3.2导数与函数的小综合知识梳理考点自诊1.导函数的符号和函数的单调性的关系如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数,则在这个区间上,函数y=f(x)是增加的;如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0 减少 函数y=f(x)的极大值点 极大值 大于x0点的函数值 极小值 2知识梳理考点自诊(3)极值和极值点:极大值与极小值统称为,极大值点与极小值点统称为.(4)求可导函数极值的步骤:求f(x).求方程的根.检查f(x)在方程f(x)=0的根的左右两侧的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得.极值 极值点 f(x)=0 极大值 极小值 3知识梳理考点自诊3.实际问题中导数的意义中学物理中,速度是关于时间的导数,线密度是_的导数,功率是的导数.4.函数的最值与导数(1)最大值点:函数y=f(x)在区间a,b上的最大值点x0指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).函数的最小值点也有类似的意义.(2)函数的最大值:最大值或者在取得,或者在区间的端点取得.(3)最值:函数的和统称为最值.(4)求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤求f(x)在(a,b)内的极值;将f(x)的各极值与比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.路程 质量关于长度 功关于时间 极大值点 最大值最小值 f(a),f(b) 4知识梳理考点自诊1.若函数f(x)的图像连续不断,则f(x)在a,b上一定有最值.2.若函数f(x)在a,b上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.5知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)如果函数f(x)在(a,b)内是增加的,那么一定有f(x)0.()(2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的. ()(3)导数为零的点不一定是极值点. ()(4)函数的极大值不一定比极小值大. ()(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. ()6知识梳理考点自诊2.如图是函数y=f(x)的导函数f(x)的图像,则下面判断正确的是 ()A.在区间(-2,1)内,f(x)是增加的B.在区间(1,3)内,f(x)是减少的C.在区间(4,5)内,f(x)是增加的D.在区间(2,3)内,f(x)不是单调函数C3. 已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.2D解析解析:f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f(x)=0,得x=-2或x=2,易得f(x)在(-2,2)内单调递减,在(-,-2),(2,+)内单调递增,故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D.7知识梳理考点自诊4.(2018山东师大附中一模,11)若f(x)=-x2+mln x在(1,+)是减少的,则m的取值范围是()A.1,+)B.(1,+)C.(-,1D.(-,1)Cx|x1或x-1 g(x)在R上为减函数,不等式等价于g(x2)1,得x1或x0时,令f(x)0,得x0.令f(x)0,得-2x0.函数f(x)的递增区间为(-,-2),(0,+),递减区间为(-2,0).当a0,得-2x0.令f(x)0,得x0.函数f(x)的递减区间为(-,-2),(0,+),递增区间为(-2,0).12考点1考点2考点3考点4函数函数单调性的性的应用用(多考向多考向)考向1利用函数单调性比较大小思考本例题如何根据条件比较三个数的大小?A13考点1考点2考点3考点4考向2利用函数单调性求参数的范围例3(1)(2018衡水中学押题二,11改编)若函数f(x)=mln x+x2-mx在区间(0,+)内递增,则正实数m的取值范围为()A.0,8B.(0,8C.8,+)D.(8,+)(2)(2017江苏,11)已知函数 ,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是.B14考点1考点2考点3考点415考点1考点2考点3考点4思考如何利用函数的单调性求参数的范围?解题心得1.比较大小时,根据三个数的特点结合已知条件构造新的函数,对新函数求导确定其单调性,再由单调性进行大小的比较.2.利用函数的单调性求参数的范围问题要视情况而定,若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到;若已知函数不等式求参数范围,先求函数的导数,确定函数的单调性,再由函数的单调性脱掉函数符号得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围;也可以根据条件采取分离参数法.16考点1考点2考点3考点4A17考点1考点2考点3考点418考点1考点2考点3考点4求函数的极求函数的极值、最、最值例4(1)(2017全国2,理11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1(2)(2018江苏,11)若函数f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为.A-319考点1考点2考点3考点4解析解析: (1)由题意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)ex-1.所以f(x)=(x2+x-2)ex-1.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.20考点1考点2考点3考点421考点1考点2考点3考点4思考函数的导数与函数的极值、最值有怎样的关系?解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,反之,若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值.22考点1考点2考点3考点43.利用导数研究函数极值的一般流程: 23考点1考点2考点3考点44.求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤:(1)求函数在(a,b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b).(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.24考点1考点2考点3考点4ln aD当a0时,f(x)0,f(x)为R上的增函数,f(x)无极值.当a0时,令f(x)=0,得ex=a,即x=ln a.x(-,ln a)时,f(x)0,f(x)在(-,ln a)上递减,在(ln a,+)上递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值,且极小值为f(ln a)=ln a.25考点1考点2考点3考点426考点1考点2考点3考点4已知极已知极值或最或最值求参数范求参数范围例5若函数f(x)=ax3+(a-1)x2-x+2(0x1)在x=1处取得最小值,则实数a的取值范围是() C27考点1考点2考点3考点4思考已知极值或最值如何求参数的范围?解题心得已知极值求参数:若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f(x0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.28考点1考点2考点3考点4D29考点1考点2考点3考点41.函数y=f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)内的任意子区间内都不恒等于零,则f(x)0f(x)在(a,b)内是增加的;f(x)0f(x)在(a,b)内是减少的.2.求可导函数极值的步骤:(1)求定义域及f(x);(2)求f(x)=0的根;(3)判定定义域内的根两侧导数的符号;(4)下结论.3.求函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值,首先求出各极值及区间端点处的函数值,然后比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).30考点1考点2考点3考点41.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行.2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论.3.一个函数在其定义域内的最值是唯一的,最值可以在区间的端点处取得.4.解题时,要注意区分求单调性和已知单调性求参数的问题,处理好当f(x)=0时的情况,正确区分极值点和导数为0的点.31