8.1 二元一次方程组二元一次方程组 篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分。某队为了争取较好名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数应分别是多少？zxxk问题问题 你会用已经学过的一元你会用已经学过的一元一次方程解决这个问题吗？一次方程解决这个问题吗？解解:设胜设胜x场场,则负则负(22-x)场场,根据题意得方程根据题意得方程 2x+(22-x) 1=40 解得解得 x=18 22-18=4答答:这个队胜这个队胜18场场,只负只负4场场. z.xxk你会了吗你会了吗?这是元次方程这是元次方程一一一一分析分析解解:设篮球队胜了场，负了场设篮球队胜了场，负了场,得得:积分积分场数场数合计合计负负胜胜222xy40 篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分。某队为了争取较好名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数应分别是多少？Zx.xk分析分析解解:设篮球队胜了场，负了场设篮球队胜了场，负了场,得得: zxx.k积分积分22场数场数合计合计负负胜胜xy=222xy=402xy40胜的场数负的场数总场数胜的场数负的场数总场数胜场积分负场积分总积分胜场积分负场积分总积分思考一思考一: :上述方程有什么特点上述方程有什么特点? ?思考二思考二: :它与你学过的一元一次方程比较它与你学过的一元一次方程比较 有什么区别有什么区别? ? Zx.xk思考三思考三: :你能给它取名吗你能给它取名吗? ?思考四思考四: :你能给它下一个定义吗你能给它下一个定义吗? ?xy=222xy=40二元一次方程二元一次方程1.1.有两个未知数有两个未知数( )( )二元二元一次一次3.3.含未知数的式子是含未知数的式子是( )( )整式整式x+y=222x+y=402 2. .未知数的指数都为未知数的指数都为( ( ) )1 含有含有两个两个未知数未知数, ,并且未并且未知数的指数都是知数的指数都是 1 1的方程叫的方程叫做做二元一次方程。二元一次方程。注意:方程两边都是方程两边都是整式整式。(3)(1) 3y-2x =z+5(4)(5)(2)(6) 3 - 2xy =1是是不是不是不是不是不是不是不是不是不是不是2.请写一个二元一次方程和同桌交流。请写一个二元一次方程和同桌交流。1.判断下列方程是否为二元一次方程：判断下列方程是否为二元一次方程：(7) 4x+ =0(8) 2x=1-3y不是不是是是1.下列方程中是二元一次方程的有哪些？下列方程中是二元一次方程的有哪些？ 3 3xxy=1 1 y =3=3x x =3 3; x = ; x - 2 2y2=2 2; 3 3x4 4y .根据下列语句根据下列语句,列出二元一次方程列出二元一次方程:1.甲数比乙数大甲数比乙数大3.设甲数为设甲数为x,乙数为乙数为y;2.一个长方形的周长是一个长方形的周长是cm.设这个长方设这个长方形的长是形的长是xcm，宽是，宽是ycm;3.甲、乙两人各工作天，共生产零件甲、乙两人各工作天，共生产零件件设甲每天生产零件件设甲每天生产零件x件，乙每天件，乙每天生产零件生产零件y件件x-y=32(x+y)=205x+5y=80(1)已知已知:5x3m+7-2y2n-1=4是二元一次是二元一次方程方程,则则m= ，n = 。(2)若若mxy+9x+3yn-1=7是关于是关于x,y的二的二元一次方程元一次方程,则则m = ，n = 。考考你-2102已知已知 是方程是方程ax+5y=15的一个解，的一个解，则则a=.10做一做做一做若方程若方程是关于是关于x、y的二元一次方程，的二元一次方程，求求 的值。的值。做一做做一做每块饼干的质量是每块饼干的质量是x克，每颗糖果的克，每颗糖果的质量是质量是y克，小明拿拿了一个等臂天平，克，小明拿拿了一个等臂天平，在左边秤盘放两块饼干，右边秤盘放在左边秤盘放两块饼干，右边秤盘放三颗糖果，结果天平两臂平衡，可列三颗糖果，结果天平两臂平衡，可列出怎样的一个方程？出怎样的一个方程？解：解：2x=3y或或2x-3y=0 把下列各对数代入二元一次方程二元一次方程 3x+4y=19。X=0Y=1X=1Y=4X=5Y=1哪些能使方程两边的值相等？哪些能使方程两边的值相等？ 使二元一次方程两边的值相等的两个使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值未知数的值, ,叫做叫做二元一次方程的解二元一次方程的解。 已知方程已知方程（1）填写下表：）填写下表：（2）根据表格，写出方程的一个解。）根据表格，写出方程的一个解。 x -2 0 3 y -1 0 2x=-2y=14141045.55418 二元一次方程的解和一元一次方程的解二元一次方程的解和一元一次方程的解有什么区别？有什么区别？一元一次方程的解一元一次方程的解二元一次方程的解二元一次方程的解 一个一个无数个无数个一个一个未知数的值未知数的值一对一对未知数的值未知数的值结论：二元一次方程有结论：二元一次方程有无数个解。无数个解。考考你(1)二元一次方程二元一次方程2x-y=3中，当中，当x=2时，时，y= ; (2)二元一次方程中，当二元一次方程中，当y=-2时，时，x= ; (3)已知已知 是方程是方程2x+ay=5的解，则的解，则a = 。 161变式变式1 1做一做做一做方程方程在自然数范围内的解有（在自然数范围内的解有（ ）A. 无数个；无数个； B. 一个；一个；C. 三个；三个； D. 四个。四个。x=-2y=3若若 是是x+2y=kx+2y=k的解的解, ,则则k k的值为的值为( )( )4若若2x3m+1+3y2n-1=0是二元一次方程是二元一次方程,则则 m= ,n= .01若若(k-1)x l k l+2y=0是二元一次方程是二元一次方程,则则k= .-1二元一次方程二元一次方程 3x+2y=12的解有的解有 个个, 正整数解有正整数解有 个个,分别是分别是 .无数多无数多1X=2y=3 甲种铅笔每枝甲种铅笔每枝0.2元，乙种铅笔每元，乙种铅笔每枝枝0.5元，现在某人买了元，现在某人买了x枝甲种铅笔，枝甲种铅笔，y枝乙种铅笔，共花了元。枝乙种铅笔，共花了元。（）列出关于（）列出关于x,y的二元一次方程的二元一次方程（）如果（）如果x，那么，那么y的值是多少？的值是多少？（）如果乙种铅笔买了枝，那么甲（）如果乙种铅笔买了枝，那么甲种铅笔买了多少枝？种铅笔买了多少枝？考考你0.2X+0.5y=7y=12x=10方程组各方程中同一字母必须代表同一个量方程组各方程中同一字母必须代表同一个量 像这样含有两个未知数的两个一次方程所像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做组成的一组方程叫做X+y222xy40两个未知数两个未知数一次一次二元一次方程组二元一次方程组. . 二元一次方程组二元一次方程组1.1.有两个未知数有两个未知数.( ).( )二元二元一次一次方程组方程组2.2.含未知数的指数都为含未知数的指数都为1.( )1.( )3.3.两个一次方程组成两个一次方程组成.( ).( )下列方程组中，是二元一次方程组的有（下列方程组中，是二元一次方程组的有（ ）（1） （2）（3） （4）（5） （6） 比一比看谁掌握的好比一比看谁掌握的好（2）、（）、（5）解解:设篮球队胜了场，负了场设篮球队胜了场，负了场,得得:满满足方程足方程且符合且符合实际实际意意义义的的x，y的的值值有哪些？有哪些？ xy022121222324 5 678 9211220101113131415161718194 31 05678910111214151617181920 的解，的解， 上表中哪对上表中哪对x,y的值既是方程的值既是方程又是方程又是方程 的解的解 ? 解得解得解解:设篮球队胜了设篮球队胜了x场，负了场，负了y场场,得得:答：这个队应在全部比赛中胜答：这个队应在全部比赛中胜18场，负场，负4场。场。 二元一次方程组的两个方程的二元一次方程组的两个方程的公公共解共解, ,叫做叫做二元一次方程组的解。二元一次方程组的解。二元一次方程组二元一次方程组的解是的解是1.下面四组数值中，下面四组数值中，是二元一次方程是二元一次方程7x-3y=2的解，的解，是二元一次方程是二元一次方程 2x+y=8的解，的解， 是二元一次方程组是二元一次方程组的解。的解。7x-3y=22x+y=8X=1Y=3X=4Y=2X=2Y=4X=1Y=6ACDA、BB、B日常生活中，我们经常用设二元的方法来日常生活中，我们经常用设二元的方法来研究和解决问题，你能解答下面的问题吗研究和解决问题，你能解答下面的问题吗？今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ 孙子算经 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？鸡兔各几何？解：设鸡有解：设鸡有x只，兔有只，兔有y只，根据题意得：只，根据题意得：解得解得答：鸡有答：鸡有23只，兔有只，兔有12只。只。“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题问题昨天，我们昨天，我们8个个人去北陵公园人去北陵公园玩，买门票花玩，买门票花了了34元。元。每张成人票每张成人票5元，元，每张儿童票每张儿童票3元。元。他们到底去了几个他们到底去了几个成人、几个儿童呢成人、几个儿童呢？列出方程组来看看列出方程组来看看!解解:设去了设去了x个成人，个成人，y个儿童，得：个儿童，得：x+y=85x+3y=341听果奶多少钱？听果奶多少钱？ 1听可乐多少钱？听可乐多少钱？列出方程组来看看列出方程组来看看!方程组各方程中同一字母必须代表同一个量方程组各方程中同一字母必须代表同一个量 像这样含有两个未知数的两个一次方程所像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做组成的一组方程叫做X+y222xy40两个未知数两个未知数一次一次二元一次方程组二元一次方程组. . 解解:设一听果奶设一听果奶x元元，一听可乐，一听可乐y元元，得：，得：x+0.5=yx+4y=20-3 上面两个问题中都可上面两个问题中都可以用算术方法、列一元以用算术方法、列一元一次方程、列二元一次一次方程、列二元一次方程组来解答，你认为方程组来解答，你认为哪种更容易理解？哪种更容易理解？这节课你有那些收获这节课你有那些收获? ?还有哪些困惑还有哪些困惑? ? 含有含有两个两个未知数未知数, ,并且未知数的指数都是并且未知数的指数都是1 1的方程叫做的方程叫做二元一次方程二元一次方程。 把含有把含有两个两个未知数的两个未知数的两个一次方程一次方程合在合在一起，就组成一个一起，就组成一个二元一次方程组二元一次方程组。 二元一次方程有二元一次方程有无数个解。无数个解。 使二元一次方程两边的值相等的两个使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值未知数的值, ,叫做叫做二元一次方程的二元一次方程的一个解一个解。 二元一次方程组的两个方程的公共解二元一次方程组的两个方程的公共解, ,叫做叫做二元一次方程组的解。二元一次方程组的解。 “一切问题都可以转化为数学问题，一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题，一切代数问题又都可以转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一切问题将因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解迎刃而解!” 法国数学家法国数学家法国数学家法国数学家 笛卡儿笛卡儿笛卡儿笛卡儿 Descartes, 1596-1650Descartes, 1596-1650 5x-2y12x+3y7有唯一解有唯一解6x+9y74x+6y2无解无解5x-15y103x-9y6有无数有无数组组解解当两个方程可以化当两个方程可以化为为同一个方程同一个方程时时,它有无数它有无数组组解解当两个方程是矛盾方程当两个方程是矛盾方程时时,它无解它无解除上述情况外的二元一次方程除上述情况外的二元一次方程组组有且只有唯一解有且只有唯一解二元一次方程组有多少组解？二元一次方程组有多少组解？解解;设设x名工人完成第一道工序名工人完成第一道工序,y名工人完成第二道工序名工人完成第二道工序.由题意由题意,得得x + y = 7900x = 1200 y用尝试法观察得用尝试法观察得 X=4y=3P P102102练习练习练习练习列出列出二元一次方程组二元一次方程组, ,并根据问题的实际意义找出问题的解并根据问题的实际意义找出问题的解. .加工某种产品需经加工某种产品需经两两道工序道工序,第一道工序每人每天可完成第一道工序每人每天可完成900件件,第二道工序每人每天可完成第二道工序每人每天可完成1200件件.现有现有7位工人参加这位工人参加这两两道工序道工序,应怎样安排人力应怎样安排人力,才能使每天才能使每天第一第一.第二道工序使完成的件数相等第二道工序使完成的件数相等.答：答：应安排应安排4名工人完成第一道工序名工人完成第一道工序, 3名工人完成第二道工序名工人完成第二道工序. 5.5.足球联赛得分规定如图足球联赛得分规定如图, ,某队某队在足球联赛的在足球联赛的4 4场比赛中得场比赛中得6 6分分, ,这个队这个队胜了几场胜了几场, ,平了几场平了几场, ,负了几场负了几场? ? 解解:设胜设胜x场场,平平y场场.则则 3x + y = 6 0x 4, 0 y 4 x=1,y=3 或或 x=2,y=0答答:胜胜1场场,平平3场场, ,负负0 0场场或或胜胜2场场,平平0场，负场，负2 2场场P P103103开拓练习：开拓练习：1.1.在方程在方程4 4x x3y=143y=14中若中若x x与与y y相等相等, ,则则x=_x=_若若x x与与y y相反，则相反，则x=_;x=_;若若x x等于等于y y的的2 2倍倍则则x=_y=_x=_y=_2.2.武大郎卖饼武大郎卖饼是一个很有趣味的古代诗词：是一个很有趣味的古代诗词：武大郎卖饼串满街武大郎卖饼串满街, ,甜咸烧饼销得快甜咸烧饼销得快, ,甜三咸二两厘一甜三咸二两厘一, ,咸四甜二两厘二咸四甜二两厘二; ;各买一只甜咸饼各买一只甜咸饼, ,武大饼价该咋卖武大饼价该咋卖. .聪明的同学你能计算出甜咸饼的价格吗聪明的同学你能计算出甜咸饼的价格吗? ? （2 2）若要求）若要求5 5毛硬币和毛硬币和1 1元硬币个数之和为元硬币个数之和为6 6个，个， 问需要问需要5 5毛和毛和1 1元硬币各多少个？元硬币各多少个？在一个盘子里放有在一个盘子里放有5毛和毛和1元硬币若干个。元硬币若干个。（1 1）若要求凑足）若要求凑足5 5元钱，问需要元钱，问需要5 5毛和毛和1 1元硬币各多少个元硬币各多少个? ?（3）若要求同时满足（）若要求同时满足（1）和（）和（2）呢？）呢？ （4 4）若设需要）若设需要5 5毛硬币毛硬币x x个个,1,1元硬币元硬币y y个个, ,你能列出各种你能列出各种 情况下的方程或方程组吗？情况下的方程或方程组吗？ （5 5）通过上述问题的解决，你发现所求问题的解与所）通过上述问题的解决，你发现所求问题的解与所 列的方程（组）之间有什么关系？列的方程（组）之间有什么关系？ 小明到邮局寄包裹，用了小明到邮局寄包裹，用了6.4元的邮资，元的邮资，2元和元和0.8元两种元两种邮票共贴了邮票共贴了5张，你能列出这两种邮票各多少张的方程吗张，你能列出这两种邮票各多少张的方程吗？课堂练习课堂练习：1.1.学校准备建设一个周长为学校准备建设一个周长为6060米的长方形游泳池，要求米的长方形游泳池，要求游泳池的长是宽的游泳池的长是宽的2 2倍，为了帮建筑工人计算出长和宽倍，为了帮建筑工人计算出长和宽各是多少米请你列出相应的方程组各是多少米请你列出相应的方程组