函数的概念：函数的概念：函数三要素：函数三要素： 设设A A、B B是非空的数集，如果按照某个确定的是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系对应关系f f，使对于集合，使对于集合A A中的任意一个数中的任意一个数x x，在集，在集合合B B中都有惟一确定的数中都有惟一确定的数f(x)f(x)和它对应，那么就称和它对应，那么就称f f：ABAB为集合为集合A A到集合到集合B B的一个函数的一个函数定义域；定义域；对应关系；对应关系；值域值域区间的概念区间的概念设设a a，b b是两个实数，而且是两个实数，而且abab。我们规定：。我们规定：(1)(1) 满足不等式满足不等式axbaxb的实数的实数x x的集合叫做的集合叫做闭区间闭区间，表示为表示为aa，bb。x xa ab b 实数实数a a、b b叫叫做区间的端点。做区间的端点。实心点表示包括在区间内的点，如闭区间的两实心点表示包括在区间内的点，如闭区间的两个端点。个端点。区间的概念区间的概念(2)(2) 满足不等式满足不等式axbaxb的实数的实数x x的集合叫做的集合叫做开区间开区间，表示为表示为(a(a，b)b)。x xa ab b设设a a，b b是两个实数，而且是两个实数，而且abab。我们规定：。我们规定：(1)(1) 满足不等式满足不等式axbaxb的实数的实数x x的集合叫做的集合叫做闭区间闭区间，表示为表示为aa，bb。空心点表示不包括在区间内的点，如开区间的空心点表示不包括在区间内的点，如开区间的两个端点。两个端点。区间的概念区间的概念(3)(3) 满足不等式满足不等式axbaxb或或axbaxb的实数的实数x x的集合叫做的集合叫做半开半闭区间半开半闭区间，表示为，表示为aa，b)b)或或(a(a，bb。x xa ab baa，b)b)x xa ab b(a(a，bb(2)(2) 满足不等式满足不等式axbaxb的实数的实数x x的集合叫做的集合叫做开区间开区间，表示为表示为(a(a，b)b)。设设a a，b b是两个实数，而且是两个实数，而且aba0a0时，求时，求f(a)f(a)，f(a-1)f(a-1)的值。的值。2 23 3分析：分析： 函数的定义域通常是由问题的实际背景确定的。函数的定义域通常是由问题的实际背景确定的。如果只给出解析式如果只给出解析式y=f(x)y=f(x)，而没有指明它的定义域，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。的集合。 研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提。义域是研究任何函数的前提。解：解：使根式使根式 有意义的实数有意义的实数x x的集合为的集合为x|x-3x|x-3。x+3x+3使分式使分式 有意义的实数有意义的实数x x的集合为的集合为x|x-2x|x-2。1 1x+2x+2要使函数有意义，需同时使得根式、分式都有意义。要使函数有意义，需同时使得根式、分式都有意义。（1 1）例例1 1 已知函数已知函数f(x)= x+3 + f(x)= x+3 + ，1 1x+2x+2(1) (1) 求函数的定义域；求函数的定义域；(2) (2) 求求f(-3)f(-3)，f( )f( )的值；的值；(3) (3) 当当a0a0时，求时，求f(a)f(a)，f(a-1)f(a-1)的值。的值。2 23 3解：解：使根式使根式 有意义的实数有意义的实数x x的集合为的集合为x|x-3x|x-3。x+3x+3使分式使分式 有意义的实数有意义的实数x x的集合为的集合为x|x-2x|x-2。1 1x+2x+2所以函数的定义域为：所以函数的定义域为：x|x-3x|x-3且且x-2x-2。（1 1）定义域用区间表示为：定义域用区间表示为：-3-3，-2)(-2-2)(-2，+)+)。例例1 1 已知函数已知函数f(x)= x+3 + f(x)= x+3 + ，1 1x+2x+2(1) (1) 求函数的定义域；求函数的定义域；(2) (2) 求求f(-3)f(-3)，f( )f( )的值；的值；(3) (3) 当当a0a0时，求时，求f(a)f(a)，f(a-1)f(a-1)的值。的值。2 23 3求定义域的几种情况：求定义域的几种情况：(1)(1)如果如果f(x)f(x)是是整式整式，那么函数的定义域是，那么函数的定义域是实数实数R R；(2)(2)如果如果f(x)f(x)是是分式分式，那么函数的定义域是，那么函数的定义域是使分母使分母不等于不等于0 0的实数的集合的实数的集合；(3)(3)如果如果f(x)f(x)是是二次根式二次根式，那么函数的定义域是，那么函数的定义域是使使根号内的式子大于或等于根号内的式子大于或等于0 0的实数的集合的实数的集合；(4)(4)如果如果f(x)f(x)是是由几个部分的数学式子构成的由几个部分的数学式子构成的，那，那么函数的定义域是么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合使各部分式子都有意义的实数集合. .（即求各集合的交集）；（即求各集合的交集）；(5)(5)如果是如果是实际问题实际问题，那么函数的定义域是，那么函数的定义域是使实际使实际问题有意义的实数集合问题有意义的实数集合。解：解： （2 2）f(-3)= f(-3)= + +-3+3-3+31 1-3+2-3+2= -1 = -1 f( )= f( )= + +2 23 31 1+3+32 23 3+2+22 23 3= = + +11113 33 38 8= = + +33333 33 38 8例例1 1 已知函数已知函数f(x)= x+3 + f(x)= x+3 + ，1 1x+2x+2(1) (1) 求函数的定义域；求函数的定义域；(2) (2) 求求f(-3)f(-3)，f( )f( )的值；的值；(3) (3) 当当a0a0时，求时，求f(a)f(a)，f(a-1)f(a-1)的值。的值。2 23 3解：解： （3 3）自变量自变量x x在其定义在其定义域内任取一个确定的值域内任取一个确定的值a a时，对应的函数值用时，对应的函数值用符号符号f(a)f(a)表示。表示。例例1 1 已知函数已知函数f(x)= x+3 + f(x)= x+3 + ，1 1x+2x+2(1) (1) 求函数的定义域；求函数的定义域；(2) (2) 求求f(-3)f(-3)，f( )f( )的值；的值；(3) (3) 当当a0a0时，求时，求f(a)f(a)，f(a-1)f(a-1)的值。的值。2 23 3解：解： （3 3）f(a)= f(a)= + +a+3a+31 1a+2a+2因为因为a0a0，所以，所以f(a)f(a)、f(a-1)f(a-1)均有意义。均有意义。f(a-1)= f(a-1)= + +a-1+3a-1+31 1a-1+2a-1+2= = + +a+2a+21 1a+1a+1例例1 1 已知函数已知函数f(x)= x+3 + f(x)= x+3 + ，1 1x+2x+2(1) (1) 求函数的定义域；求函数的定义域；(2) (2) 求求f(-3)f(-3)，f( )f( )的值；的值；(3) (3) 当当a0a0时，求时，求f(a)f(a)，f(a-1)f(a-1)的值。的值。2 23 31 1求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：(1) f(x)=(1) f(x)=1 14x+74x+71-x1-xx+3x+3(2) f(x)= + -1 (2) f(x)= + -1 解：解：(1) (1) 使分式使分式 有意义的实数集合为有意义的实数集合为x|x- x|x- 1 14x+74x+77 74 4所以定义域为：所以定义域为：(-(-，- )(- - )(- ，+)+)。7 74 47 74 4(2) (2) 使根式使根式 有意义的实数集合为有意义的实数集合为x|x1x|x1；1-x1-x 使根式使根式 有意义的实数集合为有意义的实数集合为x|x-3x|x-3；x+3x+3所以定义域为：所以定义域为：-3-3，11。 2 2已知函数已知函数f(x)=3xf(x)=3x3 3+2x,+2x,(1) (1) 求求f(2)f(2)、f(-2)f(-2)、f(2)+f(-2)f(2)+f(-2)的值；的值；(2) (2) 求求f(a)f(a)、f(-a)f(-a)、f(a)+f(-a)f(a)+f(-a)的值；的值；(3) (3) 你从（你从（2 2）中发现了什么结论？）中发现了什么结论？解：解：f(2)=32f(2)=323 3+22=28+22=28f(-2)=3(-2)f(-2)=3(-2)3 3+2(-2)=-28+2(-2)=-28f(2)+f(-2)=28-28=0f(2)+f(-2)=28-28=0 2 2已知函数已知函数f(x)=3xf(x)=3x3 3+2x,+2x,(1) (1) 求求f(2)f(2)、f(-2)f(-2)、f(2)+f(-2)f(2)+f(-2)的值；的值；(2) (2) 求求f(a)f(a)、f(-a)f(-a)、f(a)+f(-a)f(a)+f(-a)的值；的值；(3) (3) 你从（你从（2 2）中发现了什么结论？）中发现了什么结论？解：解：f(a)=3af(a)=3a3 3+2a+2af(-a)=3(-a)f(-a)=3(-a)3 3+2(-a)=-3a+2(-a)=-3a3 3-2a-2af(a)+f(-a)=3af(a)+f(-a)=3a3 3+2a-3a+2a-3a3 3-2a =0-2a =0例例2 2：下列函数中哪个与函数：下列函数中哪个与函数y=xy=x是同一个函数？是同一个函数？(1)(1) y=( )y=( )2 2x x x x3 3 y= y= 3 3(2)(2)y= y= x x2 2 (3)(3)(4)(4) y= y= x x2 2 x x 分析：分析： 一个函数的构成要素为：一个函数的构成要素为： 定义域、对应关系和值域。定义域、对应关系和值域。其中值域是由定义域与对应关系决定。其中值域是由定义域与对应关系决定。如果两个函数的定义域和对应关系完全一如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，那么我们就称这两个函数相等。致，那么我们就称这两个函数相等。y=( )y=( )2 2x x 解：解：=x(x0)=x(x0)函数函数y=x(xR)y=x(xR)。(1) (1) 函数函数 这两个函数的对应关系相同，但定义域不相这两个函数的对应关系相同，但定义域不相同，所以这两个函数不相等。同，所以这两个函数不相等。例例2 2：下列函数中哪个与函数：下列函数中哪个与函数y=xy=x是同一个函数？是同一个函数？(1)(1) y=( )y=( )2 2x x x x3 3 y= y= 3 3(2)(2)y= y= x x2 2 (3)(3)(4)(4) y= y= x x2 2 x x y= y= x x3 3 3 3=x(xR)=x(xR)(2) (2) 函数函数 这两个函数的对应关系相同，定义域也相同，这两个函数的对应关系相同，定义域也相同，所以这个函数与函数所以这个函数与函数y=x(xR)y=x(xR)相等。相等。解：解：函数函数y=x(xR)y=x(xR)。例例2 2：下列函数中哪个与函数：下列函数中哪个与函数y=xy=x是同一个函数？是同一个函数？(1)(1) y=( )y=( )2 2x x x x3 3 y= y= 3 3(2)(2)y= y= x x2 2 (3)(3)(4)(4) y= y= x x2 2 x x (3) (3) 函数函数 这两个函数的定义域相同，但当这两个函数的定义域相同，但当x0x0时的对应时的对应关系不相同，所以这两个函数不相等。关系不相同，所以这两个函数不相等。y= y= x x2 2 = =x(x0)x(x0)-x(x0)-x(x0)解：解：函数函数y=x(xR)y=x(xR)。例例2 2：下列函数中哪个与函数：下列函数中哪个与函数y=xy=x是同一个函数？是同一个函数？(1)(1) y=( )y=( )2 2x x x x3 3 y= y= 3 3(2)(2)y= y= x x2 2 (3)(3)(4)(4) y= y= x x2 2 x x =x(x0)=x(x0)(4) (4) 函数函数 这两个函数的对应关系相同，但定义域不相这两个函数的对应关系相同，但定义域不相同，所以这两个函数不相等。同，所以这两个函数不相等。y= y= x x2 2 x x 解：解：函数函数y=x(xR)y=x(xR)。例例2 2：下列函数中哪个与函数：下列函数中哪个与函数y=xy=x是同一个函数？是同一个函数？(1)(1) y=( )y=( )2 2x x x x3 3 y= y= 3 3(2)(2)y= y= x x2 2 (3)(3)(4)(4) y= y= x x2 2 x x 1 1判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：(1) (1) 表示导弹飞行高度表示导弹飞行高度h h与时间与时间t t关系的函数关系的函数h=130t-5th=130t-5t2 2和二次函数和二次函数y=130x-5xy=130x-5x2 2；(2) f(x)=1(2) f(x)=1和和g(x)=xg(x)=x0 0解：解：(1) (1) 函数函数h=130t-5th=130t-5t2 2的定义域的定义域t0t0；函数函数y=130x-5xy=130x-5x2 2；的定义域为实数；的定义域为实数R R。两个函数的对应关系相同，但定义域不相两个函数的对应关系相同，但定义域不相同，所以两个函数不相等。同，所以两个函数不相等。2 2下列说法中正确的有下列说法中正确的有( ) ( ) (1) y=f(x)(1) y=f(x)与与y=f(t)y=f(t)表示同一个函数表示同一个函数 (2) y=f(x)(2) y=f(x)与与y=f(x+1)y=f(x+1)不可能是同一个函数不可能是同一个函数 (3) f(x)=1(3) f(x)=1与与g(x)=xg(x)=x0 0是同一函数是同一函数 (4) (4) 定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个A3 3下列各组函数表示同一函数的是下列各组函数表示同一函数的是( )( )D D1 1判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：(1) (1) 表示导弹飞行高度表示导弹飞行高度h h与时间与时间t t关系的函数关系的函数h=130t-5th=130t-5t2 2和二次函数和二次函数y=130x-5xy=130x-5x2 2；(2) f(x)=1(2) f(x)=1和和g(x)=xg(x)=x0 0解：解：(2) (2) 函数函数f(x)=1f(x)=1，定义域为实数，定义域为实数R R；函数函数g(x)=xg(x)=x0 0=1=1（x0x0）。）。两个函数的对应关系相同，但定义域不相两个函数的对应关系相同，但定义域不相同，所以两个函数不相等。同，所以两个函数不相等。至此，我们在初中学习的基础上，运至此，我们在初中学习的基础上，运用集合和对应的语言刻画了函数概念，并用集合和对应的语言刻画了函数概念，并引进了符号引进了符号y=f(x)y=f(x)，明确了函数的构成要，明确了函数的构成要素。比较两个函数定义，你对函数有什么素。比较两个函数定义，你对函数有什么新的认识？新的认识？思考：思考：