第第5章章 分析力学基础分析力学基础 振振振振 动动动动 理理理理 论论论论 及及及及 其其其其 应应应应 用用用用5.1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 5.2 虚位移原理虚位移原理5.3 动能和势能动能和势能5.4 DAlembert原理原理 5.5 Lagrange方程方程5.6 哈密尔顿原理哈密尔顿原理自由度自由度 完全确定系统在任何瞬时位置所需的独立坐标数称为自由度。完全确定系统在任何瞬时位置所需的独立坐标数称为自由度。 5.1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 分析力学分析力学 分析力学是利用分析方法研究质点系平衡和运动问题的工具。分析力学是利用分析方法研究质点系平衡和运动问题的工具。它从能量的观点，统一建立起系统动能、势能和功之间的标量关它从能量的观点，统一建立起系统动能、势能和功之间的标量关系，是研究静动力学问题的一个普遍、简单又统一的方法系，是研究静动力学问题的一个普遍、简单又统一的方法。 广义坐标广义坐标 用某一组独立坐标（参数）就能完全确定系统在任何瞬时的用某一组独立坐标（参数）就能完全确定系统在任何瞬时的位置，则这组坐标称为广义坐标。位置，则这组坐标称为广义坐标。 一般地，建立振动系统数学模型时广义坐标的数目一般地，建立振动系统数学模型时广义坐标的数目与自由度相等。与自由度相等。约束约束 对质点在空间的运动所加的限制称为约束。对质点在空间的运动所加的限制称为约束。 质点的自由度质点的自由度 质点在空间需要质点在空间需要3个独立坐标才能确定它在任何瞬时的位置，因此，个独立坐标才能确定它在任何瞬时的位置，因此，它的自由度为它的自由度为3。n个毫不相干、无任何约束的质点组成的质系自由度为个毫不相干、无任何约束的质点组成的质系自由度为3n。第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 刚体的自由度刚体的自由度 一个刚体在空间需要一个刚体在空间需要6个独立坐标才能确定其在任何瞬时的位置，因个独立坐标才能确定其在任何瞬时的位置，因此它的自由度为此它的自由度为6。m个无约束刚体组成的系统自由度为个无约束刚体组成的系统自由度为6m。振动系统的自由度振动系统的自由度 振振动动系系统统力力学学模模型型中中若若有有n个个质质点点和和m个个刚刚体体，那那么么它它的的自自由由度度DOF必定满足下列方程：必定满足下列方程：DOF = 3 n + 6 m -（约束方程数）约束方程数） 例例 5.1 图图 (a)中，质量用一中，质量用一根弹簧悬挂。图（根弹簧悬挂。图（b）中质中质量用一根长度为量用一根长度为l，变形可忽变形可忽略的悬丝悬挂。分析系统的略的悬丝悬挂。分析系统的自由度，并建立系统的广义自由度，并建立系统的广义坐标。坐标。第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 2.1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 这样，坐标这样，坐标 x 、 y 和和 z 就再不独立。若用球面坐标就再不独立。若用球面坐标r 、y y 和和j j 来表示，来表示，必须满足条件必须满足条件 r = l ，只要用只要用y y 和和j j 两个坐标就能完全确定质量在任何瞬两个坐标就能完全确定质量在任何瞬时的位置，即时的位置，即广义坐标数为广义坐标数为2，自由度为，自由度为2。解解 对图（对图（a）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长，所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长，因此它的约束方程为零，自由度为因此它的约束方程为零，自由度为3。 对对图图（b）所所示示的的系系统统，悬悬挂挂质质量量的的悬悬丝丝不不可可伸伸长长， 因因此此在在空空间间的的位位置置必必须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程：须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程：(a) （b）例例 5.2 右图表示由刚性杆右图表示由刚性杆l 1和质量和质量m 1及刚性杆及刚性杆l 2和质量和质量m 2组成的两个单摆在组成的两个单摆在O 处用铰链连接成处用铰链连接成双摆，并通过铰链双摆，并通过铰链O与固定点连接，使双摆只能与固定点连接，使双摆只能在平面内摆动，分析系统的自由度，并建立系统在平面内摆动，分析系统的自由度，并建立系统的广义坐标。的广义坐标。 设刚性杆设刚性杆l 1与与x轴的夹角为轴的夹角为q q 1 ，刚性杆刚性杆l 2与与x轴的夹角为轴的夹角为q q 2 ，方向如方向如图所示，那么用和可以完全确定双摆在任何瞬时的位置，图所示，那么用和可以完全确定双摆在任何瞬时的位置， q q 1和和q q 2可以作可以作为双摆的广义坐标。为双摆的广义坐标。 第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 解解 由于双摆只能在平面内摆动，因此，由于双摆只能在平面内摆动，因此， z 1 = 0，z 2 = 0，而双摆的长度而双摆的长度l 1和和l 2不变，即不变，即 利用自由度利用自由度DOF计算的公式，可得到双摆的自由度为计算的公式，可得到双摆的自由度为 DOF 第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 完整约束完整约束 当当约约束束方方程程本本身身或或约约束束方方程程通通过过积积分分后后可可以以用用下下式式所所示示的的形形式式表表示示时时，称为完整约束。显然，例称为完整约束。显然，例5.15.1和例和例5.25.2的约束都是完整约束。的约束都是完整约束。定常约束定常约束当当约约束束方方程程与与时时间间t 无无关关时时，称称为为定定常常约约束束。例例5.15.1和和例例5.25.2的的约约束束都都是是定定常常约束。约束。不完整约束不完整约束 当当约约束束方方程程含含有有不不能能积积分分的的速速度度项项时时，系系统统的的约约束束称称为为不不完完整整约约束束。具具有有不不完完整整约约束束的的系系统统，系系统统的的自自由由度度不不等等于于广广义义坐坐标标数数，自自由由度度数数小小于于广广义坐标数。义坐标数。第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 不完整约束不完整约束 当当约约束束方方程程含含有有不不能能积积分分的的速速度度项项时时，系系统统的的约约束束称称为为不不完完整整约约束束。具具有有不不完完整整约约束束的的系系统统，系系统统的的自自由由度度不不等等于于广广义义坐坐标标数数，自自由由度度数数小小于于广广义坐标数。义坐标数。例例 5.3 刚体刚体A通过三个点放置通过三个点放置在在xoy 平面上，其中的两个接平面上，其中的两个接触点可在平面上作无摩擦自由触点可在平面上作无摩擦自由滑动，而滑动，而P点有一个刀片，使点有一个刀片，使其只能沿刀片方向移动，分析其只能沿刀片方向移动，分析冰刀系统的广义坐标和自由度冰刀系统的广义坐标和自由度。解解 由于刚体由于刚体A在在xoy平面中移动，因此需要三个广义坐标平面中移动，因此需要三个广义坐标(x, y和和q q)描述描述其在任意时刻的位置。其在任意时刻的位置。 而刚体而刚体A只能只能沿刀片方向移动，因沿刀片方向移动，因此有约束方程：此有约束方程：自由度数为自由度数为2 2，小于广义坐标数。，小于广义坐标数。第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.2 虚位移原理虚位移原理 虚位移虚位移 所所谓谓非非自自由由质质点点系系的的虚虚位位移移是是指指在在某某一一固固定定时时刻刻，约约束束所所允允许许发发生生的的坐标微小改变量。坐标微小改变量。 虚位移只是约束允许的虚位移只是约束允许的可能位移可能位移 ，并，并不一定是不一定是系统的系统的真实位移真实位移。它与。它与时间时间t 的变化无关。的变化无关。 虚位移用虚位移用d d 表示，真实微小位移用表示，真实微小位移用d d表示。表示。虚功虚功 力在虚位移上的元功称为虚功。力在虚位移上的元功称为虚功。在系统运动或平衡中处于主导地位。在系统运动或平衡中处于主导地位。约束作用于系统的力。约束作用于系统的力。力的分类力的分类作用于系统的力可分为两类：作用于系统的力可分为两类：约束反力约束反力和和主动力主动力。理想约束理想约束 在虚位移上不做功的约束称为理想约束。在虚位移上不做功的约束称为理想约束。虚位移原理虚位移原理 受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.2 虚位移原理虚位移原理 虚位移原理虚位移原理 受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。其数学表达式为其数学表达式为: :其中，其中，F Fi i为作用于质点系的主动力，为作用于质点系的主动力， dr ri i为虚位移。上式也称为为虚位移。上式也称为虚功方程虚功方程。虚位移原理的另一种表述虚位移原理的另一种表述 若系统有若系统有n个自由度，任意一点的坐标矢量可以用个自由度，任意一点的坐标矢量可以用n个广义坐标和时间个广义坐标和时间t来表示，即：来表示，即：由于虚位移与时间无关，则有：由于虚位移与时间无关，则有：代入虚功方程，得：代入虚功方程，得：第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.2 虚位移原理虚位移原理 对换求和的次序，得：对换求和的次序，得：其中，其中， 为与广义坐标为与广义坐标q qk k 对应的广对应的广义力。义力。 这样，虚功方程可以写成：这样，虚功方程可以写成： 由于虚位移是约束所允许的任意可能位移，因此可任意选择，当上式成立由于虚位移是约束所允许的任意可能位移，因此可任意选择，当上式成立时，有：时，有： 虚位移原理虚位移原理可表述为：在理想约束情况下，可表述为：在理想约束情况下，n 个自由度的系统达到平衡个自由度的系统达到平衡的充要条件是的充要条件是n 个广义力都等于零。个广义力都等于零。第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.3 动能和势能动能和势能 动能动能 设质量为设质量为m i的质点在某位置时的速度是的质点在某位置时的速度是 ，则质点在此位置的动能为，则质点在此位置的动能为 其中其中,若振动系统由若振动系统由p个质点组成，则系统的动能为个质点组成，则系统的动能为 当系统具有定常约束时，各质点的坐标只是广义坐标的函数，而不显当系统具有定常约束时，各质点的坐标只是广义坐标的函数，而不显含时间含时间 t 。系统的动能可写成：系统的动能可写成：改变求和的次序，得：改变求和的次序，得：第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.3 动能和势能动能和势能 或：或：其中，其中， 和和 为广义速度，为广义速度， 为广义质量系数，为广义质量系数， 。 引入广义质量矩阵引入广义质量矩阵 M ，并引入广义速度列阵并引入广义速度列阵 ，则动能可表示为，则动能可表示为 显然显然 有有m k l = m l k。当质点在平衡位置附近作小振动时可近似地取其在当质点在平衡位置附近作小振动时可近似地取其在平衡位置附近台劳级数展开的第一项，即将平衡位置附近台劳级数展开的第一项，即将m k l取为与广义坐标无关的常数。取为与广义坐标无关的常数。显然，动能是正定的，广义质量矩阵也是正定的。显然，动能是正定的，广义质量矩阵也是正定的。势力场和势力场和势力势力 质质点点从从力力场场中中某某一一位位置置运运动动到到另另一一位位置置时时，作作用用力力的的功功与与质质点点经经历历的的路路径径无无关关，而而只只与与其其起起点点及及终终点点位位置置有有关关，这这就就是是所所谓谓的的势势力力场场。重重力力场场、万万有有引力场和弹性力场都是势力场。引力场和弹性力场都是势力场。在势力场中质点所受的力称为势力在势力场中质点所受的力称为势力。势能势能所所谓谓势势能能是是把把质质点点从从当当前前位位置置移移至至势势能能零零点点的的过过程程中中势势力力所所作作的的功功。根根据据势势能的定义，特别需要强调的是：能的定义，特别需要强调的是：势能大小与规定的势能零点位置有关势能大小与规定的势能零点位置有关。第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.3 动能和势能动能和势能 势能势能在线性系统中，势能是广义坐标的二次函数。可用矩阵形式表示成：在线性系统中，势能是广义坐标的二次函数。可用矩阵形式表示成：例例 5.4 右图表示由刚性杆右图表示由刚性杆l 1和质量和质量m 1及刚性杆及刚性杆l 2和质量和质量m 2组成的两个单摆在组成的两个单摆在O 处用铰链连接成双摆，并通过铰链处用铰链连接成双摆，并通过铰链O与固定点连接，使双摆只能在平面内摆动。求系统作微振与固定点连接，使双摆只能在平面内摆动。求系统作微振动时的质量矩阵和刚度矩阵。动时的质量矩阵和刚度矩阵。 解解 由于双摆只能在平面内摆动，可取由于双摆只能在平面内摆动，可取q q 1和和q q 2为广义坐标。为广义坐标。并以平衡位置并以平衡位置 q q 1q q 2 0 作为作为势能零点势能零点。则系统的势能为则系统的势能为其中，其中， K 为刚度矩阵。一般地，刚度矩阵是对称、半正定矩阵。为刚度矩阵。一般地，刚度矩阵是对称、半正定矩阵。微振动时，系统的势能在平衡位置附近展开并保留广义坐标的二次项：微振动时，系统的势能在平衡位置附近展开并保留广义坐标的二次项：第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.3 动能和势能动能和势能 系统的动能为系统的动能为通常，系数通常，系数 m i j 一般不是常数，这里一般不是常数，这里m 1 2和和m 21是广义坐标的函数是广义坐标的函数当系统在平衡位置附近作小运动时，系数当系统在平衡位置附近作小运动时，系数 m i j 取其在平衡位置附近台劳级取其在平衡位置附近台劳级数的第一项：数的第一项：则系统的动能可写成则系统的动能可写成第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.3 动能和势能动能和势能 将动能和势能写成矩阵形式可以得到刚度矩阵和质量矩阵：将动能和势能写成矩阵形式可以得到刚度矩阵和质量矩阵：第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.4 DAlembert原理原理 质系质系DAlembert原理原理 作用在质系上的外力（主动力和约束反力）和惯性力构成平衡力系。作用在质系上的外力（主动力和约束反力）和惯性力构成平衡力系。其数学表达式为其数学表达式为: :其中，其中，R i 为主动力为主动力F i和约束反力和约束反力f i的向量和。的向量和。应用应用DAlembert原理可将虚位移原理推广到动力学问题。上式左边可看成质原理可将虚位移原理推广到动力学问题。上式左边可看成质点上的合力，计算整个质系的虚功，有点上的合力，计算整个质系的虚功，有在理想约束下，约束反力在理想约束下，约束反力虚功之和为零，因此有虚功之和为零，因此有动力学普遍方程动力学普遍方程作作用用在在理理想想约约束束质质系系上上所所有有的的主主动动力力和和惯惯性性力力任任意意瞬瞬时时在在虚虚位位移移上上的的虚虚功功之之和等于零。和等于零。 第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.5 Lagrange方程方程 Lagrange方程方程 拉拉格格朗朗日日方方程程利利用用广广义义坐坐标标来来描描述述非非自自由由质质点点系系的的运运动动，这这组组方方程程以以系系统统的动能、势能、耗散函数和广义力的形式出现，具有以下形式：的动能、势能、耗散函数和广义力的形式出现，具有以下形式： Lagrange方程为非自由质点系的动力学问题提供了一个方程为非自由质点系的动力学问题提供了一个普遍、简单又普遍、简单又统一统一的方法。的方法。式中：式中：L 为为Lagrange 函数，它是系统动能函数，它是系统动能V和势能和势能U之差，之差， L = V - U 。 而而 和和 ( i = 1, 2, , n) 是系统的广义坐标和广义速度；是系统的广义坐标和广义速度；是是耗耗散散函函数数，其其中中c i j为为系系统统在在广广义义坐坐标标q j方方向向有有单单位位广广义义速速度度时时，在在广广义义坐坐标标q i方方向向产产生生的的阻阻尼尼力力； Q i 是是在在广广义义坐坐标标方方向向q i的的广广义义力力， ，其其中中W是是除除阻阻尼尼力力外外的的其其他他非非保保守守力力所所作作的的功功。 和和 分分别别是是对对广广义义坐标和对广义速度求偏导数，坐标和对广义速度求偏导数， 是对时间求一次导数。是对时间求一次导数。第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.5 Lagrange方程方程 例例 5.5 右图表示由刚性杆右图表示由刚性杆l 1和质量和质量m 1及刚性杆及刚性杆l 2和质量和质量m 2组成的两个单摆在组成的两个单摆在O 处用铰链连接成双摆，并通过铰链处用铰链连接成双摆，并通过铰链O与固定点连接，使双摆只能在平面内摆动。求系统作微振与固定点连接，使双摆只能在平面内摆动。求系统作微振动时的振动微分方程动时的振动微分方程。 解解 由于双摆只能在平面内摆动，可取由于双摆只能在平面内摆动，可取q q 1和和q q 2为广义坐标。为广义坐标。并以平衡位置并以平衡位置 q q 1q q 2 0 作为作为势能零点势能零点。由例由例5.4，系统的势能与动能分别为：，系统的势能与动能分别为：第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.5 Lagrange方程方程 例例 5.5第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.5 Lagrange方程方程 例例 5.5由于系统无阻尼、无外力，因此只要把前面得到的项代入方程相由于系统无阻尼、无外力，因此只要把前面得到的项代入方程相应的位置就可以得到系统的振动微分方程应的位置就可以得到系统的振动微分方程第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.5 Lagrange方程方程 例例 5.5一般情况下，双摆的振动方程是非线性方程，只有当双摆作微振动时，一般情况下，双摆的振动方程是非线性方程，只有当双摆作微振动时，将将 ， 代入，并只保留广义位移和广义速度的线性项时代入，并只保留广义位移和广义速度的线性项时系统的振动微分方程才是线性的。系统的振动微分方程才是线性的。第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.5 Lagrange方程方程 例例 5.5写成矩阵的形式写成矩阵的形式 一般情况下，双摆的振动方程是非线性方程，只有当双摆作微振动一般情况下，双摆的振动方程是非线性方程，只有当双摆作微振动时，将时，将 ， 代入，并只保留广义位移和广义速度的线性代入，并只保留广义位移和广义速度的线性项时系统的振动微分方程才是线性的。项时系统的振动微分方程才是线性的。第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.5 Lagrange方程方程 例例 5.6 图示系统中质量图示系统中质量M只能沿水平只能沿水平方向移动，一摆长为质量为方向移动，一摆长为质量为l 的单摆在的单摆在O点与质量点与质量M 铰接，其他参数如图。铰接，其他参数如图。试列出系统作微振动的方程。试列出系统作微振动的方程。 质量质量 M 的速度的速度：质量质量m的速度的速度： 系统的动能系统的动能系统的势能系统的势能Lagrange函数函数 耗散函数耗散函数 其他非保守力所做的功其他非保守力所做的功 解解 建立广义坐标建立广义坐标x和和，坐标坐标x 的原点在系统静平的原点在系统静平衡位置，方向向右为正衡位置，方向向右为正 。 为摆杆转角，逆时针为摆杆转角，逆时针方向为正，摆杆处于铅垂位置时方向为正，摆杆处于铅垂位置时为零。为零。 系统静系统静平衡时势能为零。平衡时势能为零。 第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.5 Lagrange方程方程 对广义坐标分别运用对广义坐标分别运用lagrange方程得方程得 当当很小时，有很小时，有对方程线性化对方程线性化 第第第第5 5章章章章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础 5.6 哈密尔顿原理哈密尔顿原理 哈密尔顿原理是分析力学中的一个基本的变分原理，它提供了一条从一哈密尔顿原理是分析力学中的一个基本的变分原理，它提供了一条从一切可能发生的切可能发生的( (约束所许可的约束所许可的) )运动中判断真正的运动中判断真正的( (实际发生的实际发生的) )运动的准则。运动的准则。 哈密尔顿原理哈密尔顿原理 在任何时间区段中，动力学系统的动能、变形能、阻尼力和外力所作功在任何时间区段中，动力学系统的动能、变形能、阻尼力和外力所作功的一次变分为零时，所得到的才是真实的运动。其数学表达式为：的一次变分为零时，所得到的才是真实的运动。其数学表达式为： 对保守系统，哈密尔顿原理的表达式可简化成：对保守系统，哈密尔顿原理的表达式可简化成： 根据变分原理和动力学普遍方程可以证明哈密尔顿原理。可参考清根据变分原理和动力学普遍方程可以证明哈密尔顿原理。可参考清华大学的华大学的“ “ 机械振动机械振动 ” ( ” (上册上册)182)182页页187187页。页。51 质量为m、半径为R的均质圆柱体，沿半径为3R的内圆柱表面作无滑滚动。圆柱体的端面有一质量可忽略的光滑导轨，一小质量m用两个刚度为k的弹簧与导轨两端连接，起始时质量m处于静平衡位置时圆柱体的中心，如右图所示。试利用Lagrange方程导出系统作微振动的微分方程。第第第第5 5章分析力学基础章分析力学基础章分析力学基础章分析力学基础 习题习题 52 一根处于弯曲状态的杆，它的一端与以等角速度W 旋转的轴刚性固定连接，另一端自由，杆上受载荷p(x, t)，杆长为L，推导它的振动微分方程。