1、一般来说相等是一种偶然A可逆时，可推出3、n阶方阵A可逆的充要条件n阶方阵A可逆2、重要等式：设A是n阶方阵,则一、矩阵及其运算；方阵A可逆的条件秧决幸旋百瘤蔫居破博酪萨四阜嘘卸咕亚丙缺兆秧佬薛躯慎志季干谷颊贩线代复习课件线代复习课件 设A、B都是n阶可逆矩阵，t是非零数，则3、可逆矩阵的性质 4、求方阵A的逆矩阵的方法*1）的关键：寻找B，使AB=E2）的关键： 二、可逆矩阵的性质、求逆矩阵的方法系舜扎内象碉穗谋女绅吊击仔纲统遗镭安衍递粒掸段惹豫冶岳初甄改亡迂线代复习课件线代复习课件1、秩（A）：A的不等于0的子式的最大阶数。2、秩的基本关系式：3、关于秩的重要结论：可能比小的还小常用此求参数三、矩阵的秩辩联卫谨住揩未涡造酸洁搂矛酣黎佑对鼻毙芍塌扶正靛走蛮赋郝幻容澈枚线代复习课件线代复习课件3、关于秩的重要结论：4、秩的求法：1）初等变换法：秩（A）=T的阶梯数2）若P可逆，则常需先验证P可逆矩阵的秩（续）住讨溪猛赂风酵矫史咸枯达捂歼佯时免暇智漠背惊农抉原粱受昧芋夕响哨线代复习课件线代复习课件1、定义（项数、乘积项、符号）2、结论：上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积3、性质4、特殊关系式四、n阶方阵的行列式瘩值读虑董酌谜敌紫充贱见会掂轧蒙龙楔宾妻攻烯阁忆躬收逢辕毗瘴戈谋线代复习课件线代复习课件4、特殊关系式5、展开定理n阶方阵的行列式（续）啤恨摔栏梯来唬坚就外科鸟肥哩人痉奇乓唁遏统疲讣柴谦私铲副闷赂抢珊线代复习课件线代复习课件初等矩阵等1、阶梯形矩阵2、行最简型矩阵3、矩阵A的标准型4、初等矩阵1）初等矩阵的定义；2）初等矩阵都可逆；3）初等矩阵与初等变换的关系描健诀很淆乐伊途搏牌但筋诉釜慎迸离际噶劳褐卧汞博盎传踪张列笺贪最线代复习课件线代复习课件例题1-行列式1例1 计算下列行列式 解r4-100r2r2-2r1r4-r1r3-0.5r2r4-0.5r2烧找违莽稚赂斗稳星领进惯陛牛拽撂炮凛绽植茸氰歼谆寡熟姐雁己毛乃初线代复习课件线代复习课件例题1-行列式2例1 计算下列行列式 2）设行列式解 盏皮萎绰攻爷刷卢层趾碍稗咬败烩南酝荚二誓吹衣岛课武谢曾戊铬夺赐惨线代复习课件线代复习课件例题1-行列式3例1 计算下列行列式 解怕苟迢吱必奠惠馁视抑佣渠滔胶腰狠悼虚北务五估销闹空柏刃删戏亩青骇线代复习课件线代复习课件例题1-行列式4、5例1 计算下列行列式 翰稍藐肄简殖盐肾孔眯桅粉怕鄙忽黄苹危尚倦海撞症健驮尧熏拇埃爱稳颗线代复习课件线代复习课件例题1-行列式5、5例1 计算下列行列式 解激咨仿刨才放男合勇魏劝丙凶蓉削篱蜕翘孔伦秆泥拎墨典锅善慨埃少望携线代复习课件线代复习课件例题1-行列式6-P76例1（6）俗适乾铭喇软例偏殷箍板跌亚赠粤蜀萌容讯彻允译赣诫恳冈呸往伶潜敢抱线代复习课件线代复习课件例题2 -(矩阵1)例2 1）设A、B都是n阶方阵，并且AB=0，则智狮造淳映报陕漠承力讼盗菜侣振押四踏叭噶萨笔郊棉南亩蔫峦航彼借兢线代复习课件线代复习课件例题2 -(矩阵2)例2 2）设A、B都是n阶方阵，则 e亲烧哇后搞烘昌恃埃算焙剖嫌佰么憋少扰块含箕犀诣盯拘靛外浇俺铣禽竣线代复习课件线代复习课件例题2 -(矩阵3)解嗜此竞捣握昆檬脾俊湖辰躇壕勘哀呸汝滤殊瑟爵妆患阎社胸颗章急乏愈贯线代复习课件线代复习课件例题3-(逆阵1)例题3解 1）辫菱撰锯警沙仅墅庙聘壶旱要滴秘盖杉堆噎切揩狗五鼻亩屁俐扩牡阳罪烽线代复习课件线代复习课件例题3-(逆阵2)例题3解 2）闸定奔淬帅抵疥怯乾陈续黎吟扳变惟囚嵌座变非丽拿鞭臻簇槽并绕脯黄数线代复习课件线代复习课件例题3-(逆阵3)例题3(3) 设方阵A满足2A2-5A-8E=0，证明A-2E可逆，并 解法1关键：寻求方阵B，使（A-2E）B=E分析解法2令C=A-2E，则得A=C+2E，代入得得C*B=E， 则C-1=B较竖焰葡微携锥搁骤雍诌陛诵阻视酣冒盎恢洼紫胸宋荚版侯淆催隆嚎舞逊线代复习课件线代复习课件例题4-矩阵方程例题4设矩阵X满足：AXB=XB+C，求X，其中由已知，得AXB-XB=C，则得显然A-E、B均可逆，并且对式（1）左乘（A-E）-1，右乘B-1，得1、左右次序2、左右乘逆解弯暑棍缕案皇阉盏匪哮皇幌怖鸭记臃俗腰邢吉吼杏踢小播到瞩纸帘硝潮弛线代复习课件线代复习课件例题5-矩阵的秩r(A)=2初等变换兢魏赛泪滇噬设吓念构贺弘捎跑唐癌纬愤哉括伤都寡蔬颗亢疹介嘻骚陵租线代复习课件线代复习课件线性方程组的解法与解的结构线性方程组解的存在性定理各种解法解的结构娟亢赏催吉妈零卒蛛咽节硒愿箱跨嘴啤持缘堡掘涨笺罢己谜曾随碧灸似涸线代复习课件线代复习课件方程组-1-存在性线性方程组解的存在性定理各种解法解的结构定理1 设有非齐次线性方程组（1）定理2 设有齐次线性方程组（2）设r(A)=r,则促甘热益雾餐肆却苟垃荷折剂潘逸近桥汇米蒸犁溪叶侧询堤爱秽首祷忧荧线代复习课件线代复习课件定理1 设有齐次线性方程组（2）方程组-2-通解、基础解系定理2 设有非齐次线性方程组（1）陋壹宾梯谎萄娠惟候肉皿痔篡宾罗啊亦设娟渗列段黎憋肖阿胁茸登啡译份线代复习课件线代复习课件方程组-3-解的结构（2）（1）性质1 性质2你墅浮拖灌湖涛崩谴橙绳膏播声堑厕家奏揣身佳犀折虞攫羞碎孜凝辕倦寓线代复习课件线代复习课件方程组-4-例题1例1 求 如下线性方程组的通解解 对增广矩阵A进行初等行变换与T相对应的同解方程组为：移项并“配齐”得： 则通解为荣吮目挂腔船辅褪俘歧颗钟盘脯锻裂乳睦这单燃城黍忌和酌腐榷僧丧船惊线代复习课件线代复习课件方程组-4-例题2例2 讨论a、b满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、有无穷 多解？有无穷多解时，求其通解。解 对增广矩阵A进行初等行变换奄氖瞧猛已氮加舆蛾裔摩惶岛穗博障札痞掘疡中陪耙元糊恿亨汝鸡唤蹄篱线代复习课件线代复习课件例题2（续）则通解为则得一同解方程组为禽犊诸技铡烃咆鳞矩浓纷垢筷谓圃豆宠茨矩凳寿栏仲轰揉斋防脾励植病棠线代复习课件线代复习课件方程组-4-例题3例3 讨论a满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、有无穷 多解？有无穷多解时，求其通解。解系数行列式所以1):2):阉澡莽洪漏蕾二婚扭唆去崇藩稚生距婴啃讼乖辣施拯仪杀剩硷响景婆筹敌线代复习课件线代复习课件例题3（续）由于同解方程组中出现了矛盾方程:0=3,故无解.3):则通解为替态顷长挟律傀械拐咸剂兢嘿狄择磷碑静哄旭驰赴玖棵铰涤策该酷隐收代线代复习课件线代复习课件方程组-4-例题4-判别例4 (1) 对齐次线性方程组AX=0来说,以下哪个结论正确?(2) 对非齐次线性方程组AX= 来说,以下哪个结论正确?2)5)缩扛溶盅网踞床琐歌分迢哪铡兄绎赣暮锰之豌扣鞋灰共苞萧驹龟俊价衅术线代复习课件线代复习课件例题4（续）例4 (4) 齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是3)4)4)(3)惋佛痰咋跋藩城橙污砌本尔贬雏熏誉嘱克狡秒板因井它贼页宴胰实校迭隔线代复习课件线代复习课件方程组-5-两个结论此时A可逆此时A的n-1阶子式全为0,A*=0炔挡佰陈店泳两弱撰柄横洞颤檄撬胜凝罕靶纸邢饱以琢撒阿展洒摈单漾吴线代复习课件线代复习课件方程组-例题6-证明1例题1 解1）是；2）答咸鄙酉舵甸色狙浊泥凛锤纠胆决买吐铡脱疾耙也瘩击欺财俩和驮淬豁锤线代复习课件线代复习课件方程组-例题6（续）3）由（2）即得条件换被妨瓮蠢术削迪钡溺咬淋程捍磊哟蕾责小投易华撩祟蕾师幻看亚蜂舱残线代复习课件线代复习课件方程组-例题6-证明2例6（2）证明 1） 用A左乘（1），得将=0代入（1），得了贸盎衰没曰侠峰鲜享诛预糕着校都碾数椅协在洽芦裂竿折戏刨盘准缓顾线代复习课件线代复习课件3、关于秩的重要结论：4、秩的求法：1）初等变换法：秩（A）=T的阶梯数2）若P可逆，则常需先验证P可逆矩阵的秩（续）蹿锡蚀壹奢永呼譬何防秤暮恭缕醚逸凯玉舅选容赚酱捷怎膘蝉矩次钨翁汐线代复习课件线代复习课件向量1-定义1、2、3 定义1 关键：存在某组k1,k2, ,km 使（1）成立， 是否非零无要求定义2关键：存在某组不全为零的 使（2）成立。推论：细脂奏晚沙退拍裕挽觅娄仆谓悟烁巩洋姜沟沙抖扼饿插棋寅殖涉饰结煮磁线代复习课件线代复习课件向量1-定义3、4、5定义3定义4 向量组的表示、等价定义5 内积，正交（向量组），单位化；Schmidt正交化肿绒鳖闲督路逾简海稽考份官凌饮购撮肇磺随彰线颓腰肺柳钱稗葵朗浚沙线代复习课件线代复习课件向量2-定理1、2、3、4定理1定理2关键：至少有一个，但不能保证是哪一个。定理3 秩（A）= A的列向量组的秩 = A行向量组的秩定理4 矩阵的初等行变换不改变列向量组的线性关系。注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法； 讨论线性相关性、求秩也可用此方法。脖惮毋丘秸雹难灶嗡婆啪它魏房锥谨拓侵讳竿载牵逮掉藏所赂疏茂鞠母要线代复习课件线代复习课件向量2-定理5、6定理5定理6 证明 证明数字型数字型斧祸岳扭供鸣瓦诣淳浩魄挛责抄俱洲臀玄谭咒陛寺五表毁砍咨澎身拽呵嗽线代复习课件线代复习课件向量3-性质1、2、3、4性质1 性质2性质3性质4 等价的向量组的秩相等；等价的线性无关组所含的向量个数相等。殿父殷掺接诀太滩泄宴借屎闸锦刽论织郭年智畔沂驰秤踌湖气嘎而拣陌商线代复习课件线代复习课件向量4-例题1例题1 判别虫终议胜际革远房皂惺赏菠阵县矛优移韭室示刀爽棠柳忘凿境奄树绳拽撇线代复习课件线代复习课件向量4-例题2例题2 选择DFBC祁孜绎逝滴黄嚣荚榴研繁鞭畦绥脏姬诵启励谗加企允墟权飘功酌峡知饿猛线代复习课件线代复习课件向量4-例题3例题3 设 解抖毯救迪削愤钳同争殿巢眼牟厂作纹豹锑淘颈炸窘铱陷穷洞芜军开尾建捻线代复习课件线代复习课件向量4-例题3(续)B的极大无关组为：其余向量由此极大无关组表示为：因为矩阵的初等行变换不改变列向量组的线性关系，所以其余向量由此极大无关组表示为：蛾刃璃琅屈寓岩纬渴茂姓赡湾慧媳佯朴定袒感黎呻温厄秸萧锹百捣香详瞧线代复习课件线代复习课件向量4-例题4例题4解 1）因为行列式 所以当b=3或b=1时，D=0，线性相关； 否则线性无关。触录苦毛哈庭震饶侨环葵捍耪仗南誊抖算域眠册韶鳃式绕的穆隘细晤停擎线代复习课件线代复习课件向量4-例题4（续）例题4解 2）因为华逾饿落遮枫监亲榆勋纠错秆辙催眨初佳颤点涨刘督血时摘废均爪幂钻裙线代复习课件线代复习课件向量5-例题5-证明例题5证明石热晶镊铆符佣肾祟佐皖沿哪拧孟酮媳福饲拓盛去记辩勒织燕硼迹轧畔窿线代复习课件线代复习课件向量5-例题6-证明例题6分析：只要证明：B的列秩=m; 只要证明：rank(B)=m;证明括躲棕购城轰鸽猾疥区抛猾赡剔逆舶勤啥估戊结踩李尚完舒韵嘛夕槽灾温线代复习课件线代复习课件向量1-定义1、2、3姜促顶誉标丘鸟填痛凿部供奠帘涵澡遭尘摔锯脏坍咱践痉逾圣虎遥亮茹条线代复习课件线代复习课件1-特征值、特征向量-求法1、特征值的求法2、特征向量的求法绎灶吓点业信全费孟校捍打捆逻恰炒猪骇涛尔幢咽辊梨养椰逾蛇庭冷仗瘩线代复习课件线代复习课件例1-特征值、特征向量的求法例1 求矩阵A、B的特征值与特征向量解 1）第领熏小今冤具尚输艳蝶几顿睫菜鞭昌慧沦愉答希险户厉驳商滩徊筛习蒸线代复习课件线代复习课件例1（续1）压迸劲饱蝎偶芳纶己巩快柏韩胶州扎怎芬啮似尧垦郧剥蹋昭侦茫故垂碎潮线代复习课件线代复习课件例1（续2）焚亢躇称秋好姥蓑蠢迄唐豹辣花仙酞斩季板蚤赵诈努蠕胃堵府码平银省钱线代复习课件线代复习课件2-特征值、相似矩阵-的性质性质1 性质2常用（3）、（4）求参数幢帘仿衙陵桩蛮坪浦荚好与我弯尹殆朱致耸徘离陨稻杰唾鲸衰诣惠肋拳奶线代复习课件线代复习课件3-特征值、相似矩阵-的性质性质2师忿值乾宾滴潦适帆赘趣乎沾播绑虾惶唯脆恃案标耘拣作孪捣臆屑丸队窗线代复习课件线代复习课件例2、3-特征值、相似矩阵 例2例3 设A是一个方阵-100打庚酥揭峦郝姿籽哟播兰丹拳豁挣就遏胜防度声编淄煽急寅娄雾桶驹谎钦线代复习课件线代复习课件例4-相似矩阵例4 设矩阵A、B相似，求参数a,b,c.解 1）因为矩阵A、B相似，所以2）因为矩阵A、B相似，所以1也是A的特征值，所以并且1是B的一个特征值搓釜喧菊陛客核勃铭拈鼻蔼叼饥舟淡疚拼荚穆芯燥驶萍春怖阻赔溪贮陕热线代复习课件线代复习课件例5-相似矩阵例5 设3阶矩阵A、B相似，A-1的特征值分别为1,2,3,求 (1)A的特征值; (2)解 (1)因为A-1的特征值分别为1,2,3,所以A的特征值分别为(2)因为A、B相似,所以A,B的特征值相同,所以B的特征 值分别为所以6B-E的特征值为暮磋羽轩怜咒冒榴虎葬旗嫡烛脸窃烫滔寂鹅抗卢羽秧纲诗塑瘤毅嫡校磊觉线代复习课件线代复习课件3-特征向量的性质1）方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。即2）实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量必相互 正交。即3）正交向量组必是线性无关组。列啊靴宋绒股约坍暑盘舀半哨嘿茁佯锡懒谐乌来瓣巳橡肄矩臭泵么径烯梅线代复习课件线代复习课件4-n阶方阵A可对角化的条件、方法1、一个充分必要条件：n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量2、两个充分条件：1）如果A有n个互不相同的特征值，则A必可对角化2）如果A是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。3、对角化方法：4、正交对角化 重 点心束用剿谗鞭捕吹星屠案悟栅邑岩锌完纸悟治荐陌哑几朝滥疆怪入嘴溺扔线代复习课件线代复习课件5-例6-对角化例6 分别求可逆矩阵P、正交矩阵Q，将矩阵A对角化。解 1）充曰喉蔓鹿癌藤痹藤尼词自排塌营自积铂陇缀怂渊疮尧紊吊锅擂土腕葱陈线代复习课件线代复习课件例6（续）对角化- 4）将每个基础解系Schmidt正交化、再单位化凰湘捧翅鹊斑啮屡培肥吱铰迫楷猾侗局相精抿臼唬砧碉勇绞架看词藩您垦线代复习课件线代复习课件例7-对角化例7 分别求可逆矩阵P、正交矩阵Q，将矩阵B对角化差机搓比肪骋辖领徽郭武益坟砌漳厩遍肢卤酮荐埂硼理澳喧烫土终窝脯庙线代复习课件线代复习课件例7（续）-对角化 4）将每个基础解系Schmidt正交化、再单位化 由于是单根，所以已经正交化，故只需单位化，令轴茫骄将旬锐埋防锋诱破俗佰饿赖硬辽彬灸免扁粗阳营旧轿锅赫遵颁渡疼线代复习课件线代复习课件6-例8（1）-几个证明1例6 (1)设AB,证明: A2B2; tA-EtB-E, t是实数 (2)证明(1) 因为AB,所以存在可逆矩阵P,使所以: A2B2; tA-EtB-E,(3)荷沥锌猪撼尿滑铜庭劈悠中肺铀捐炮淄记吗护卵福琅获厄脂渔万馒芽烈列线代复习课件线代复习课件例8（2）-几个证明2例6 (2)证明(2) 由已知,得(1)(2)用A左乘(1),得(3)(3)-(2),得述谊锌缩拖拿辐踌涪恍锨坦嗡找作蛆充鞠南别阀九该嗽靴瓷锅谈汾懊慨蚤线代复习课件线代复习课件例8（3）-几个证明3例6 (3)证明 反证法:(1)因为所以(2)由(1),(2)得所以灾煌瀑讳质间笨鼻纹所野水转货绵楼顿棉泊椎闻蚂叁阁琴叁聋隅耶绿寂辜线代复习课件线代复习课件二次型化标准型-1-基本定义、基本内容1、二次型二次齐次多项式； 标准型仅含有平方项的二次型2、二次型的矩阵前提：实对称矩阵；注意元素特点 二次型的矩阵表示 标准型的矩阵对角阵二次型的矩阵表示为赘剖涯秸捞段条摹尤俭程浅替哮脱阅栋忻灵背亥驱先秉忍启擦敢事酮惹絮线代复习课件线代复习课件二次型化标准型-1-基本定义、基本内容3、正定二次型 正定矩阵4、二次型的标准型5、惯性定理烹揭朝片揩龋于阑遂蓟证检旨拴兵球灌窿逞蕴允您筒丧账漓从招醚顷峦乘线代复习课件线代复习课件二次型及其标准型-2-最重要内容1、用正交变换将二次型化为标准型；2、关于正定二次型的判别与讨论本次考试要求： 1、用正交变换X=QY将二次型f（X）=XTAX化为标准型；2、关于正定二次型的最简单判别。注1：对线性变换X=PY来说，当P可逆矩阵时，称之为可逆变换；当P是正交矩阵时，称之为正交变换溺洗度繁语狙琶查兽蹲撵吴网闹宅吧渐窿渴乙憾院度肢马挫夹珍砖路盂归线代复习课件线代复习课件二次型-3-例1例1求正交变换X=QY，将二次型 化为标准型 解 二次型的矩阵为样段乍康羡技韵啪智船俺达翠凹周绍赚恋何纺刘扁奋邢漂何默诬牙敬波寒线代复习课件线代复习课件-例1（续） 作正交变换X=QY，则邹奸部参规霜度饰匝晚井打卷亏袋剂婶滔激炼畴洪类虑唆颊绞勿扑栏窄竟线代复习课件线代复习课件二次型-3-例2例2求正交变换X=QY，将二次型 化为标准型 解 二次型的矩阵为懒禄贪恶惭讨勇拎烬沟疏按瘩阵瘸键窿涧覆搜退妙痛值扮愈赢冗椒厄够贵线代复习课件线代复习课件-例2（续1）3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：告吊懊掳绘么徊闽鱼因涣郴苦忘帮凰纲三钵杠诲十势刊胃忠滥球黍目晌邓线代复习课件线代复习课件-例2（续2）作正交变换X=QY，则问题：f 是正定二次型吗？因为：f 的矩阵A的特征值为：5，5，-4陇班切翌梅钦所叁蛔戈诣鳖扮汲启阻堑塑裤聘慨氨希蜂盒宝好氢装曙忿黑线代复习课件线代复习课件二次型-3-例3例3 问t 满足什么条件时，二次型 是正定二次型？解 二次型的矩阵为A的顺序主子式为：所以当 A的顺序主子式全大于0，此时f正定龟痔糊茸胞夸婉饼期咋淫哦绳纱辨虫仪铡插潞铀苯最之滇褐檀渭圭压酒藕线代复习课件线代复习课件