问题问题 2626 利用基本不等式处理最值利用基本不等式处理最值一、考情分析不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例 ,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析,供参考二、经验分享(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件类型二类型二未知定值未知定值【例 2】已知x, y为正实数,则A4x3y的最小值为（）x 3yx5103 B C D3332【答案】D【解析】号,故选 D.【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式【 小 试 牛 刀 】【 山 东 省 烟 台 市2018届 高 三 下 学 期 高 考 诊 断 性 测 试 】 已 知 函 数在 R 上是单调递增函数,则A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A,当且仅当时取等c的最小值是2b3a技巧一：凑项技巧一：凑项【例 3】设a b 0,则的最小值是（）A1 B2 C3 D4【分析】拼凑成和为定值的形式【解 析】 4(当且仅当a 21 ab,即和时取等号),故选 D.2abb 2【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件 ,如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象,还应加强非定构定、不等作图这方面的训练,并注重表达的规范性,才能灵活应对这类题型.技巧五：整体代换技巧五：整体代换多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错【例 7】已知x 0, y 0,且191,求x y的最小值xy,故【错解】Qx 0, y 0,且191,xy【错因】 解法中两次连用基本不等式,在199等号成立条件是x y,在 2等号成立条件xyxy是19,即y 9x,取等号的条件的不一致,产生错误因此,在利用基本不等式处理问题时,列出等号成xy立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法【正解】, ,当且仅当y9x时,xy19上式等号成立,又1,可得xy时,【小试牛刀】已知正实数a,b满足a3b 7,则的最小值为_【答案】134 314技巧六：取平方技巧六：取平方【例 8】已知x,y为正实数,3x2y10,求函数W 3x 2y的最值【分析一】可以利用算术平均与平方平均之间的不等关系【解法一】 3x 2y 2（ 3x）2（ 2y）2 23x2y2 5 【分析二】条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢【解法二】W0,W23x2y2 3x 2y102 3x 2y10( 3x )2( 2y )210(3x2y)20,W 20 2 5 【小试牛刀】求函数【解析】注意到2x1与52x的和为定值,又y 0, ,的最大值当且仅当2x1=52x,即x 3时取等号,故ymax 2 22【点评】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件技巧七：构造技巧七：构造要求一个目标函数f (x, y)的最值,我们利用基本不等式构造一个以f (x, y)为主元的不等式 （一般为二次不等式）,解之即可得f (x, y)的最值【例 9】设x, y为实数,若,则2x y的最大值是【分析】 利用基本不等式将已知定值式中4x2 y2,xy的均转化成含2x y的不等式,再求2x y的最大值【答案】【解析】2105,可解得2x y的最大值为2105【点评】本题的解法过程体现了“消元”的思想,所求目标函数是和的形式,那我们就设法消去条件等式中的乘积,方法就是利用基本不等式,这里它的作用,一个是消元,还有就是把条件的等式变为了不等式【小试牛刀】若正实数x,y,满足,则x y的最大值为（）A2 B3 C. 4 D5【分析】构成关于x y的不等式,通过解不等式求最值【解析】由,得.即,.计算得出:技巧八：添加参数技巧八：添加参数【例 10】若已知a,b,c 0,则.x y的最大值是4.所以 C 选项是正确的.的最小值为【小试牛刀】设x, y,z,w是不全为零的实数,求的最大值【解析】显然我们只需考虑以找到相应的正参数,满足：的情形,但直接使用基本不等式是不行的,我们假设可故依据取等号的条件得, ,参数t就是我们要求的最大值消去,我们得到一个方程,此方程的最大根为我们所求的最大值,得到t 2 12【 点 评 】 从 这 个 例 子 我 们 可 以 看 出 , 这 种 配 凑 是 有 规 律 的 , 关 键 是 我 们 建 立 了 一 个 等 式,这个等式建立的依据是等号成立的条件,目的就是为了取得最值4【湖北省武汉市 2019 届高中毕业生二月调研】 已知则A的最小值为（） B C8 D为抛物线上两点， 为坐标原点， 且，【答案】C5 【江西省南昌市第二中学2019 届高三第六次考试】已知数列项A，使得 B，则 C D的最小值为（）的前 项和为，若存在两【答案】B【解析】因为两式相减化简可得，所以，.公比由，可得，则，解得，当且仅当时取等号，此时，解得，取整数，均值不等式等号条件取不到，则验证可得，当时，取最小值为，故选 B.中 ， 点满 足，为上 一 点 ， 且6 【 河 北 省 邢 台 市 2019 年 高 三 期 末 】 在，则A B C D【答案】A【解析】因为，所以， （当且仅当，则，即，的最大值为（），因为时，等号成立） ，故上的一个动点,点,三点共线，所以.故选 A为两个定点,则7 【山西省 2018 届高三第一次模拟】若点 为圆的最大值为（）A. B.【答案】B C. D.8 【 云 南 省 保 山 市2018届 普 通 高 中 毕 业 生 第 二 次 市 级 统 测 】 在ABC中 , 若,则的最小值为（）A.5 B.2 5 C.6 D.【答案】B62b c,【解析】设VABC的内角 A,B,C 所对应的三条边分别为a，则有由正弦定理得：展开可得则=,所以,当且仅当tanB5时,等号成立,故选 B5中, 为的重心,过 点的直线分别交9 【辽宁省朝阳市普通高中 2018 届高三第一次模拟】在,于 , 两点,且, D.,则的最小值（）A. B. C.【答案】A10 【湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末】已知三点则的最小值为共线,A. 11 B. 10 C. 6 D. 4【答案】A【解析】由共线得, ,当且仅当时取等号,所以选 A.20 【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018 届高三联考】已知a 1,b 2,则的最小值为_【答案】621 【江苏省常州 2018 届高三上学期期末】 各项均为正数的等比数列an中,若的最小值为_.【答案】3【解析】因为an是各项均为正数的等比数列,且,即,即,所以,即a3的最小值为3.,则a3,则点睛：本题考查等比中项和基本不等式的应用；在处理等比数列中,往往考查等比数列的性质的应用,如：在等比数列an中,若,则.,x 0,y 0则x y的最小值22 【福建省闽侯第四中学 2018 届高三上学期期末】已知是_【答案】232【解析】y x3 ,0 x 4x34