3垂径定理【基础梳理基础梳理】文字叙述文字叙述几何语言几何语言垂垂径径定定理理垂直于弦的直径垂直于弦的直径_这条弦这条弦, ,并且并且_弦所对的弧弦所对的弧CDAB,AE_BE, CDAB,AE_BE, 平分平分平分平分= =文字叙述文字叙述几何语言几何语言垂径垂径定理定理的推的推论论平分弦平分弦( (不是不是直径直径) )的直径的直径_于弦于弦, ,并且并且_弦弦所对的弧所对的弧CDCD是圆是圆O O的直径的直径,AE=BE,AE=BE,CD_AB, CD_AB, 垂直垂直平分平分【自我诊断自我诊断】1.1.判断对错判断对错: :(1)(1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦, ,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两条弧条弧. .( )( )(2)(2)平分弦的直径垂直于弦平分弦的直径垂直于弦, ,并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧.( ).( )(3)(3)相互平分的两条弦相互平分的两条弦, ,一定相互垂直一定相互垂直.( ).( )(4)(4)弦的垂直平分弦一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分弦一定平分这条弦所对的弧.( ).( )2.2.如图如图,AB,AB为半圆直径为半圆直径,O,O为圆心为圆心,C,C为半圆上一点为半圆上一点,E,E是弧是弧ACAC的中点的中点,OE,OE交弦交弦ACAC于点于点D.D.若若AC=8cm,DE=2cm,AC=8cm,DE=2cm,则则ODOD的长的长为为_cm._cm.3 3知识点一知识点一 垂径定理垂径定理【示范题示范题1 1】已知已知: :如图如图, ,在在O O中中, ,弦弦CDCD垂直于直径垂直于直径AB,AB,垂足为点垂足为点E,CD=8,BE=2,E,CD=8,BE=2,求直径求直径ABAB的长的长. .【微点拨微点拨】垂径定理常作的两条辅助线及解题思想垂径定理常作的两条辅助线及解题思想1.1.两条辅助线两条辅助线: :一是过圆心作弦的垂线一是过圆心作弦的垂线, ,二是连接圆心二是连接圆心和弦的一端和弦的一端( (即半径即半径),),这样把半径、圆心到弦的距离、这样把半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建在一个直角三角形中弦的一半构建在一个直角三角形中, ,运用勾股定理求解运用勾股定理求解. .2.2.方程的思想方程的思想: :在直接运用垂径定理求线段的长度时在直接运用垂径定理求线段的长度时, ,常常将未知的一条线段设为常常将未知的一条线段设为x,x,利用勾股定理构造关于利用勾股定理构造关于x x的方程解决问题的方程解决问题. .这是一种用代数方法解决几何问题的这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路解题思路. .知识点二知识点二 垂径定理的应用垂径定理的应用【示范题示范题2 2】(2017(2017乐山中考改编乐山中考改编) )如图是如图是“明清影视明清影视城城”的一扇圆弧形门的一扇圆弧形门, ,小红到影视城游玩小红到影视城游玩, ,她了解到这她了解到这扇门的相关数据扇门的相关数据: :这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的相切的,AB=CD=0.25,AB=CD=0.25米米,BD=1.5,BD=1.5米米, ,且且AB,CDAB,CD与水平地面与水平地面都是垂直的都是垂直的. .根据以上数据根据以上数据, ,请你帮小红计算出这扇圆请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是弧形门的最高点离地面的距离是( () )A.2A.2米米B.2.5B.2.5米米C.2.4C.2.4米米D.2.1D.2.1米米【思路点拨思路点拨】连接连接OA,AC,OA,AC,作作OFBDOFBD于点于点F;F;交交ACAC于点于点E,E,设圆设圆O O的半径为的半径为R R米米, ,根据勾股定理列出方程根据勾股定理列出方程, ,解方程即解方程即可可. .【自主解答自主解答】选选B.B.连接连接OA,AC,OA,AC,作作OFBDOFBD于点于点F,F,交交ACAC于于点点E,BDE,BD是是O O的切线的切线,OFBD,OFBD,四边形四边形ABDCABDC是矩形是矩形,ACBD,ACBD,OEAC,EF=AB,OEAC,EF=AB,设圆设圆O O的半径为的半径为R,R,在在RtAOERtAOE中中,AE= =0.75,AE= =0.75米米, ,OE=R-AB=(R-0.25)OE=R-AB=(R-0.25)米米, ,AEAE2 2+OE+OE2 2=OA=OA2 2, ,0.750.752 2+(R-0.25)+(R-0.25)2 2=R=R2 2, ,解得解得R=1.25.R=1.25.故直径为故直径为1.251.252=2.5(2=2.5(米米).).【微点拨微点拨】垂径定理基本图形的四变量、两关系垂径定理基本图形的四变量、两关系1.1.四变量四变量: :如图如图, ,弦长弦长a,a,圆心到弦的距离圆心到弦的距离d,d,半径半径r,r,弧的弧的中点到弦的距离中点到弦的距离( (弓形高弓形高)h,)h,这四个变量知任意两个可这四个变量知任意两个可求其他两个求其他两个. .2.2.两关系两关系:(1) (2)h+d=r.:(1) (2)h+d=r.【纠错园纠错园】有一个半径为有一个半径为5m5m的排水管的排水管, ,水面宽度为水面宽度为8m,8m,求此时水的求此时水的深度深度. .【错因错因】_水面的位置有高于圆心和低于圆心两种情水面的位置有高于圆心和低于圆心两种情况况, ,在解答中忽略了其中一种在解答中忽略了其中一种! !