第六章第六章多目标决策分析多目标决策分析广西大学数学与信息科学学院广西大学数学与信息科学学院运筹管理系运筹管理系第六章第六章多目标决策分析多目标决策分析在决策分析中，决策问题要达到的目的称为在决策分析中，决策问题要达到的目的称为决策目标决策目标，用数值表示决策方案实现某个目，用数值表示决策方案实现某个目标程度的标准和法则，称为标程度的标准和法则，称为决策准则决策准则。前面讨论的问题都只有一个决策目标和一个前面讨论的问题都只有一个决策目标和一个评价准则（如收益最大、效用最大），属单评价准则（如收益最大、效用最大），属单目标、单准则决策。目标、单准则决策。单目标决策的关键：合理选择决策准则。单目标决策的关键：合理选择决策准则。实际问题常常有多个决策目标，每个目标的实际问题常常有多个决策目标，每个目标的评价准则往往也不是只有一个，而是多个评价准则往往也不是只有一个，而是多个多目标、多准则决策问题多目标、多准则决策问题。6.1多目标决策的目标准则体系多目标决策的目标准则体系多目标决策问题的目标往往相互联系、相互多目标决策问题的目标往往相互联系、相互制约，有的甚至相互矛盾。制约，有的甚至相互矛盾。在多目标决策问题中，有的目标可以用一个在多目标决策问题中，有的目标可以用一个或几个决策准则直接进行评价和比较，有的或几个决策准则直接进行评价和比较，有的目标则难以进行直接评价和比较。目标则难以进行直接评价和比较。如何解决这一问题？如何解决这一问题？通常将难以进行直接评价和比较的目标分解通常将难以进行直接评价和比较的目标分解为若干子目标，直至这些子目标能用一个或为若干子目标，直至这些子目标能用一个或几个决策准则进行评价和比较。几个决策准则进行评价和比较。例：某经济特区计划兴建一个大型海港例：某经济特区计划兴建一个大型海港港址的选择需要综合考虑港址的选择需要综合考虑经济、技术、环经济、技术、环境以及社会境以及社会四个方面。四个方面。决策目标有四个：决策目标有四个：经济、技术、环境、社会经济、技术、环境、社会这四个目标均不能直接用一个或几个准则这四个目标均不能直接用一个或几个准则进行评价，要根据决策主体和实际情况的进行评价，要根据决策主体和实际情况的要求，逐级分解为若干子目标。要求，逐级分解为若干子目标。如：如：经济目标经济目标可以分解成直接经济效益和间可以分解成直接经济效益和间接经济效益两个一级子目标。直接经济效接经济效益两个一级子目标。直接经济效益又可以继续分解为投资额、投资回收期益又可以继续分解为投资额、投资回收期和利税总额等三个二级子目标和利税总额等三个二级子目标海港港址海港港址经济经济技术技术环境环境社会社会直直接接效效益益间间接接效效益益投投资资额额投投资资回回收收期期利利税税总总额额海海运运收收益益国国际际贸贸易易收收益益国国内内贸贸易易收收益益航航道道海海滩滩建建筑筑运运行行城城市市关关系系交交通通关关系系资资源源环环保保政政策策军军事事 6.1多目标决策的目标准则体系多目标决策的目标准则体系6.1.1目标准则体系的意义目标准则体系的意义目标准则体系目标准则体系指依据决策主体要求和实际情况需要，对目指依据决策主体要求和实际情况需要，对目标经过逐层分解形成的多层次结构的子目标标经过逐层分解形成的多层次结构的子目标系统。目标准则体系的最低一层子目标可以系统。目标准则体系的最低一层子目标可以用单一准则进行评价。用单一准则进行评价。多目标决策问题的关键多目标决策问题的关键就是合理地选择和构就是合理地选择和构造目标准则体系。造目标准则体系。6.1.1目标准则体系的意义目标准则体系的意义构造目标准则体系应注意的原则构造目标准则体系应注意的原则系统性原则系统性原则各子目标要反映所有因素的整体影响，具各子目标要反映所有因素的整体影响，具有层次性和相关性。有层次性和相关性。可比性原则可比性原则不同系统的横向比较；同一系统的纵向动不同系统的横向比较；同一系统的纵向动态比较。态比较。可操作性原则可操作性原则各子目标含义明确，便于数据采集和计算。各子目标含义明确，便于数据采集和计算。6.1.2目标准则体系的结构目标准则体系的结构1、单层次目标准则体系、单层次目标准则体系各个目标都属于同一层次，每个目标无须各个目标都属于同一层次，每个目标无须分解就可以用单准则给出定量评价。分解就可以用单准则给出定量评价。图图6-26-2 单层次目标准则体系单层次目标准则体系总目标总目标目标目标m目标目标m-1目标目标2目标目标16.1.2目标准则体系的结构目标准则体系的结构2、序列型多层次目标准则体系、序列型多层次目标准则体系目标准则体系的各个目标，均可以按序列目标准则体系的各个目标，均可以按序列分解为若干个低一层次的子目标；分解为若干个低一层次的子目标；各子目标又可以继续分解；各子目标又可以继续分解；这样一层层按类别有序地进行分解，直到这样一层层按类别有序地进行分解，直到最低一层子目标可以按某个准则给出数量最低一层子目标可以按某个准则给出数量评价为止。评价为止。特点：特点：各子目标可按序列关系分属各类目标，各子目标可按序列关系分属各类目标，不同类别的目标准则之间不发生直接联系；不同类别的目标准则之间不发生直接联系；每个子目标均由相邻上一层的某个目标分每个子目标均由相邻上一层的某个目标分解而成。解而成。6.1.2目标准则体系的结构目标准则体系的结构3、非序列型多层次目标准则体系、非序列型多层次目标准则体系某一层次的各子目标，一般某一层次的各子目标，一般不单不单是由相邻是由相邻上一层次某子目标分解而成，各子目标也上一层次某子目标分解而成，各子目标也不能按序列关系分属各类；不能按序列关系分属各类；相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系，存在联系的子目标之间用实线建立联系，存在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，不存在连结，无实线连结的子目标之间，不存在直接联系。直接联系。3、非序列型多层次目标准则体系、非序列型多层次目标准则体系G.c1c2cn-1cng11g12g1n-1g1n最高层最高层中间层中间层准则层准则层g21g22g1k-1g1k6.1.3评价准则和效用函数评价准则和效用函数在多目标决策中，制定了目标准则体系后，在多目标决策中，制定了目标准则体系后，不同的目标通常用不同的评价准则衡量。不同的目标通常用不同的评价准则衡量。问题：问题：如何从总体上给出方案对于目标准则如何从总体上给出方案对于目标准则体系中的全部目标的满意度？体系中的全部目标的满意度？必须将不同度量单位的准则，化为无量纲必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳与综合，才能建立各可行方过程进行归纳与综合，才能建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。案之间具有可比性的数量关系。效用函数正是一种统一的数量标度。效用函数正是一种统一的数量标度。6.1.3评价准则和效用函数评价准则和效用函数多目标决策中，任何一个方案的效果均可多目标决策中，任何一个方案的效果均可以由目标准则体系的全部结果值所确定。以由目标准则体系的全部结果值所确定。可行方案在每一个目标准则下，确定可行方案在每一个目标准则下，确定个个结果值，对目标准则体系，就得到一组结结果值，对目标准则体系，就得到一组结果值，并经过各目标准则的效用函数，得果值，并经过各目标准则的效用函数，得出一组效用值。出一组效用值。这样，任何一个可行方案在总体上对决策这样，任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，可以通过这些效用值按照主体的满意度，可以通过这些效用值按照某种法则并合而得，满意度是综合评价可某种法则并合而得，满意度是综合评价可行方案的依据。行方案的依据。6.1.4目标准则体系风险因素的处理目标准则体系风险因素的处理单目标风险型决策中，各备选方案看成是在单目标风险型决策中，各备选方案看成是在整体上处于同一类状态空间的。整体上处于同一类状态空间的。多目标决策中，风险因素可能只涉及某些目多目标决策中，风险因素可能只涉及某些目标准则，备选方案不宜在整体上视为处于同标准则，备选方案不宜在整体上视为处于同一类状态空间。一类状态空间。多目标决策的风险因素，多目标决策的风险因素，应该在目标准则体应该在目标准则体系中对涉及风险因素的各子目标分别加以处系中对涉及风险因素的各子目标分别加以处理。理。将风险型多目标问题转化为确定型多目将风险型多目标问题转化为确定型多目标问题。标问题。6.2目标规划方法目标规划方法6.2.1目标规划模型目标规划模型多目标线性规划问题多目标线性规划问题问题：问题：能否化为单目标线性规划问题求解？能否化为单目标线性规划问题求解？如何处理各目标的主次、轻重？如何处理各目标的主次、轻重？6.2目标规划方法目标规划方法例例6.1某厂生产甲、乙两种产品，每件产品的某厂生产甲、乙两种产品，每件产品的单位利润、所消耗的原材料及设备工时、单位利润、所消耗的原材料及设备工时、材料和设备工时的限额如下表所示。材料和设备工时的限额如下表所示。甲甲乙乙限额限额原材料（公斤）原材料（公斤）设备（工时）设备（工时）23322426利润（元利润（元/件）件）42产品产品消耗消耗原料原料例例6.1决策者根据市场需求等一系列因素，提出决策者根据市场需求等一系列因素，提出下列目标（依重要程度排列）：下列目标（依重要程度排列）：首要目标是保证乙产品的产量大于甲产品首要目标是保证乙产品的产量大于甲产品产量；产量；尽可能充分利用工时，但又不希望加班；尽可能充分利用工时，但又不希望加班；确保达到计划利润确保达到计划利润30元。元。试对厂家生产作出决策分析。试对厂家生产作出决策分析。设甲、乙产品的产量分别为设甲、乙产品的产量分别为x1、x2件。件。6.2目标规划方法目标规划方法目标规划是求解多目标线性规划的方法之一。目标规划是求解多目标线性规划的方法之一。目标规划的基本方法目标规划的基本方法对每一个目标函数引进一个期望值；对每一个目标函数引进一个期望值；引入正、负偏差变量，表示实际值与期望值引入正、负偏差变量，表示实际值与期望值的偏差，并将目标函数转化为约束条件，与的偏差，并将目标函数转化为约束条件，与原有约束条件构成新的约束条件组；原有约束条件构成新的约束条件组；引入目标的优先等级和权系数，构造新的单引入目标的优先等级和权系数，构造新的单一的目标函数，将多目标问题转化为单目标一的目标函数，将多目标问题转化为单目标问题求解。问题求解。6.2目标规划方法目标规划方法1、目标函数的、目标函数的期望值期望值ek对于多目标线性规划的每一个目标函数值对于多目标线性规划的每一个目标函数值Zk( (k=1,2,K) )，根据实际情况和决策者，根据实际情况和决策者的希望，确定一个期望值的希望，确定一个期望值ek。在在例例6.1中中乙产品与甲产品产量之差的目标值可定为乙产品与甲产品产量之差的目标值可定为0；生产工时的目标值为生产工时的目标值为26（工时）；（工时）；利润的目标值为利润的目标值为30（元）。（元）。6.2目标规划方法目标规划方法2、正负偏差变量、正负偏差变量对每一个目标函数值，分别引入正、负偏差对每一个目标函数值，分别引入正、负偏差变量变量 正正负负偏偏差差变变量量分分别别表表示示实实际际目目标标值值超超过过和和低低于期望值的数值。于期望值的数值。引引入入偏偏差差变变量量之之后后，目目标标就就变变成成了了约约束束条条件件，成为约束条件组的一部分。成为约束条件组的一部分。6.2目标规划方法目标规划方法在在例例6.1中，令：中，令：d1+,d1- -分分别别表表示示乙乙产产品品与与甲甲产产品品产产量量之之差差超超过和达不到目标值的偏差变量；过和达不到目标值的偏差变量；d2+,d2- -分分别别表表示示生生产产工工时时超超过过和和达达不不到到目目标标值的偏差变量；值的偏差变量；d3+,d3- -分分别别利利润润超超过过和和达达不不到到目目标标值值的的偏偏差变量；差变量；则三个目标可化则三个目标可化为含有偏差变量为含有偏差变量的约束条件的约束条件6.2目标规划方法目标规划方法3、优先因子（优先等级）和权系数、优先因子（优先等级）和权系数如何区别不同目标的主次轻重？如何区别不同目标的主次轻重？凡要求第一位达到的目标赋于优先因子凡要求第一位达到的目标赋于优先因子P1，次位的目标赋于优先因子次位的目标赋于优先因子P2，并规定，并规定PkPk+1（表示（表示Pk比比Pk+1有更大的优先权，有更大的优先权，Pk+1级目标是在保证级目标是在保证Pk 级目标实现的基础上才级目标实现的基础上才能考虑的）（能考虑的）（k1,2，K）为区别具有相同优先因子的两个目标的差别，为区别具有相同优先因子的两个目标的差别，可分别赋于它们不同的权系数可分别赋于它们不同的权系数j优先等级及权数的赋值由决策者确定。优先等级及权数的赋值由决策者确定。6.2目标规划方法目标规划方法4、达成函数、达成函数(准则函数准则函数)目标规划模型的目标目标规划模型的目标函数函数准则函数准则函数由各目标约束的正、负偏差变量及由各目标约束的正、负偏差变量及相应的优先因子和权系数构造而成。相应的优先因子和权系数构造而成。注：注：目标规划模型的目标函数是对各目标的偏目标规划模型的目标函数是对各目标的偏差的综合（将多目标化为单目标），在目标差的综合（将多目标化为单目标），在目标函数中函数中不包含原决策变量不包含原决策变量，且一定是，且一定是极小型极小型的（偏差最小）。的（偏差最小）。4、达成函数、达成函数(准则函数准则函数)当每一目标值确定后，决策者的要求是偏差当每一目标值确定后，决策者的要求是偏差变量尽可能小，因此其目标函数只能是极小变量尽可能小，因此其目标函数只能是极小形式，具体有以下三种基本形式：形式，具体有以下三种基本形式：v要求恰好达到目标值要求恰好达到目标值( (正、负偏差都要尽可正、负偏差都要尽可能小能小) )v要要求求不不超超过过目目标标值值( (正偏差应尽可能小正偏差应尽可能小) )v要要求求不不低低于于目目标标值值( (负偏差应尽可能小负偏差应尽可能小) )6.2目标规划方法目标规划方法在在例例6.1中，中，首首要要目目标标是是保保证证乙乙产产品品的的产产量量大大于于甲甲产产品品产产量，赋于优先因子量，赋于优先因子P1，目标为，目标为d1- -尽可能小；尽可能小；次次级级目目标标是是生生产产工工时时恰恰好好达达到到目目标标值值，赋赋于于优先因子优先因子P2，目标为，目标为d2- -和和d2都要小；都要小；最最后后的的目目标标是是利利润润不不低低于于30元元，赋赋于于优优先先因因子子P3，目标为，目标为d3- -尽可能小；尽可能小；因此，可构造准则函数如下：因此，可构造准则函数如下：6.2目标规划方法目标规划方法例例6.1的目标规划模型为：的目标规划模型为：6.2目标规划方法目标规划方法目标规划的一般模型目标规划的一般模型6.2目标规划方法目标规划方法目标规划的建模步骤目标规划的建模步骤（1）假设决策变量；）假设决策变量；（2）建立约束条件；）建立约束条件；（3）建立各个目标函数；）建立各个目标函数；（4）确定各目标期望值，引入偏差变量，将）确定各目标期望值，引入偏差变量，将目标函数化为约束方程；目标函数化为约束方程；（5）确定各目标优先级别和权系数，构造准）确定各目标优先级别和权系数，构造准则函数。则函数。6.3化多为少方法化多为少方法对对单层次多目标单层次多目标决策模型决策模型其其中中f1(x),f2(x),fm(x)表表示示m个个目目标标函函数数，X表示满足某些约束条件的表示满足某些约束条件的n维点集。维点集。处理方法：处理方法：（1）化为一个单目标问题）化为一个单目标问题（2）化为多个单目标问题。）化为多个单目标问题。例例6.5某厂在计划期内生产甲、乙两种产品。某厂在计划期内生产甲、乙两种产品。产品产品产品产品资源资源资源资源甲甲乙乙资源限额资源限额原材料原材料A（公斤）（公斤）原材料原材料B（公斤）（公斤）设备设备C（工时）（工时）4594310200240300价格（元价格（元/件）件）400600利润（元利润（元/件）件）70120污染污染32例例6.5设产品能全部销售出去设产品能全部销售出去问：计划期应如何安排生产，才能使利润和问：计划期应如何安排生产，才能使利润和产值都达到最大，而造成的污染最小？产值都达到最大，而造成的污染最小？解：解：设计划期分别生产甲、乙产品设计划期分别生产甲、乙产品x1、x2件，件，则问题则问题的数学的数学模型为：模型为：6.3化多为少方法化多为少方法6.3.1主要目标法主要目标法主要目标主要目标所有决策目标中，重要程度最所有决策目标中，重要程度最高和最为关键的目标。主要目标要求达到高和最为关键的目标。主要目标要求达到最优。最优。其余目标作为非主要目标，满足一定条件其余目标作为非主要目标，满足一定条件即可（满意）。即可（满意）。设设f1(x)为主要目标，为主要目标，则由：则由：可以得到（可以得到（6.3）的一个有效解。）的一个有效解。例例6.5决策者确定以利润最大为主要目标决策者确定以利润最大为主要目标并要求：总产值至少应达到并要求：总产值至少应达到20000元，污染量元，污染量则应控制在则应控制在90个单位以下。个单位以下。由主要目标法可得到单目标规划问题：由主要目标法可得到单目标规划问题：6.3化多为少方法化多为少方法6.3.2线性加权和法线性加权和法给目标给目标fi(x)赋以权系数赋以权系数i（i=1,2,m）然然后作新的目标函数后作新的目标函数构成单目标决策问题：构成单目标决策问题：难难点点：如如何何使使多多个个目目标标用用同同一一尺尺度度统统一一起起来来（多多种种方方法法在在下下一一章章中中介介绍绍，可可以以将将各各目目标标统统一作效用值度量）；如何选择合理的权系数。一作效用值度量）；如何选择合理的权系数。6.3.2线性加权和法线性加权和法1.法法以两个目标的多目标决策问题为例以两个目标的多目标决策问题为例记：记：（即即x(1)、x(2)分分别别为为以以f1(x)和和f2(x)目目标标的的单单目标问题的最优解）目标问题的最优解）6.3.2线性加权和法线性加权和法1.法法化作单目标决策问题化作单目标决策问题要求：要求：c1是任意的非零常数。是任意的非零常数。即可确定权系数。即可确定权系数。若进一步要求若进一步要求1+2=1，可得：，可得：例例6.7设有多目标决策问题设有多目标决策问题其中：其中：试用试用法化法化为单目目标决策决策问题。解：解：先分别求解先分别求解得：得：x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T例例6.7x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T则：则：对目标进行线性加权：对目标进行线性加权：化为单目标问题：化为单目标问题：6.3.2线性加权和法线性加权和法2.法法对多目标决策问题对多目标决策问题取：取：化为单目标决策问题：化为单目标决策问题：适用条件：适用条件：fi*06.3化多为少方法化多为少方法6.3.3平方和加权法平方和加权法要求目标要求目标fi(x)与规定值与规定值fi*相差尽量小（相差尽量小（i=1,2,m），），可构造目标函数：可构造目标函数：构成单目标决策问题：构成单目标决策问题：i 权权系数，可按要求的相差程度分系数，可按要求的相差程度分别给别给出。出。6.3化多为少方法化多为少方法6.3.4理想点法理想点法记：记：称称为理想点。为理想点。若若所所有有x(i)都都相相同同，记记为为x(0)，则则x(0)就就是是所所求求的的多多目目标标决决策策问问题题的的最最优优解解；若若不不然然，则则考考虑求解下面的单目标决策问题：虑求解下面的单目标决策问题：例例6.7x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T用理想点法化为单目标决策问题用理想点法化为单目标决策问题构造目标函数构造目标函数6.3化多为少方法化多为少方法6.3.5步骤法（步骤法（STEM法）法）是逐步迭代的方法，也称逐步进行法、对话是逐步迭代的方法，也称逐步进行法、对话式方法。式方法。在求解过程中，每进行一步，分析者就把计在求解过程中，每进行一步，分析者就把计算结果告诉决策者，决策者对计算结果作出算结果告诉决策者，决策者对计算结果作出评价。若认为已满意了，则迭代停止；否则评价。若认为已满意了，则迭代停止；否则分析者再根据决策者的意见进行修改和再计分析者再根据决策者的意见进行修改和再计算，如此直到求得决策者认为满意的解为止。算，如此直到求得决策者认为满意的解为止。6.3.5步骤法（步骤法（STEM法）法）设有多目标线性规划问题：设有多目标线性规划问题：其中其中6.3.5步骤法（步骤法（STEM法）法）STEM法的求解步骤：法的求解步骤：分别求解分别求解k个单目个单目标线性规划问题标线性规划问题得到的最优解记为得到的最优解记为x(i)，其相应的目标函数，其相应的目标函数值记为值记为fi*（i=1,2,k），并），并x(i)代入其它代入其它目标函数：目标函数：结果可列表给出（称为支付表）。结果可列表给出（称为支付表）。STEM法法支付表支付表x(i)f1f2fjfkx(1)z11z21zj1zk1x(i)z1iz2izjizkix(k)z1kz2kzjkzkk6.3.5步骤法（步骤法（STEM法）法）STEM法的求解步骤：法的求解步骤：求权系数：从支求权系数：从支付表中得到付表中得到为找出目标值的偏差以及消除不同目标值的为找出目标值的偏差以及消除不同目标值的量纲不同的问题，进行如下处理量纲不同的问题，进行如下处理：归一化后得权系数：归一化后得权系数：6.3.5步骤法（步骤法（STEM法）法）STEM法的求解步骤：法的求解步骤：求解求解（使目标与理想值的最大加权偏差（使目标与理想值的最大加权偏差最小）最小）该线性规划问题的最优解记为该线性规划问题的最优解记为x0。6.3.5步骤法（步骤法（STEM法）法）STEM法的求解步骤：法的求解步骤：将将x0和相应的目标值和相应的目标值交给决策者判断。交给决策者判断。决策者把这些目标值与理想值进行比较后，决策者把这些目标值与理想值进行比较后，若认为满意了，则可停止计算；若认为相差若认为满意了，则可停止计算；若认为相差太远，则考虑适当修正太远，则考虑适当修正。如：考虑对第如：考虑对第r个目标让一点步，降低一点个目标让一点步，降低一点目标值目标值 fr。6.3.5步骤法（步骤法（STEM法）法）STEM法的求解步骤：法的求解步骤：求解求解求得解后，再与决策者对话，如此重复，直求得解后，再与决策者对话，如此重复，直至决策者认为满意了为止。至决策者认为满意了为止。例例6.9某公司考虑生产甲、乙两种太阳能电池，某公司考虑生产甲、乙两种太阳能电池，生产过程会在空气中引起放射性污染，因生产过程会在空气中引起放射性污染，因此决策者有两个目标：极大化利润与极小此决策者有两个目标：极大化利润与极小化总的放射性污染。已知在一个生产周期化总的放射性污染。已知在一个生产周期内，每单位甲产品的收益是内，每单位甲产品的收益是1元，每单位乙元，每单位乙产品的收益是产品的收益是3元；每单位甲产品的放射性元；每单位甲产品的放射性污染是污染是1.5单位，每单位乙产品的放射性污单位，每单位乙产品的放射性污染是染是1单位，由于机器能力（小时）、装配单位，由于机器能力（小时）、装配能力（人时）和可用的原材料（单位）的能力（人时）和可用的原材料（单位）的限制，约束条件是（限制，约束条件是（x1、x2分别为甲、乙产分别为甲、乙产品的产量）：品的产量）：例例6.9该问题的目标函数为：该问题的目标函数为：例例6.9STEM法求解法求解先分别求解先分别求解得：得：x(1)=(7.25,12.75)T， x(2)=(0,0)T f1*=45.5，f2*=0例例6.9STEM法支付表法支付表f1f2x(1)=(7.25,12.75)T45.523.625x(2)=(0,0)T00例例6.9STEM法求解法求解求权系数：从求权系数：从支付表中得到支付表中得到归一化后得权系数：归一化后得权系数：例例6.9STEM法求解法求解求解求解最优解为最优解为x0=(0,9.57)T,f1(x0)=28.71,f2(x0)=-9.57例例6.9STEM法求解法求解将将x0=(0,9.57)T,f1(x0)=28.71,f2(x0)=-9.57交给决策者判断。交给决策者判断。决策者将其与理想值（决策者将其与理想值（45.5,0）进行比较）进行比较后，认为后，认为f2是满意的，是满意的，但利润太低但利润太低。且认为。且认为可以接受污染值为可以接受污染值为10个单位。个单位。修改约束集修改约束集求解得求解得x1=(0,10)T,f1(x1)=30,f2(x0)=- -10决策者认为满意，停止迭代。决策者认为满意，停止迭代。决策者认为满意，停止迭代。决策者认为满意，停止迭代。 6.4多维效用并合方法多维效用并合方法6.4.1多维效用并合模型多维效用并合模型多目标决策问题其目标属性的特点：多目标决策问题其目标属性的特点：目标间的不可公度性目标间的不可公度性即：对各目标的评价没有统一的量纲，不能即：对各目标的评价没有统一的量纲，不能用同一标准评价。用同一标准评价。目标间的矛盾性目标间的矛盾性提高某一目标值，可能会损害另一目标值。提高某一目标值，可能会损害另一目标值。多维效用并合方法是解决目标间的不可公度多维效用并合方法是解决目标间的不可公度性和矛盾性的一种有效途径。性和矛盾性的一种有效途径。6.4.1多维效用并合模型多维效用并合模型设多目标决策方案有设多目标决策方案有m个可行方案：个可行方案：a1，a2，.，am有有s个评价准则，测定和计算个评价准则，测定和计算s个评价准则的个评价准则的效用函数为：效用函数为：u1，u2，.，us得到这得到这m个可行方案在个可行方案在s个评价准则下的效个评价准则下的效用值分别是：用值分别是：u1( (ai ) )，u2( (ai ) )，.，us( (ai ) )( (i=1，2，.，m) )6.4.1多维效用并合模型多维效用并合模型多维效用并合方法多维效用并合方法为了从总体上表示可行方案为了从总体上表示可行方案ai 的总效用，需的总效用，需要要通过某种特定的方法和逻辑程序通过某种特定的方法和逻辑程序，将，将s个个分效用合并为总效用，并依据各可行方案的分效用合并为总效用，并依据各可行方案的总效用对其进行排序。这一多目标决策方法总效用对其进行排序。这一多目标决策方法称为多维效用并合方法。称为多维效用并合方法。主要用于主要用于序列型序列型多层次目标准则体系多层次目标准则体系Hv1w2w1v2w4w3vl wkwk-1u2u1ulul-1.usus-1.图图6.6 序列型多层次目标准则体系序列型多层次目标准则体系6.4.1多维效用并合模型多维效用并合模型图图6.6中：中：H表示可行方案的总效用值，即满意度；表示可行方案的总效用值，即满意度；v1，v2，.，vl表示第二层子目标的效用值；表示第二层子目标的效用值；如如此此类类推推，w1，w2，.，wk表表示示倒倒数数第第二二层各子目标的效用值；层各子目标的效用值；u1，u2，.，us 表表示示最最低低一一层层各各准准则则的的效效用值。用值。6.4.1多维效用并合模型多维效用并合模型效用并合过程效用并合过程从下到上，逐层进行从下到上，逐层进行。最低一层各准则的效用，经过并合得到：最低一层各准则的效用，经过并合得到： 符符号号“”表表示示按按某某种种规规则则和和逻逻辑辑程程序序进进行行的的效用并合运算。效用并合运算。6.4.1多维效用并合模型多维效用并合模型多维效用并合的最满意方案为多维效用并合的最满意方案为a*，其满意度，其满意度满足：满足：第三层子目标的效用并合得到第二层各目标第三层子目标的效用并合得到第二层各目标的并合效用值：的并合效用值：最后，可得可行方案最后，可得可行方案ai 的满意度为：的满意度为：6.4.2多维效用并合规则多维效用并合规则在多目标决策中，根据决策目标的不同属性，在多目标决策中，根据决策目标的不同属性，效用并合采取不同方式进行。效用并合采取不同方式进行。多维效用合并规则可由二维效用合并规则导多维效用合并规则可由二维效用合并规则导出，故先讨论二维效用合并规则。出，故先讨论二维效用合并规则。二维效用函数与二维效用曲面二维效用函数与二维效用曲面设效用设效用u1，u2分别在区间分别在区间0，1上取值，上取值，二元连续函数二元连续函数W=W(u1，u2)称为称为二维效用函二维效用函数数，其定义域是坐标平面，其定义域是坐标平面u1，u2上的一个正上的一个正方形，称为二维效用平面，其值域是方形，称为二维效用平面，其值域是W轴上轴上的区间的区间0，1，曲面，曲面W=W(u1，u2)称为称为二二维效用曲面维效用曲面。6.4.2多维效用并合规则多维效用并合规则多维效用函数与多维效用曲面多维效用函数与多维效用曲面设效用设效用u1，u2，.，un 分别在区间分别在区间0，1上取值，上取值，n元连续函数元连续函数W=W(u1，u2，.，un)称为称为n维效用函数维效用函数。其定义域是其定义域是n维效用空间维效用空间u1，u2，.，un上有上有2n个顶点的凸多面体。个顶点的凸多面体。其值域是其值域是0，1。曲面曲面W=W(u1，u2，.，un)称为称为n维效用曲维效用曲面面。6.4.2多维效用并合规则多维效用并合规则1.距离规则距离规则称满足以下条件的并合规则为距离规则：称满足以下条件的并合规则为距离规则：当二效用同时达到最大值时，并合效用达到当二效用同时达到最大值时，并合效用达到最大值最大值1，即：，即：W(1，1)=1；当二效用同时取最小值时，并合效用取零效当二效用同时取最小值时，并合效用取零效用值用值(最小值最小值)，即：，即：W(0，0)=0；二效用之一达到最大值，均不能使并合效用二效用之一达到最大值，均不能使并合效用达到最大值，即：达到最大值，即：0W(u1，1)1，0u110W(1，u2)1，0u20 0时，近似于乘法规则形式：时，近似于乘法规则形式： 6.4.3多维效用并合方法应用实例多维效用并合方法应用实例多维效用并合方法是多目标决策的一种实多维效用并合方法是多目标决策的一种实用方法，在经济管理、项目评价、能源规用方法，在经济管理、项目评价、能源规划、人口控制等方面有着广泛的应用。划、人口控制等方面有着广泛的应用。例：例：“我国总人口目标我国总人口目标”实例实例经过统计分析测算，我国人口发展周期应经过统计分析测算，我国人口发展周期应是人均寿命是人均寿命70年，制定控制人口目标，宜年，制定控制人口目标，宜以以100年为时间范围。需要确定年为时间范围。需要确定100年内，年内，我国人口控制最合理的总目标是多少。我国人口控制最合理的总目标是多少。例：例：“我国总人口目标我国总人口目标”方案：方案：对我国总人口目标的对我国总人口目标的14个方案进行决策分个方案进行决策分析，即我国总人口分别控制为析，即我国总人口分别控制为2亿、亿、3亿、亿、4亿、亿、5亿、亿、6亿、亿、7亿、亿、8亿、亿、9亿、亿、10亿、亿、11亿、亿、12亿、亿、13亿、亿、14亿、亿、15亿亿14个人口方个人口方案，分别记为案，分别记为ai (i=1,2,14),其满意度分其满意度分别为别为Hi (i=1,2,14)。例：例：“我国总人口目标我国总人口目标”各国各国对比对比u9我国人口总目标我国人口总目标HV1V2吃用吃用v1实力实力v2用用w2吃吃w1粮食粮食u1鱼肉鱼肉u2空气空气u4水水u5能源能源u6土地土地u3最低总和最低总和生育率生育率u8GNPu7目标准则体系目标准则体系例：例：“我国总人口目标我国总人口目标”效用并合效用并合1、u1（粮食粮食）、u2（鱼肉鱼肉）并合为并合为w1宜用乘宜用乘法规则：法规则：w1u1u22、u3（土地）、（土地）、u4（空气）、（空气）、u5（水）（水）并并合为合为w2宜宜用乘法规则用乘法规则w2u3u4u53、u6（能源）、（能源）、u7（GNP）并合为并合为v2宜用宜用乘法规则乘法规则v2u7u84、u8（minmin）、）、 u9（各国对比）（各国对比）并合为并合为V2宜宜用乘法规则用乘法规则V2u8u9 例：例：“我国总人口目标我国总人口目标”效用并合效用并合5、w1（吃吃）、w2（用用）并合为并合为v1宜用加法规宜用加法规则：则：v1w1+(1-)w26、v1（吃用）、（吃用）、v2（实力）（实力）并合为并合为V1宜宜用用加法规则：加法规则：V1v1+(1-)v27、V1、V2并合为并合为H宜用乘法规则：宜用乘法规则：HV1V2得：得：6.5层次分析方法层次分析方法AHP方法方法是美国运筹学家是美国运筹学家T.L.Saaty于于20世纪世纪70年代提出的，年代提出的，AHP决策分析法是决策分析法是Analytic Hierarchy Process的简称。的简称。是一种定性与定量相结合的多目标决策分析是一种定性与定量相结合的多目标决策分析方法。方法。AHP决策分析法，能有效地分析决策分析法，能有效地分析非序列型非序列型多多层次目标准则体系，是解决复杂的非结构化层次目标准则体系，是解决复杂的非结构化的经济决策问题的重要方法，是计量经济学的经济决策问题的重要方法，是计量经济学的主要方法之一。的主要方法之一。例例6.10科研课题的综合评价科研课题的综合评价综合评价科研课题综合评价科研课题成果贡献成果贡献人才培养人才培养可行性可行性发展前景发展前景实实用用价价值值科科技技水水平平优优势势发发挥挥难难易易程程度度研研究究周周期期财财政政支支持持经经济济效效益益社社会会效效益益6.5.1AHP方法的基本原理方法的基本原理首先要将问题条理化、层次化，构造出能够首先要将问题条理化、层次化，构造出能够反映系统本质属性和内在联系的递阶层次模反映系统本质属性和内在联系的递阶层次模型。型。1.递阶层次模型递阶层次模型根据系统分析的结果，弄清系统与环境的关根据系统分析的结果，弄清系统与环境的关系，系统所包含的因素，因素之间的相互联系，系统所包含的因素，因素之间的相互联系和隶属关系等。系和隶属关系等。将具有共同属性的元素归并为一组，作为结将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层次，同一层次的元素既对下构模型的一个层次，同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层次元素的制约。层次元素的制约。1.递阶层次模型递阶层次模型AHP的层次结构既可以是序列型的，也可的层次结构既可以是序列型的，也可以以是非序列型是非序列型的。一般将层次分为三种类的。一般将层次分为三种类型：型：最高层：最高层：只包含一个元素，表示决策分析只包含一个元素，表示决策分析的总目标，也称为总目标层。的总目标，也称为总目标层。中间层：中间层：包含若干层元素，表示实现总目包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的各子目标，也称为目标层。标所涉及到的各子目标，也称为目标层。最低层：最低层：表示实现各决策目标的可行方案、表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。措施等，也称为方案层。1.递阶层次模型递阶层次模型H.A1A2An-1AnG11G12G1n-1G1n最高层最高层中间层中间层最低层最低层G21G22G1k-1G1k层次结构图层次结构图1.递阶层次模型递阶层次模型相邻两层元素之间的关系用直线标明，称之相邻两层元素之间的关系用直线标明，称之为作用线，元素之间不存在关系就没有作用为作用线，元素之间不存在关系就没有作用线。线。若某元素与相邻下一层次的所有元素均有关若某元素与相邻下一层次的所有元素均有关系，则称此元素与下一层次存在系，则称此元素与下一层次存在完全层次关完全层次关系系；如果某元素仅与相邻下一层次的部分元；如果某元素仅与相邻下一层次的部分元素有关系，则称为素有关系，则称为不完全层次关系不完全层次关系。实际中，模型的层次不宜过多，每层元素一实际中，模型的层次不宜过多，每层元素一般不宜超过般不宜超过9个。目的：避免模型中存在过个。目的：避免模型中存在过多元素而使主观判断比较有困难。多元素而使主观判断比较有困难。2.层次元素排序的特征向量法层次元素排序的特征向量法构建了层次结构模型，决策就转化为待评构建了层次结构模型，决策就转化为待评方案（最低层）关于具有层次结构的目标方案（最低层）关于具有层次结构的目标准则体系的排序问题准则体系的排序问题。AHP方法采用优先权重作为区分方案的优方法采用优先权重作为区分方案的优劣程度的指标，优先权重是一种相对度量劣程度的指标，优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣程度，数值介于数，表示方案相对优劣程度，数值介于01之间，数值越大，方案越优，反之越劣。之间，数值越大，方案越优，反之越劣。方案层各方案关于目标准则体系整体的优方案层各方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从下到上逐层计先权重，是通过递阶层次从下到上逐层计算的。这一过程称为算的。这一过程称为递阶层次权重解析过递阶层次权重解析过程程。递阶层次权重解析过程递阶层次权重解析过程( (1) )测算每一层次关于上一层次某元素的优先测算每一层次关于上一层次某元素的优先权重（相邻两层次间的权重解析）权重（相邻两层次间的权重解析）方法：方法：构造判断矩阵；构造判断矩阵；计算判断矩阵的最大特征值和特征向量；计算判断矩阵的最大特征值和特征向量；以以特征向量各分量表示该层次元素的优先权特征向量各分量表示该层次元素的优先权重（？）重（？），得到层次单排序。，得到层次单排序。( (2) )进行组合加权，得到该进行组合加权，得到该层次元素对于相邻层次元素对于相邻上一层次整体的组合优先权重上一层次整体的组合优先权重层次总排序层次总排序( (3) )最后计算得到方最后计算得到方案层各方案关于目标准则案层各方案关于目标准则体系整体的优先权重。体系整体的优先权重。物体测重问题物体测重问题设有设有m个物体，其重量分别为个物体，其重量分别为W1, ,W2, ,Wm（未知），为测出各物体的重量，现将每一（未知），为测出各物体的重量，现将每一物体的重量与其它物体的重量作两两比较，物体的重量与其它物体的重量作两两比较，其重量比值构成了一个其重量比值构成了一个m阶方阵阶方阵A物体测重问题物体测重问题记各物体重量组成的向量（未知）为记各物体重量组成的向量（未知）为W( (W1, ,W2, ,Wm) )T有：有：由由线线性性代代数数知知：m是是A的的最最大大特特征征值值，W是是矩矩阵阵A属于特征值属于特征值m的特征向量。的特征向量。物体测重问题的物体测重问题的启示启示v若一组物体无法直接测出其重量，但可以通若一组物体无法直接测出其重量，但可以通过两两比较判断，得到每对物体相对过两两比较判断，得到每对物体相对重量的重量的判断值，则可构造判断矩阵判断值，则可构造判断矩阵(A), ,求解判断矩求解判断矩阵的最大特征值和向量对应的特征向量，就阵的最大特征值和向量对应的特征向量，就可以得到这组物体的相对重量。可以得到这组物体的相对重量。v类似地，对于社会、经济和管理领域的决策类似地，对于社会、经济和管理领域的决策问题，可以通过建立层次结构模型，在相邻问题，可以通过建立层次结构模型，在相邻两层次之间构造两两元素比较的判断矩阵，两层次之间构造两两元素比较的判断矩阵，用特征向量法求出层次单排序，最终完成递用特征向量法求出层次单排序，最终完成递阶层次解析过程。阶层次解析过程。物体测重问题的物体测重问题的启示启示v从对物体测重问题的分析中可以看出，判从对物体测重问题的分析中可以看出，判断矩阵断矩阵A的元素的元素aij0 0( (i,j=1,2,m) )，且满足以下条件且满足以下条件：aii= =1, ,i=1,2,maij= =1/ /aji , , i,j=1,2,maij= =aik / /ajk , i,j, k=1,2,m满足条件满足条件的的矩阵矩阵A称为互反的一致称为互反的一致性正矩阵。性正矩阵。3.互反正矩阵与一致性矩阵互反正矩阵与一致性矩阵定义定义1：设有矩阵设有矩阵A(aij )mm（1）若）若aij0(i,j=1,2,m)，则称，则称A为非为非负矩阵，记作负矩阵，记作A0；（2）若）若aij0(i,j=1,2,m)，则称，则称A为正为正矩阵，记作矩阵，记作A0。定义定义2：设有设有m维列向量维列向量X(x1,x2,xm)T（1）若）若xj0(j=1,2,m)，则称，则称X为非负为非负向量，记作向量，记作X0；（2）若）若xj0(j=1,2,m)，则称，则称X为正向为正向量，记作量，记作X0。3.互反正矩阵与一致性矩阵互反正矩阵与一致性矩阵定理定理1：设有矩阵设有矩阵A(aij )mm0，则：，则：（1）A有最大特征值有最大特征值max，且，且max是单根，其是单根，其余特征值的模均小于余特征值的模均小于max；（2）A的属于的属于max的特征向量的特征向量X0；（3）max由下面的等式给出：由下面的等式给出：其中：其中：3.互反正矩阵与一致性矩阵互反正矩阵与一致性矩阵定义定义3：设有矩阵设有矩阵A(aij )mm0，若，若A满足：满足：（1）aii=1,i =1,2,m（2）aij=1/aji ,i, j =1,2,m则称则称A为互反正矩阵。为互反正矩阵。定义定义4：设有矩阵设有矩阵A(aij )mm0，若，若A满足：满足：aij=aik /ajk,i,j, k=1,2,m则称则称A为一致性矩阵。为一致性矩阵。一致性矩阵的性质一致性矩阵的性质一致性正矩阵是互反正矩阵；一致性正矩阵是互反正矩阵；若若A是一致性矩阵，则是一致性矩阵，则A的转置矩阵的转置矩阵AT也也是一致性矩阵；是一致性矩阵；A的每一行均为任意指定一行的正整数倍；的每一行均为任意指定一行的正整数倍；A的最大特征值的最大特征值maxm，其余特征值为，其余特征值为0；若若A的属于特征值的属于特征值max的特征向量为：的特征向量为：X(x1,x2,xm)T 则：则：aij=xi /xj,i, j =1,2,m互反正矩阵的性质互反正矩阵的性质一致性正矩阵是互反正矩阵，反之，互反一致性正矩阵是互反正矩阵，反之，互反正正矩阵不一定是一致性矩阵。正正矩阵不一定是一致性矩阵。定理定理2：设设A(aij )mm是互反正矩阵，是互反正矩阵，max是是A的最大特征值，则的最大特征值，则maxm。定理定理3：设设A(aij )mm是互反正矩阵，是互反正矩阵，1，2 ，m是是A的特征值，则：的特征值，则：定定理理4 4：互互反反正正矩矩阵阵A是是一一致致性性矩矩阵阵的的充充要要条件是：条件是： maxm6.5.2判断矩阵判断矩阵1.判断矩阵的构造判断矩阵的构造设设m个元素个元素(方案或目标方案或目标)对某一准则存在相对某一准则存在相对重要性，根据特定的标度法则，第对重要性，根据特定的标度法则，第i个元素个元素(i1，2，n)与其它元素两两比较判断，与其它元素两两比较判断，其相对重要程度为其相对重要程度为aij(i,j1,2,n),这样这样构造的构造的m阶矩阵用以求解各元素关于某准则阶矩阵用以求解各元素关于某准则的优先权重，称为权重解析判断矩阵，简称的优先权重，称为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作判断矩阵，记作A=(aij)mm构造判断矩阵的关键，在于设计一种特定的构造判断矩阵的关键，在于设计一种特定的比较判断两元素相对重要程度的比较判断两元素相对重要程度的标度法则标度法则，使得任意两元素相对重要程度有一定的数量使得任意两元素相对重要程度有一定的数量标准。标准。19标度方法标度方法标标度度度度定定定定义义含含含含义义1 1同同同同样样重要重要重要重要两元素两元素两元素两元素对对某属性，一元素比另一元某属性，一元素比另一元某属性，一元素比另一元某属性，一元素比另一元素同素同素同素同样样重要重要重要重要3 3稍微重要稍微重要稍微重要稍微重要两元素两元素两元素两元素对对某属性，一元素比另一元某属性，一元素比另一元某属性，一元素比另一元某属性，一元素比另一元素稍微重要素稍微重要素稍微重要素稍微重要5 5明明明明显显重要重要重要重要两元素两元素两元素两元素对对某属性，一元素比另一元某属性，一元素比另一元某属性，一元素比另一元某属性，一元素比另一元素明素明素明素明显显重要重要重要重要7 7强强强强烈重要烈重要烈重要烈重要两元素两元素两元素两元素对对某属性，一元素比另一元某属性，一元素比另一元某属性，一元素比另一元某属性，一元素比另一元素素素素强强强强烈重要烈重要烈重要烈重要9 9极端重要极端重要极端重要极端重要两元素两元素两元素两元素对对某属性，一元素比另一元某属性，一元素比另一元某属性，一元素比另一元某属性，一元素比另一元素极端重要素极端重要素极端重要素极端重要2 2、4 4、6 6、8 8 相相相相邻标邻标度中度中度中度中值值 表示相表示相表示相表示相邻邻两两两两标标度之度之度之度之间间折中折中折中折中时时的的的的标标度度度度上列上列上列上列标标度倒数度倒数度倒数度倒数反比反比反比反比较较元素元素元素元素i i对对元素元素元素元素j j的的的的标标度度度度为为a aij ij，元素元素元素元素j j对对元素元素元素元素 i i的的的的标标度度度度为为1/1/a aij ij2.判断矩阵的一致性检验判断矩阵的一致性检验v19标度方法构造的判断矩阵标度方法构造的判断矩阵A一定是互反一定是互反正矩阵；正矩阵；v但但A不一定是一致性矩阵，实际中，很难构不一定是一致性矩阵，实际中，很难构造出具有完全一致性的矩阵；造出具有完全一致性的矩阵；v只有判断矩阵只有判断矩阵A具有完全的一致性时，才有具有完全的一致性时，才有唯一非零的最大特征值，其余特征值为唯一非零的最大特征值，其余特征值为0，层，层次单排序才能归结为判断矩阵次单排序才能归结为判断矩阵A的最大特征的最大特征值及其特征向量，才能用特征向量的各分量值及其特征向量，才能用特征向量的各分量表示优先权重。表示优先权重。v实际中，我们希望判断矩阵具有满意的一致实际中，我们希望判断矩阵具有满意的一致性，这样计算出的层次单排序结果才合理。性，这样计算出的层次单排序结果才合理。2.判断矩阵的一致性检验判断矩阵的一致性检验v判断矩阵判断矩阵A是互反正矩阵，故是互反正矩阵，故maxm；v当当A是一致性矩阵时：是一致性矩阵时：maxm，且其余的特，且其余的特征值为征值为0；vA具有满意的一致性：具有满意的一致性：max略大于略大于m，其余的，其余的特征值接近于特征值接近于0；设设1，2 ，m是是A的全部特征值，则：的全部特征值，则：12 mtr(A)=m设设1=max，则：，则：2.判断矩阵的一致性检验判断矩阵的一致性检验v一般来说，一般来说，C.I越大，偏离一致性越大，反之，越大，偏离一致性越大，反之，偏离一致性越小。偏离一致性越小。v此外，判断矩阵的阶数此外，判断矩阵的阶数m越大，判断的主观越大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大。因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大。反之，偏离一致性越小。反之，偏离一致性越小。v当阶数当阶数m2时，时，C.I=0，判断矩阵具有完全的，判断矩阵具有完全的一致性。一致性。（1）判断矩阵的一致性指标）判断矩阵的一致性指标2.判断矩阵的一致性检验判断矩阵的一致性检验（2）平均随机一致性指标）平均随机一致性指标R.I：是足够多个根是足够多个根据随机发生的判断矩阵计算的一致性指标据随机发生的判断矩阵计算的一致性指标的平均值（表的平均值（表6.15）。）。（3）一致性比率）一致性比率C.R=C.I/R.Iv用一致性比率用一致性比率C.R检验判断矩阵的一致性，检验判断矩阵的一致性，当当C.R越小时，判断矩阵的一致性越好。越小时，判断矩阵的一致性越好。v一般认为，当一般认为，当C.R0.1时，判断矩阵符合满时，判断矩阵符合满意的一致性标准，层次单排序的结果是可意的一致性标准，层次单排序的结果是可以接受的，否则，需要修正判断矩阵，直以接受的，否则，需要修正判断矩阵，直到检验通过。到检验通过。判断矩阵一致性检验的步骤判断矩阵一致性检验的步骤（2）查表）查表6.15得到平均随机一致性指标得到平均随机一致性指标R.I（3）计算一致性比率）计算一致性比率C.R=C.I/R.I若若C.R0.1，接受判断矩阵；，接受判断矩阵；否则，修改判断矩阵。否则，修改判断矩阵。（1）求出判断矩阵的一致性指标）求出判断矩阵的一致性指标C.I3.判断矩阵的求解判断矩阵的求解构造了判断矩阵，就要求解出判断矩阵的构造了判断矩阵，就要求解出判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，才能进最大特征值及其对应的特征向量，才能进行一致性检验。行一致性检验。由于判断矩阵是决策者主观判断的定量描由于判断矩阵是决策者主观判断的定量描述（不精确），因此在求解时可采用简化述（不精确），因此在求解时可采用简化计算的方法，求出近似解即可。计算的方法，求出近似解即可。简化计算的思路简化计算的思路一致阵的任一列向量一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。义下的平均。3.判断矩阵的求解判断矩阵的求解1、和法和法取列向量的取列向量的算术平均算术平均将判断矩阵将判断矩阵A的元素按的元素按列列作归一化处理，得作归一化处理，得矩阵矩阵Q=(qij)mm将将 Q的的 元元 素素 按按 行行 相相 加加 ， 得得 到到 向向 量量 ( (1, ,2, , ,m) )T （三）判断矩阵的求解（三）判断矩阵的求解1、和法和法取列向量的取列向量的算术平均算术平均对对向向量量作作归归一一化化处处理理得得特特征征向向量量W(w1,w2,wm)T求最大特征值求最大特征值即对矩阵即对矩阵Q各行求算术平均得特征向量各行求算术平均得特征向量W。列向量列向量归一化归一化行算术行算术平均平均精确结果精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010一致性检验：一致性检验：C.I0.005，R.I0.52，C.R0.010.13.判断矩阵的求解判断矩阵的求解2、根法根法取列向量的取列向量的几何平均几何平均计算判断矩阵计算判断矩阵A的每一行元素之积的每一行元素之积计计 算算 Mi的的 m次次 方方 根根 得得 到到 向向 量量 ( (1,2,m) )T （三）判断矩阵的求解（三）判断矩阵的求解2、根法根法取列向量的取列向量的几何平均几何平均对对向向量量作作归归一一化化处处理理得得特特征征向向量量W(w1,w2,wm)T求最大特征值求最大特征值每行元每行元素之积素之积归一化归一化一致性检验：一致性检验：C.I0.0055，R.I0.52，C.R0.0110.1三三次次方根方根3.判断矩阵的求解判断矩阵的求解3、幂法、幂法逐步迭代的方法逐步迭代的方法经过若干次迭代计算，按照规定的精度，经过若干次迭代计算，按照规定的精度，求出判断矩阵求出判断矩阵A的最大特征值及其对应的特的最大特征值及其对应的特征向量。幂法是依据下面的定理提出的。征向量。幂法是依据下面的定理提出的。定理：定理：设矩阵设矩阵A(aij)mm0，则：，则：其其中中：W是是A的的最最大大特特征征值值对对应应的的特特征征向向量量，C为常数，向量为常数，向量e( (1,1, ,1) )T3、幂法、幂法步骤步骤1）任取初始正向量任取初始正向量W(0),k=0，设置精度设置精度 2）计算计算3）归一化归一化5）计算计算4）若若3.判断矩阵的求解判断矩阵的求解停止；否则，停止；否则，k=k+1, , 转转2）3.判断矩阵的求解判断矩阵的求解为了克服随着判断矩阵阶数的增加而产生精为了克服随着判断矩阵阶数的增加而产生精确求解最大特征值的困难，还可其他近似方确求解最大特征值的困难，还可其他近似方法确定方案的权重。法确定方案的权重。问问题题：对对一一致致阵阵A(aij)mm0,其其权权向向量量为为W=(w1,wm)T，则应有：则应有：aij=wi/wj实实际际中中A不不一一定定是是一一致致阵阵,对对于于正正互互反反矩矩阵阵，在在求求解解权权向向量量时时，应应选选权权向向量量W使使wi/wj与与aij相差尽量小（对所有相差尽量小（对所有i，j）。）。3.判断矩阵的求解判断矩阵的求解最小二乘法（最小二乘法（LSM）：对正互反矩阵，通过）：对正互反矩阵，通过下列最优化问题导出排序向量的方法称为最下列最优化问题导出排序向量的方法称为最小二乘法。小二乘法。这是一个非线性规划问题。这是一个非线性规划问题。3.判断矩阵的求解判断矩阵的求解对数最小二乘法（对数最小二乘法（LLSM）：对正互反矩阵，）：对正互反矩阵，通过下列最优化问题导出的排序向量的方法通过下列最优化问题导出的排序向量的方法称为对数最小二乘法。称为对数最小二乘法。目目标标函函数数关关于于lnwi是是线线性性的的，该该方方法法结结果果与与根根法相同。法相同。3.判断矩阵的求解判断矩阵的求解梯度特征向量法（梯度特征向量法（GEM）：设正互反判断矩）：设正互反判断矩阵为阵为A，其伪（拟）互反矩阵为，其伪（拟）互反矩阵为由由下下面面的的递递推推公公式式导导出出排排序序向向量量的的方方法法称称为为梯度特征向量法。梯度特征向量法。其中：其中：3.判断矩阵的求解判断矩阵的求解最小偏差法（最小偏差法（LDM）：对正互反矩阵，）：对正互反矩阵，由下由下列最优化问题导出的排序向量的方法称为最列最优化问题导出的排序向量的方法称为最小偏差法。小偏差法。F(w)有有唯唯一一的的极极小小点点w*，且且w*是是下下列列方程组的唯一解：方程组的唯一解：3.判断矩阵的求解判断矩阵的求解目标规划法目标规划法(LGP)：目标规划法是由：目标规划法是由Brynon提出的，提出的，Brynon考虑了人们认识的差异性，考虑了人们认识的差异性，通过引进正、负偏差变量通过引进正、负偏差变量，建立判断矩阵的元素与权重的关系：建立判断矩阵的元素与权重的关系：3.判断矩阵的求解判断矩阵的求解目标规划法目标规划法(LGP)通过求解下面优化模型，确定方案的权重。通过求解下面优化模型，确定方案的权重。6.5.3递阶层次结构权重解析过程递阶层次结构权重解析过程讨论用讨论用AHP方法对一般非序列型目标准则体方法对一般非序列型目标准则体系问题进行决策。系问题进行决策。G总目标总目标n层子目标层子目标准则层准则层方案层方案层6.5.3递阶层次结构权重解析过程递阶层次结构权重解析过程递阶权重解析：递阶权重解析：AHP方法的目的，在于求出方法的目的，在于求出各方案对总目标各方案对总目标G的优先权重，求解过程从的优先权重，求解过程从上到下，在相邻层次之间逐层进行，故称上到下，在相邻层次之间逐层进行，故称为递阶权重解析。为递阶权重解析。注意：注意：不完全层次关系不完全层次关系如：方案如：方案ai与准则与准则cj不存在关系，构造方案不存在关系，构造方案层对准则层对准则cj的判断矩阵时，应将方案的判断矩阵时，应将方案ai除外，除外，得到得到m1阶矩阵，解得阶矩阵，解得m1维特征向量，维特征向量，再将方案再将方案ai关于准则关于准则cj的权重的权重0补进去，得到补进去，得到m维特征向量。维特征向量。完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联相关联不完全层次结构不完全层次结构第第3层对第层对第2层权向量：层权向量：w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T贡献贡献O教学教学C1科研科研C2P2P1P3P4例例:评价教师贡献的层次结构评价教师贡献的层次结构P1,P2只作教学只作教学,P4只作科研只作科研,P3兼作教学、科研兼作教学、科研。C1,C2支配元素的数目不等支配元素的数目不等6.5.3递阶层次结构权重解析过程递阶层次结构权重解析过程1.递阶权重解析公式递阶权重解析公式首先，讨论相邻两层次间的权重解析。首先，讨论相邻两层次间的权重解析。设已计算第设已计算第k-1层子目标关于总目标层子目标关于总目标G的组合的组合优先权重向量为：优先权重向量为：W(k-1)=(w1(k-1),w2(k-1), wnk-1(k-1)T第第k层子目标的个元素对以第层子目标的个元素对以第k-1层的第层的第j个元个元素为准则的优先权重向量为：素为准则的优先权重向量为：Pj(k)=(p1j(k),p2j(k), pnk j(k)T令：令：P(k)=(p1(k),p2(k), pnk-1(k)TP(k)是第是第k层子目标层子目标nk个元素关于第个元素关于第k-1层层nk-1个元素的优先权重向量构成的个元素的优先权重向量构成的nknk-1矩阵。矩阵。6.5.3递阶层次结构权重解析过程递阶层次结构权重解析过程1.递阶权重解析公式递阶权重解析公式首先，讨论相邻两层次间的权重解析。首先，讨论相邻两层次间的权重解析。则第则第k层子目标关于总目标层子目标关于总目标G的组合优先权重的组合优先权重向量为：向量为：W(k)=(w1(k),w2(k), wnk(k)T其中：其中：6.5.3递阶层次结构权重解析过程递阶层次结构权重解析过程1.递阶权重解析公式递阶权重解析公式其次，用公式将递阶权重解析过程表示出来，其次，用公式将递阶权重解析过程表示出来，给出方案层关于总目标给出方案层关于总目标G的优先权重向量。的优先权重向量。W(1)：表示第一层子目标关于总目标：表示第一层子目标关于总目标G的优先的优先权重向量；权重向量；P(k)=(p1(k),p2(k), pnk-1(k)T：表示第：表示第k层子层子目标目标关于第关于第k-1层各元素的优先权重向量，层各元素的优先权重向量，k=2,n n；6.5.3递阶层次结构权重解析过程递阶层次结构权重解析过程P(c)=(p1(c), p2(c), ps(c)T：表示准则层：表示准则层s个个准则准则关于第关于第n层层nn个子目标的优先权重向量；个子目标的优先权重向量；P(a)=(p1(a), p2(a), ps(a)T：表示方案层：表示方案层m个个方方案关于准则层案关于准则层s个准则的优先权重向量；个准则的优先权重向量；最后，计算方案层各方案关于总目标最后，计算方案层各方案关于总目标G的优的优 先权重先权重。这个优先权重记为：。这个优先权重记为：W(a)=(w1(a),w2(a), wm(a)T计算公式为：计算公式为：6.5.3递阶层次结构权重解析过程递阶层次结构权重解析过程2.AHP方法的基本步骤方法的基本步骤（总结）（总结）建立层次结构模型建立层次结构模型将目标准则体系所包含的因素划分为不同层将目标准则体系所包含的因素划分为不同层次，如目标层、准则层、方案层等，构建递次，如目标层、准则层、方案层等，构建递阶层次结构模型。阶层次结构模型。构造判断矩阵构造判断矩阵按照层次结构模型，从上到下逐层构造判断按照层次结构模型，从上到下逐层构造判断矩阵。矩阵。层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性检验根据实际情况，用不同方法求解判断矩阵最根据实际情况，用不同方法求解判断矩阵最大特征值相对应的特征向量，经过归一化处大特征值相对应的特征向量，经过归一化处理，即得层次单排序权重向量。理，即得层次单排序权重向量。2.AHP方法的基本步骤方法的基本步骤（总结）（总结）层次总排序及其一致性检验层次总排序及其一致性检验 层次总排序是从上到下逐层进行的。在实际计算层次总排序是从上到下逐层进行的。在实际计算层次总排序是从上到下逐层进行的。在实际计算层次总排序是从上到下逐层进行的。在实际计算中，一般按表格形式计算较为简便。中，一般按表格形式计算较为简便。中，一般按表格形式计算较为简便。中，一般按表格形式计算较为简便。层次层次层次层次A A层次层次层次层次B BA A1 1A A2 2 A Amm层次层次层次层次B B总总总总排序权值排序权值排序权值排序权值w w1 1w w2 2 w wmmB B1 1b b1111b b1212 b b1 1mmB B2 2b b2121b b2222 b b2 2mm B Bn nb bn n1 1b bn n2 2 b bnmnm权重权重2.AHP方法的基本步骤方法的基本步骤（总结）（总结）4.层次总排序及其一致性检验层次总排序及其一致性检验 层次总排序检验的一致性指标，平均随机一层次总排序检验的一致性指标，平均随机一致性指标和一致性比率指标分别是：致性指标和一致性比率指标分别是：3.AHP方法应用实例方法应用实例例例6.14 某市中心有一座商场，由于街道狭窄，某市中心有一座商场，由于街道狭窄，人员车辆流量过大，经常造成交通堵塞。市政人员车辆流量过大，经常造成交通堵塞。市政府决定解决这个问题经过有关专府决定解决这个问题经过有关专 家会商研家会商研究究，制定出三个可行方案：，制定出三个可行方案：a1：在商场附近修建一座环形天桥；在商场附近修建一座环形天桥；a2：在商场附近修建地下人行通道；在商场附近修建地下人行通道；a3：搬迁商场。搬迁商场。决策的总目标是改善市中心交通环境。决策的总目标是改善市中心交通环境。（三）（三）AHP方法应用实例方法应用实例专家组拟定专家组拟定5个子目标作为对可行方案的评个子目标作为对可行方案的评价准则：价准则：C1：通车能力；：通车能力；C2：方便群众；：方便群众；C3：基建费用不宜过高；：基建费用不宜过高；C4：交通安全；：交通安全；C5：市容美观。：市容美观。试对该市改善市中心交通环境问题作出决试对该市改善市中心交通环境问题作出决策分析。策分析。例例6.14改善交通环境改善交通环境天桥天桥a1地道地道a2搬迁搬迁a3通车通车能力能力C1方便方便群众群众C2基建基建费用费用C3交通交通安全安全C4市容市容美观美观C5图图6.16 层次结构模型层次结构模型解解：( (1) )建立层次结构模型；建立层次结构模型；例例6.14(2)以总目标为准则，构造判断矩阵以总目标为准则，构造判断矩阵计算判断矩阵的最大特征值计算判断矩阵的最大特征值max=5.206及及对应对应的特征向量的特征向量w=(0.461,0.195,0.091,0.195,0.059)T, 计算计算C.R0.0460，是，是已知数据已知数据；yrj：第：第j 个决策单元第个决策单元第r 种产出指标的产出量，种产出指标的产出量， yrj 0，是，是已知数据已知数据；vi：第：第i 种投入指标的权系数种投入指标的权系数( (待定待定) )，vi0；ur：第：第r 种产出指标的权系数种产出指标的权系数( (待定待定) )，ur0；i=1，2，m；j=1，2，nr=1，2，p2.C2R模型及其基本性质模型及其基本性质投入投入产出产出决策单元决策单元2.C2R模型及其基本性质模型及其基本性质对每个决策单元，都定义一个效率评价指标对每个决策单元，都定义一个效率评价指标hj表示第表示第j个决策单元所取得的经济效率，可以个决策单元所取得的经济效率，可以适当选择权系数，使得适当选择权系数，使得hj1。其其中中：u=( (u1, u2, , up) )T, , v=( (v1, v2, ,vm) )T,xj=( (x1j,x2j,xmj) )T,yj=(y1j,y2j,yrj)T2.C2R模型及其基本性质模型及其基本性质设第设第j0个决策单元的投入和产出向量分别为：个决策单元的投入和产出向量分别为：xj0=( (x1j0, x2j0, xmj0) )T, yj0=(y1j0, y2j0,yrj0)T效率指标效率指标h0=hj0评评价价第第j0个个决决策策单单元元有有效效性性（相相对对于于其其它它决决策策单单元元而而言言）的的模型为：模型为：称为称为CCR模型（模型（C2R）2.C2R模型及其基本性质模型及其基本性质是是一一个个分分式式规规划划，令令t=1/vTx0，=tv, , =tu，则可化为一个等价的线性规划问题：则可化为一个等价的线性规划问题：2.C2R模型及其基本性质模型及其基本性质线性规划线性规划( (P ) )的对偶问题为：的对偶问题为：其其中中：s- - =( (s1- -,s2-,sm-) )T, ,s+=( (s1+,s2+,sm+) )T,为松驰变量向量。为松驰变量向量。3.决策单元的决策单元的DEA有效性有效性定义定义6.6：若线性规划若线性规划( (P) )的最优解的最优解0, ,0满足：满足：VP(0)Ty01则称决策单元则称决策单元j0为弱为弱DEA有效。有效。定义定义6.7：若线性规划若线性规划( (P) )的最优解的最优解0, ,0满足：满足：VP(0)Ty01，且，且00，00则称决策单元则称决策单元j0为为DEA有效。有效。决决策策单单元元j0为为DEA有有效效的的含含义义：指指决决策策单单元元j0相相对对于于其其它它决决策策单单元元，其其效效率率评评价价指指标标取取得得最最优优值值，即即在在多多指指标标投投入入和和多多指指标标产产出出的的情情况况下下，取得了最佳经济效率。取得了最佳经济效率。C2R模型的基本性质模型的基本性质定理定理6.6：若线性规划若线性规划(P)及其对偶问题及其对偶问题(D)都都有可行解，则有可行解，则(P)和和(D)都有最优解，且最优都有最优解，且最优值值VPVD1因此，也可利用对偶规划判定决策单元的因此，也可利用对偶规划判定决策单元的DEA有效性。有效性。定理定理6.7：关于对偶规划关于对偶规划(D)有：有：(1)若若(D)的最优值的最优值VD1，则决策单元，则决策单元j0为弱为弱DEA有效。有效。(2)若若(D)的最优值的最优值VD1，且每个最优解，且每个最优解0 =(10,20,n0)T,s0+，s0-,0都满足都满足s0+s0-=0，则决策单元，则决策单元j0为为DEA有效。有效。C2R模型的基本性质模型的基本性质实际中，评价系统的投入、产出指标均有不实际中，评价系统的投入、产出指标均有不同的量纲。同的量纲。定理定理6.8：决策单元的最优效率指标决策单元的最优效率指标VP与投入指与投入指标标xij及产出指标及产出指标yrj的量纲选取无关。的量纲选取无关。实际应用中，无论利用线性规划实际应用中，无论利用线性规划(P)根据定义根据定义1、2，或利用对偶规划，或利用对偶规划(D)根据定理根据定理2判定决判定决策单元是否策单元是否DEA有效都不是容易的。有效都不是容易的。为使判定决策单元是否为使判定决策单元是否DEA有效更简便、实有效更简便、实用，查思斯和库伯引用了非阿基米德无穷小用，查思斯和库伯引用了非阿基米德无穷小，带有，带有的的C2R模型能用单纯形法求解。模型能用单纯形法求解。带有带有的的C2R模型模型其中：其中：（P）的的对偶规划为对偶规划为决策单元的决策单元的DEA有效性有效性利用带有利用带有的的C2R模型模型D，容易判断决策单，容易判断决策单元的元的DEA有效性。有效性。定理定理6.9：设设为非阿基米德无穷小，线性规划为非阿基米德无穷小，线性规划D的最为优解的最为优解0,s0+，s0-,0，有：，有：(1)若若01，则决策单元，则决策单元j0为弱为弱DEA有效。有效。(2)若若01，且，且s0+s0-=0，则决策单元，则决策单元j0为为DEA有效。有效。利用模型利用模型D一次计算即可判定决策单元是否一次计算即可判定决策单元是否DEA有效，实际操作中，只要取有效，实际操作中，只要取足够小就足够小就可以了。可以了。例例6.15设有设有4个决策单元，个决策单元，2个投入指标和个投入指标和1个产个产出指标的评价系统，其数据如下图出指标的评价系统，其数据如下图所示。所示。试写出评价每个决策单元相对效率的试写出评价每个决策单元相对效率的C2R模模型并判定其型并判定其DEA有效性。有效性。产出产出决策单元决策单元例例6.15解解评价第评价第1个决策单元相个决策单元相对效率对效率C2R模型的线性模型的线性规划（规划（P），对偶规划），对偶规划（D）分别为）分别为 解得：解得：故决策单元故决策单元1为为DEA有效。有效。例例6.15解解评价第评价第2个决策单元相个决策单元相对效率对效率C2R模型的线性模型的线性规划和对偶规划分别规划和对偶规划分别为：为： 解得：解得：故决策单元故决策单元2为为DEA有效。有效。例例6.15解解评价第评价第3个决策单元相个决策单元相对效率对效率C2R模型的线性模型的线性规划和对偶规划分别规划和对偶规划分别为：为： 解得：解得：故决策单元故决策单元3不是不是弱弱DEA有效。有效。例例6.15解解评价第评价第4个决策单元相个决策单元相对效率对效率C2R模型的线性模型的线性规划和对偶规划分别规划和对偶规划分别为：为： 解得：解得：故决策单元故决策单元4不是不是弱弱DEA有效。有效。4.DEA有效决策单元的构造有效决策单元的构造定义定义6.8：设设0，s0-,s0+,0是对偶问题是对偶问题( (D) )的的最优解。令：最优解。令： 称称为为决决策策单单元元j0对对应应的的( (x0 0, ,y0 0) )在在DEA的的相对有效面上的投影。相对有效面上的投影。定理定理6.10：设设 为决策单元为决策单元j0对应的对应的( (x0 0, ,y0 0) )在在DEA的相对有效面上的投影。的相对有效面上的投影。则新则新决策单元相对于原来的决策单元相对于原来的n个决策单元个决策单元来说，是来说，是DEA有效的。有效的。 例例6.15解解决策单元决策单元2、4均不是均不是DEA有效的有效的决策单元决策单元2对应的对偶线性规划（对应的对偶线性规划（D2）的解为）的解为构造新的决策单元：构造新的决策单元：新新决决策策单单元元相相对对于于原原有有的的4个个决决策策单单元元是是DEA有效的。有效的。例例6.15解解决策单元决策单元2、4均不是均不是DEA有效的有效的决策单元决策单元4对应的对偶线性规划（对应的对偶线性规划（D4）的解为）的解为构造新的决策单元：构造新的决策单元：新新决决策策单单元元相相对对于于原原有有的的4个个决决策策单单元元是是DEA有效的。有效的。6.6DEA方法方法6.6.2DEA有效性的经济意义有效性的经济意义1生产函数和生产可能集生产函数和生产可能集生生产产函函数数:y=f( (x) )表表示示理理想想的的生生产产状状态态，即即( (在在单单投投入入和和单单产产出出的的情情况况下下) )投投入入量量x所所能能获得的最大产出量获得的最大产出量y。技技术术有有效效：当当企企业业用用现现有有的的投投入入无无法法得得到到更更大大的的产产出出，或或无无法法以以更更少少的的投投入入获获得得现现有的产出时，称其处于技术有效状态有的产出时，称其处于技术有效状态。生生产产函函数数曲曲线线上上的的点点( (x,y) )所所对对应应的的决决策策单单元，是处于元，是处于技术有效技术有效状态的状态的。6.6.2DEA有效性的经济意义有效性的经济意义1生产函数和生产可能集生产函数和生产可能集规规模模有有效效（最最佳佳生生产产规规模模）：边边际际产产量量最最大大的的状状态态，此此时时的的投投入入量量产产生生最最大大的的产产出出量量递递增增速速度度。是是生生产产函函数数的的拐拐点点（y=0）,左边左边y0,右边右边y0）。）。v规规模模收收益益递递减减：增增加加投投入入量量使使产产出出量量以以递递减的速度增加（减的速度增加（y0）。）。6.6DEA方法方法图图6.206.20 生产函数生产函数xy点点A：既技术有效又规模有效；：既技术有效又规模有效；点点C：技术有效但非规模有效；：技术有效但非规模有效；点点B：既非技术有效又非规模有效。：既非技术有效又非规模有效。6.6.2DEA有效性的经济意义有效性的经济意义1生产函数和生产可能集生产函数和生产可能集生产可能集生产可能集生产可能集定义为所有可能的生产活动构生产可能集定义为所有可能的生产活动构成的集合，记作成的集合，记作T。T(x,y)|产出产出y可由可由x生产出来生产出来记记xj=(x1j,x2j,xmj )T为决策单元为决策单元j的的投入投入向量向量； yj=(y1j,y2j,ypj )T为决策单元为决策单元j的的产出向量产出向量；则：；则：(xj ,yj)T，(j=1,2,n)生产可能集应该满足下面的四条公理生产可能集应该满足下面的四条公理即是说，如果即是说，如果x1,x2分别以分别以和和( (1-) )的加权和的加权和为投入量，则为投入量，则y1,y2以同样的加权和作为产出量。以同样的加权和作为产出量。 即是说，如果以即是说，如果以x的的倍作为投入量，则产出量倍作为投入量，则产出量y是的同样倍数。是的同样倍数。 公理公理2( (锥性锥性) )：对任意对任意(x,y)T，0，均有，均有(x,y)(x,y)T公公 理理 1 1( (凸凸 性性 ) )： 对对 任任 意意 (x1, y1)T， (x2,y2)T以及以及0,1，均有均有(x1,y1)( (1) )(x2,y2)T生产可能集应该满足的公理生产可能集应该满足的公理即是说，在原生产活动中，单方面的增加投入即是说，在原生产活动中，单方面的增加投入量或者减少产出量，生产活动总是可能的。量或者减少产出量，生产活动总是可能的。 公理公理3(无效性无效性)：对于任意（对于任意（x,y)T，公理公理4( (最小性最小性) )：生产可能集生产可能集T是满足公理是满足公理13的所有集合的交集。的所有集合的交集。6.6.2DEA有效性的经济意义有效性的经济意义1.生产函数和生产可能集生产函数和生产可能集由由n个决策单元（个决策单元（xj,yj）的生产活动所描述的）的生产活动所描述的生产可能集，满足公理生产可能集，满足公理14是唯一确定的。这是唯一确定的。这个生产可能集可以表示为个生产可能集可以表示为 例例6.18设有设有3个决策单元，个决策单元，1个投入指标和个投入指标和1个产个产出指标的评价系统，其数据如下图出指标的评价系统，其数据如下图所示。所示。产出产出决策单元决策单元生产可能集为：生产可能集为：2.DEA有效性的经济意义有效性的经济意义用线性规划模型用线性规划模型( (D) )评价决策单元评价决策单元j0的的DEA有效性，模型有效性，模型 2.DEA有效性的经济意义有效性的经济意义为了清楚起了清楚起见，考，考虑不含松弛不含松弛变量的量的线性性规划划模型模型由于由于( (x0 0, ,y0 0) ) T ，即（，即（x0 0, ,y0 0）满足条件）满足条件2.DEA有效性的经济意义有效性的经济意义线性规划模型线性规划模型(D)表示，在生产可能集内，表示，在生产可能集内，当产出当产出y0保持不变的情况下，尽量将投入量保持不变的情况下，尽量将投入量x0按同一比例按同一比例减少。减少。如果投入量如果投入量x0不能按同一比例减少，即模型不能按同一比例减少，即模型(D)最优值最优值VD=0=1在单投入和单产出的在单投入和单产出的情况下，决策单元情况下，决策单元j0同时技术有效和规模有同时技术有效和规模有效。效。如果投入量如果投入量x0能按同一比例减少，模型能按同一比例减少，模型(D)最优值最优值VD=00,(i1,2,m),或者或者至少有某个至少有某个sr0+0,(r1,2,p), ,此时此时决策单元决策单元j0不是不是DEA有效，其经济意义是，决策单元有效，其经济意义是，决策单元j0技技术有效，但不是规模有效。术有效，但不是规模有效。设模型（模型（D）的最优解为）的最优解为0，0，s0-, ,s0+：(1)(1)0=1,且且s0-=s0+ =0时时决策决策单元元j0 0为为DEA有效，有效，其经济意义是：决策单元其经济意义是：决策单元j0 0同时技术有效和规同时技术有效和规模有效。模有效。(3)(3)01，决策单元决策单元j0不是不是DEA有效，其经济意义有效，其经济意义是，决策单元是，决策单元j0 的生产活动既不是技术效率最佳，的生产活动既不是技术效率最佳，也不是规模收益最佳。也不是规模收益最佳。例例6.19讨论例讨论例6.18中各决策单元的中各决策单元的DEA有效性。有效性。解：解：决策单元决策单元1对应的对偶线性规划（对应的对偶线性规划（D1）为为最优解为：最优解为：因因此此决决策策单单元元1既既是是技技术术有有效效的的，又又是是规规模模有效的。有效的。例例6.19解：解：决策单元决策单元2对应的对偶线性规划（对应的对偶线性规划（D2）为为最优解为：最优解为：因因此此决决策策单单元元2既既不不是是技技术术有有效效的的，也也不不是是规模有效的。规模有效的。例例6.19解：解：决策单元决策单元3对应的对偶线性规划（对应的对偶线性规划（D3）为为最优解为：最优解为：因因此此决决策策单单元元3既既不不是是技技术术有有效效的的，也也不不是是规模有效的。规模有效的。6.6.2DEA有效性的经济意义有效性的经济意义定理定理6.11：设线性规划（设线性规划（D）的最优解为）的最优解为0，0，s0-，s0+ 。3.生产活动规模收益的判定生产活动规模收益的判定（1）若）若,则决策单元则决策单元j0规模收益不变；规模收益不变；（2）若）若,则决策单元则决策单元j0规模收益递增；规模收益递增；（3）若）若,则决策单元则决策单元j0规模收益递减。规模收益递减。例例6.19讨论例讨论例6.18中各决策单元的规模收益。中各决策单元的规模收益。解：解：由由决策单元决策单元1对应的对偶线性规划（对应的对偶线性规划（D1）的的最优解最优解得：得：决策单元决策单元2，故，故决策单元决策单元1规模收益不变；规模收益不变；,故决策单元故决策单元2规模收益递减；规模收益递减；决策单元决策单元3,故决策单元故决策单元3规模收益递减。规模收益递减。关键词关键词n n多目标决策分析多目标决策分析(Multi-objective Decision Analysis)n n效用并合效用并合(Utility Combine)n n层次分析法层次分析法(AHP, Analytic Hierarchy Process)n n数据包络分析（数据包络分析（Data Envelopment Analysis）n n目标规划目标规划(Goal Programming)