新版北师大八年级下册期末复习要点第一章 证明(二)复习一、本章复习要求一、本章复习要求1熟记本章所有定理(黑体字)；2会证明本章所有定理，即会写出各定理的“已知、求证、证明过程”；3掌握角平分线与线段垂直平分线的作图，会作满足要求的等腰三角形；4会灵活运用本章定理进行解题；5本章最常用的数学思想：分类讨论(1)涉及到等腰三角形的边长、周长问题时要讨论哪边是腰哪边是底；(2)等腰三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.二、本章所有定理：二、本章所有定理：1.公理：三边分别相等的两个三角形全等.(SSS)2.公理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. (SAS)3.公理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. (ASA)推论：两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等. (AAS)4.公理：全等三角形的对应边、对应角分别相等.5. 等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等. （简写成 “等边对等角” ）6. 推论：等腰三角形的顶角的平分线、 底边上的中线、底边上的高互相重合. (简写成“三线合一”)7.等边三角形的性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60.8.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简写成“等角对等边”）9.等边三角形的判定定理：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形.10.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.11. 等边三角形的性质定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.12.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.13.勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.14.直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（简写成“斜边、直角边”或“HL”）15.线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等16.线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.17.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等18.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.19.角平分线的判定定理：在一个角的内部，且到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.20.定理：三角形的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.三、本章部分定理的证明三、本章部分定理的证明1.求证：等腰三角形的两个底角相等.已知：如图，在ABC 中，AB=AC求证：B=C证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 ADAB=AC，BD=CD，AD=ADABDACD(SSS) B=C(全等三角形的对应角相等)2.求证：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.已知：如图，在ABC 中，AB=AC，AD 平分BAC求证：ADBC，BD=CD证明：AD 平分BACBAD=CADAB=ACB=C在ABD 和ACD 中B=C，BAD=CAD，AD=ADABDACD(AAS)BD=CD，ADB=ADC又ADB+ADC=180.ADB=ADC=90.ADBC同理可证，在等腰三角形ABC 中，当 AD 是底边 BC 边上的中线时，AD 也是顶角BAC 的平分线、底边BC 边上的高；当AD 是底边 BC 边上的高时，AD 也是顶角BAC 的平分线、底边 BC 边上的中线.所以，等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.7.求证：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60.已知：如图，ABC 是等边三角形.求证：A=B=C=60证明：ABC 是等边三角形AB=AC，AB=BCB=C，A=CA=B=CA+B+C=180A=B=C=601. 求证：两角分别相等且其中一组对角的对边相等的两个三角形全等已知：如图，在ABC 和DEF 中，A=D，B=E，AC=DF，求证：ABCDEF证明：A+B+C=180，D+E+F=180，C=180AB，F=180DE，又A=D，B=EC=F在ABC 和DEF 中，A=D，AC=DF，C=FABCDEF(ASA)2.求证： 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 （可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）已知：如图，在 RtABC 和 RtDEF 中，B=E=90，AC=DF，AB=DE求证：RtABCRtDEF证明：B=E=90BC2=AC2AB2，EF2=DF2DE2又AC=DF，AB=DE，BC=EF在 RtABC 和 RtDEF 中AB=DE，B=E，BC=EFRtABCRtDEF（SAS）3求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等已知：如图，OC 是AOB 的平分线，P 是 OC 上任意一点，PEOA，PFOB，垂足分别为 E、F求证：PE=PF证明：OC 是AOB 的平分线，POE=POF，PEOA，PFOB，PEO=PFO，又OP=OP，POEPOF，PE=PF4求证：在一个角的内部,到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E，且 PD=PE求证：点 P 在AOB 的平分线上，证明：在 RtODP 和 RtOEP 中，OP=OP，PD=PERtODPRtOEP（HL），DOP=EOP，故点 P 在AOB 的平分线上5求证：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等已知：如图，直线MNAB，垂足是C，且AC=BC，P 是 MN 上的任意一点求证：PA=PB证明：MNAB，PCA=PCB=90，AC=BC，PC=PCPCAPCB(SAS)PA=PB(全等三角形的对应边相等)6求证：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.已知：如图，AB=AC求证：点 A 在 AB 的垂直平分线上.证明：过点 A 作 ADBC 于 D，AB=AC，ADBC，BD=DC，AD 是 BC 的线段垂直平分线点 A 在 AB 的垂直平分线上四、典型题目及解答四、典型题目及解答1求证：等腰三角形两底角的平分线相等已知：如图，在ABC 中，AB=AC，BD，CE 是ABC 的角平分线求证：BD=CE证明：AB=AC，ABC=ACB(等边对等角)A1=12ABC，2=12ACB1=2在BDC 和CEB 中EDACB=ABC，BC=CB，1=2，BDCCEB(ASA)B12CBD=CE(全等三角形的对应边相等)第六章 平行四边形复习一、本章复习要求一、本章复习要求1熟记本章所有定理(黑体字)；2会证明本章所有定理，即会写出各定理的“已知、求证、证明过程”；3会灵活运用本章定理进行解题二、本章所有定理：二、本章所有定理：1平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等。2平行四边形性质定理：平行四边形的对边相等。3平行四边形性质定理：平行四边形的对角线互相平分。4平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形5平行四边形判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形6平行四边形判定定理：一组对边平行相等的四边形是平行四边形7平行四边形判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形注： “两组对角分别相等的四边形是平行四边形”不能作为定理直接使用8 三角形中位线性质定理： 三角形的中位线平行于第三边， 且等于第三边的一半9 n 边形内角和定理：n 边形的内角和等于(n2)18010多边形外角和定理：多边形的外角和等于360.三、本章部分定理的证明三、本章部分定理的证明1求证：平行四边形的两组对边分别相等已知：如图，四边形 ABCD 为平行四边形求证：AB=CD，BC=AD证明：连接 AC四边形 ABCD 为平行四边形（已知）ADBC，ABCD，（平行四边形对应边相等）1=2，3=4，（两直线平行，内错角相等）在ADC 和CBA 中1=2 ，AC=CA，3=4ADCCBA（ASA）AB=CD，BC=AD（全等三角形的对应边相等）2求证：平行四边形的两组对角分别相等已知：四边形 ABCD 是平行四边形，求证：A=C，B=D证明：连接 AC，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ABCD，1=2，3=41+4=2+3即DAB=DCB同理B=D3求证：平行四边形的对角线互相平分已知：四边形 ABCD 为平行四边形，对角线相交于点O求证：AO=CO，BO=DO证明：四边形 ABCD 为平行四边形ABCD，AB=CD1=2，3=4在ABO 和CDO 中1=2，AB=CD，3=4ABOCDO（ASA）AO=CO，BO=DO4求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；已知：如图，四边形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC求证：四边形 ABCD 是平行四边形证明：连接 ACAB=CD，AC=CA，AD=BCABCCDA（SSS）1=2，3=4ABCD，ADBC四边形 ABCD 是平行四边形5求证：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；已知：如图，四边形 ABCD 中，AB=CD，ABCD求证：四边形 ABCD 是平行四边形证明：连接 ACABCD1=2在ABC 和CDA 中AB=CD，1=2，AC=CAABCCDA（SAS）3=4ADBC又ABCD四边形 ABCD 是平行四边形6求证：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；已知：如图，在四边形 ABCD 中，对角线相交于点 O，AO=CO，BO=DO求证：四边形 ABCD 为平行四边形证明：在AOD 和COB 中AO=CO，AOD=BOC，DO=BOAODCOB（SAS）1=2ADBC同理 ABCD四边形 ABCD 为平行四边形7求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半已知：如图，DE 是ABC 的中位线求证：DEBC，DE=12BC证明：延长DE 至 F，使EF=DE，则DE=12DF，连接CFE 是 AC 中点，AE=CE，在ADE 和CFE 中，DE=EF，AED=CEF，AE=CEADECFE(SAS)AD=CF，ADE=FBDCF，AD=BD，AD=CF，BD=CF四边形 BCFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）DFBC，DF=BC，BECB，DE=12BC第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组复习要求1熟记不等式的三个基本性质，并会熟练运用它们解题，填写解题依据等；2要掌握解一元一次不等式的基本步骤，尤其是含分母的一元一次不等式的基本解题步骤。特别是最后一步“系数化成1”，要注意未知数的系数如果是负数，不等号方向要改变；3要熟练掌握几种常见的不等式应用题，包括规范格式；4要熟练掌握几种常见的不等式组应用题，包括规范格式；5本章最常用的数学思想：数形结合，主要在解“一元一次不等式与一次函数”的题目中出现第四章 因式分解复习要求1要理解因式分解的定义；2会熟练选择适当的方法分解因式；3要弄清楚平方差公式和完全平方公式的几何背景；4因式分解时要记得分解到不能再分解为止第五章 分式复习要求1理解分式的有关概念(分式有无意义、分式值为0 等)；2熟记分式的基本性质，并会运用其进行分式的化简，填写解题论据等；3熟练进行分式的乘除运算；4 熟练进行分式的加减运算， 在解题时注意老师所强调的问题(如不能去分母等)；5熟练按规范的格式要求解分式方程，理解在解题过程中会运用到的解题依据6 熟练掌握几种常见类型的分式方程应用题。 特别注意不要忘记写检验这一步骤