;(2)同指不同底,可以利用幂函数单调性进行比较;(3)既不同底又不同指,常常找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小.17考点1考点2考点3 答案解析解析关闭 答案解析关闭18考点1考点2考点3例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.思考求二次函数解析式时如何选取恰当的表达形式?19考点1考点2考点320考点1考点2考点321考点1考点2考点3解法三 (利用交点式)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,因此所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.22考点1考点2考点3解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:(1)已知三个点坐标,宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两个交点坐标,宜选用交点式.23考点1考点2考点3对点训练对点训练2已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1,则f(x)的解析式为f(x)=. 答案解析解析关闭 答案解析关闭24考点1考点2考点3考向一二次函数的最值问题例3设函数y=x2-2x,x-2,a,若函数的最小值为g(x),求g(x).思考如何求含参数的二次函数在闭区间上的最值?25考点1考点2考点3解 函数y=x2-2x=(x-1)2-1,对称轴为直线x=1,x=1不一定在区间-2,a内,当-21时,函数在-2,1上单调递减,在1,a上单调递增,则当x=1时,y取得最小值,即ymin=-1.26考点1考点2考点3考向二与二次函数有关的存在性问题例4已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是.思考如何理解本例中对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0)? 答案解析解析关闭 答案解析关闭27考点1考点2考点3考向三二次函数中的恒成立问题例5已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,bR),xR.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间;(2)在(1)的条件下,f(x)x+k在区间-3,-1上恒成立,求k的取值范围.思考由不等式恒成立求参数取值范围的一般解题思路是什么?28考点1考点2考点3解 (1)函数f(x)的最小值为f(-1)=0,a=1,b=2.f(x)=x2+2x+1,单调递减区间为(-,-1,单调递增区间为-1,+).(2)f(x)x+k在区间-3,-1上恒成立,等价为x2+x+1k在区间-3,-1上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x-3,-1,则g(x)在-3,-1上单调递减.故g(x)min=g(-1)=1.因此k1,即k的取值范围为(-,1).29考点1考点2考点3解题心得1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.2.已知函数f(x),g(x),若对任意的x1a,b都存在x0a,b,使得g(x1)=f(x0),求g(x)中参数的取值范围,说明g(x1)在a,b上的取值范3.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键:(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值.30考点1考点2考点3对点训练对点训练3(1)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关(2)已知当x0,1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a有最大值2,则a的值为.(3)已知a是实数,当x-1,1时,函数f(x)=2ax2+2x-3恒小于零,则a的取值范围为. 答案 答案关闭31考点1考点2考点3所以最值之差一定与a有关,与b无关,故选B.(2)函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a.当a1时,f(x)max=f(1)=a,则a=2.综上可知,a=-1或a=2.32考点1考点2考点3(3)由题意知2ax2+2x-30在区间-1,1上恒成立.当x=0时,-30时,图象过原点和点(1,1),在第一象限图象从左往右是逐渐上升;当0时,图象过点(1,1),但不过原点,在第一象限图象从左往右是逐渐下降.2.求二次函数的解析式时,应根据题目给出的条件,选择恰当的表达式.3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)的最大值.34