教学目的：教学目的：不定积分换元法不定积分换元法教学重点：教学重点：凑微分法凑微分法教学难点：教学难点：第二类换元法第二类换元法第二讲第二讲 换元法换元法不定积分算法PPT课件主视图主视图换元法换元法凑微分法凑微分法第二类第二类换元法换元法一次式的一次式的有理根式有理根式二次式的二次式的二次根式二次根式凑微分公式凑微分公式不定积分算法PPT课件问题问题解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令换元换元换元以后再还原换元以后再还原求导数验证结果求导数验证结果凑微分法凑微分法不定积分算法PPT课件第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明 使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将定理定理1 1难难易易凑微分法凑微分法不定积分算法PPT课件证明证明 证证由复合函数求导法则有 可见)(xFj是)()(xxfjj的一个原函数，故公式(1)成立 公式（）说明：当积分不便计算时，可考虑将g(x)化为的形式，那么 =duufxdxfdxxxfdxxg)()()()()()(jjjj(2) 对u积分求出)(uf的原函数)(uF，再以)(xuj=代回即得所求积分，这种方法称为凑微分法凑微分法 不定积分算法PPT课件例例1 1 求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）例题例题不定积分算法PPT课件例例2 2 求求解解一般地一般地例题例题不定积分算法PPT课件例例3 3 求求解解例题例题不定积分算法PPT课件例例4 4 求求解解例题例题不定积分算法PPT课件例例5 5 求求解解例题例题不定积分算法PPT课件例例6 6 求求解解例题例题不定积分算法PPT课件例例7 7 求求解解例题例题不定积分算法PPT课件例例8 8 求求解解例题例题不定积分算法PPT课件例例9：求：求解：原式解：原式例题例题不定积分算法PPT课件例例10：求：求解：原式解：原式解：原式解：原式=例例11:例题例题不定积分算法PPT课件例例1212 求求解解例题例题不定积分算法PPT课件例例1313 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例题例题不定积分算法PPT课件例例1414 求求解解例题例题不定积分算法PPT课件例例15:15: 求求解解（一）（一）例题例题不定积分算法PPT课件解解（二）（二）类似地可推出类似地可推出例题例题不定积分算法PPT课件思考：以下几种形式的积分，如何用凑微分法求积思考：以下几种形式的积分，如何用凑微分法求积思考思考不定积分算法PPT课件解解例例1616 设设 求求 .令令例题例题不定积分算法PPT课件例例1717 求求解解换元积分法技巧性强，需要多作练习，不断归纳，积累经验，才能灵活运用例题例题不定积分算法PPT课件通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式：凑微分公式凑微分公式 +=+)()(1)(baxdbaxfadxbaxf)0(a； +=+)()(21)(222baxdbaxfaxdxbaxf；)0(a =xxxxdeefdxeef)()(； =xdxfxdxxfln)(ln)(ln； -=xdxfxdxxfcos)(cossin)(cos； 不定积分算法PPT课件；凑微分公式凑微分公式回主视图回主视图不定积分算法PPT课件问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令再用再用“凑微分凑微分”难难易易第二类换元法第二类换元法不定积分算法PPT课件证：只要证右端的导数等于左端的被积函数证：只要证右端的导数等于左端的被积函数定理定理2 2由复合函数与反函数的导数，有由复合函数与反函数的导数，有第二类换元法第二类换元法不定积分算法PPT课件第二类积分换元公式第二类积分换元公式注：注：1）保证代换）保证代换x= (t)的单调连续（有反函数）；的单调连续（有反函数）；代换代换 x= (t)，一起换。，一起换。 利用第二类换元法求不定积分的关键 在于选择适当的变量代换第二类换元法常用于求无理函数的积分. 注意注意不定积分算法PPT课件 被被积函数含有根式函数含有根式解: 注:一般地说，当被积函数含有形如:的根号时，可作代换有理根式积分有理根式积分不定积分算法PPT课件解解: 设 ，于是 该例可利用凑微分法求解，而且更简洁：例题例题不定积分算法PPT课件 被被积函数含有函数含有或或例例18 : 求解解: 被积函数含有 ,为此可令 化去根式 此时于是二次根式二次根式不定积分算法PPT课件由于 ，故故 tax也可用图解法(右图)直接得到: 例题例题不定积分算法PPT课件例例1919 求求解解 令令例题例题不定积分算法PPT课件例例20:20: 求求解解 令令例题例题不定积分算法PPT课件例例1818 求求解解 令令例题例题不定积分算法PPT课件说明说明(3) : :以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令说明说明不定积分算法PPT课件 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定情况来定.说明说明(2)例例1919 求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）令令解解例题例题不定积分算法PPT课件例例2020 求求解解 令令例题例题不定积分算法PPT课件说明说明(3)(3)当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换例例2121 求求令令解解例题例题不定积分算法PPT课件例例2222 求求解解令令（分母的阶较高）（分母的阶较高）例题例题不定积分算法PPT课件 倒代换倒代换:例题例题不定积分算法PPT课件 本节得到的一些积分结果常作公式使用 扩充积分公式扩充积分公式不定积分算法PPT课件 习题习题 421 填空：习题习题不定积分算法PPT课件3 设 ，求 4 求下列不定积分：(1) (2) (3) (4) (8) (7) (6) (5) (9) (10) 习题习题不定积分算法PPT课件5 写出计算下列积分时所需之变换：(1) (2) (4) (3) 6 求下列不定积分：(4) (3) (2) (1) 习题习题回主视图回主视图不定积分算法PPT课件