2.11导数的概念及其运算数的概念及其运算 2.11导导数数的的概概念念及及其其运运算算考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考双基研习双基研习面对高考面对高考双基研习双基研习面对高考面对高考基础梳理基础梳理基础梳理基础梳理1平均平均变化率及瞬化率及瞬时变化率化率(2)导函数函数如如果果一一个个函函数数f(x)在在区区间(a，b)上上的的每每一一点点x处都都有有 导 数数 ， 导 数数 值 记 作作 f(x)： f(x)_ ，则f(x)是是关关于于x的的函函数数，称称f(x)为f(x)的的导函数，通常也函数，通常也简称称为导数数(3)导数的几何意数的几何意义函数函数yf(x)在在x0处的的导数，是曲数，是曲线yf(x)在点在点_处的切的切线的斜率的斜率(x0，f(x0)思思考考感感悟悟 1“函函数数f(x)在在点点xx0处的的导数数”、“导函数函数”、“导数数”三者之三者之间有何区有何区别与与联系？系？提提示示：(1)“函函数数在在一一点点处的的导数数”，就就是是在在该点点的的函函数数的的改改变量量与与自自变量量的的改改变量量的的比比的的极极限限，它它是是一个数一个数值 ，不是，不是变数数(2)“导函数函数”：如果函数：如果函数f(x)在开区在开区间(a，b)内每一内每一点都可点都可导，就，就说f(x)在开区在开区间(a，b)内可内可导，这时对于区于区间(a，b)内每一个确定的内每一个确定的值x0，都，都对应着一着一个个导数数f(x0)，这样就在开区就在开区间(a，b)内构成一个新内构成一个新的函数，把的函数，把这一新函数叫作一新函数叫作f(x)在开区在开区间(a，b)内内的的导函数，函数，记作作f(x)或或y，思思考考感感悟悟 2曲曲线yf(x)在在点点P0(x0，y0)处的的切切线与与过点点P0(x0，y0)的切的切线，两，两说法有区法有区别吗？提示：提示：“曲曲线过点点P0的切的切线”与与“曲曲线在点在点P0处的的切切线”是两个不同的概念在点是两个不同的概念在点P0(x0，y0)处的切的切线表达了三表达了三层含含义：其一点：其一点P0在曲在曲线上；其二点上；其二点P0在在切切线上；其三在点上；其三在点xx0处的的导函数函数值f(x0)是切是切线斜率；而斜率；而过点点P0(x0，y0)的切的切线中，点中，点P0不一定在曲不一定在曲线yf(x)上上3导数数公公式式(其其中中三三角角函函数数自自变量量的的单位位是是弧弧度度)函数函数导函数函数yc(c是是实数数)y_ysinxy_yx(是是实数数)y_ycosxysinx0cosxx1exf(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)5复合函数的导数复合函数的导数设函数设函数u(x)在点在点x处有导数处有导数u(x)，函数，函数yf(u)在点在点x的对应点的对应点u处有导数处有导数yf(u)，则复合函，则复合函数数yf(x)在点在点x处也有导数，且处也有导数，且yx_或写或写作作fx(x)_yuuxf(u)(x)课前热身课前热身课前热身课前热身1一一个个物物体体的的运运动方方程程为s1tt2，其其中中s的的单位位是是米米，t的的单位位是是秒秒，那那么么物物体体在在3秒秒末末的瞬的瞬时速度是速度是()A7米米/秒秒 B6米米/秒秒C5米米/秒秒 D8米米/秒秒答案：答案：C答案：答案：C答案：答案：A4(2009年高考福建卷年高考福建卷)若曲线若曲线f(x)ax5lnx存在垂直于存在垂直于y轴的切线，则实数轴的切线，则实数a的取值范围是的取值范围是_答案：答案：(，0)答案：答案：3考点探究考点探究挑战高考挑战高考考点突破考点突破考点突破考点突破考点一考点一导数的基本概念导数的基本概念2函函数数的的导数数与与在在点点x0处的的导数数不不是是同同一一概概念念；在在点点x0处的的导数数是是函函数数的的导数数在在xx0处的函数的函数值例例例例1 1【思思路路点点拨】根根据据导数数定定义转化化为极极限限形形式运算式运算考点二考点二求已知函数的导数求已知函数的导数利利用用求求导法法则和和求求导公公式式求求函函数数yf(x)的的导数数的的基本步基本步骤：(1)分析函数分析函数yf(x)的的结构特征；构特征；(2)准准确确地地把把函函数数分分割割为能能用用求求导公公式式的的函函数数的的和、差、和、差、积、商；、商；(3)再利用运算法再利用运算法则求求导数并整理数并整理结果果 (2010年年高高考考江江西西卷卷)等等比比数数列列an中中，a12，a84，函函数数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)()A26B29C212 D215【思路点思路点拨】将将f(x)进行合理分行合理分组，利用乘，利用乘积的的导数求解数求解例例例例2 2【解解析析】f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x所所以以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8因因为数数列列an为等等比比数数列列，所所以以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以，所以f(0)84212.【答案答案】C【名名师点点评】有有关关多多个个因因式式积的的函函数数的的求求导一一般般不不能能将将其其展展开开成成一一个个多多项式式求求导，而而应使使用用整整体体求求解解的的策策略略，即即将将该函函数数设法法看看作作是是两两个个因因式式的的乘乘积，再再利利用用导数数的的乘乘法法法法则进行合理行合理转化化变式训练变式训练2(2011年亳州质检年亳州质检)设函数设函数f(x)cos(x)(0)若若f(x)f(x)是奇函数，则是奇函数，则_.考点三考点三导数的几何意义导数的几何意义函函数数yf(x)在在xx0处的的导数数的的几几何何意意义，就就是是曲曲线yf(x)在在点点P(x0，f(x0)处的的切切线的的斜斜率率，即即kf(x0)相相应地地，切切线方方程程为yy0f(x0)(xx0)因因此此求求函函数数对应曲曲线在在某某一一点点处的的切切线的斜率，只要求函数在的斜率，只要求函数在该点点处的的导数即可数即可例例例例3 3【答案答案】A【规律小律小结】(1)求曲求曲线切切线方程的步方程的步骤：求求出出函函数数yf(x)在在点点xx0处的的导数数，即即曲曲线yf(x)在点在点P(x0，f(x0)处切切线的斜率；的斜率；由由点点斜斜式式方方程程求求得得切切线方方程程为yy0f(x0)(xx0)(2)当当曲曲线yf(x)在在点点P(x0，f(x0)处的的切切线平平行行于于y轴(此此时导数不存在数不存在)时，切，切线方程方程为xx0；当当切切点点坐坐标不不知知道道时，应首首先先设出出切切点点坐坐标，再再求解求解互动探究互动探究3将本例中将本例中“在点在点(1，1)”改为改为“过点过点(2,0)”，则切线方程为，则切线方程为_答案：答案：x8y20方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟方法技巧方法技巧1对于于函函数数求求导，一一般般要要遵遵循循先先化化简，再再求求导的的基基本本原原则，求求导时，不不但但要要重重视求求导法法则的的应用用，而而且且要要特特别注注意意求求导法法则对求求导的的制制约作作用用，在在实施施化化简时，首首先先必必须注注意意变换的的等等价价性性，避避免免不必要的运算失不必要的运算失误(如例如例1)2在在给定定的的函函数数求求导数数时，要要特特别注注意意是是哪哪一一点点的的导数数，导数数的的定定义给出出了了求求导的的最最基基本本的的方方法法，如如果果用用求求导公公式式无无法法求求导时，就就要要考考虑用用定定义进行行求求导，求求函函数数的的导数数首首先先应弄弄清清函函数数的的结构构特特征征，然然后再后再选取求取求导公式及运算法公式及运算法则(如例如例3)3在在许多多问题中中牵涉到涉到导数的几何意数的几何意义，要了解，要了解导数概念的某些数概念的某些实际背景背景(如瞬如瞬时速度、加速度、光滑速度、加速度、光滑曲曲线的切的切线斜率等斜率等)，同，同时注意能注意能结合合导数的几何意数的几何意义及物理意及物理意义解决相关解决相关实际问题，在此，在此应树立立“导数的几何意数的几何意义优先先”的原的原则(如如课前前热身身1)失失误误防范防范1利利用用导数数定定义求求导数数时，要要注注意意到到x与与x的的区区别，这里的里的x是常量，是常量，x是是变量量2利利用用法法则求求导时要要特特别注注意意除除法法法法则中中分分子子的的符号，防止与乘法法符号，防止与乘法法则混淆混淆3求求曲曲线切切线时，要要分分清清点点P处的的切切线与与过P点点的的切切线的的区区别，前前者者只只有有一一条条，而而后后者者包包括括了了前前者者4曲曲线的切的切线与曲与曲线的交点个数不一定只有一个，的交点个数不一定只有一个，这和研究直和研究直线与二次曲与二次曲线相切相切时有差有差别考情分析考情分析考情分析考情分析考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考导数数的的概概念念及及运运算算是是每每年年高高考考必必考考的的知知识点点其其中中求求导公公式式和和法法则，以以及及导数数几几何何意意义是是高高考考热点点，题型型既既有有选择题、填填空空题，又又有有解解答答题，难度度中中等等，在在考考查导数数概概念念及及其其运运算算的的基基础上上，又又注注重重考考查解解析几何的相关知析几何的相关知识预测在在2012年的高考中以利用年的高考中以利用导数的几何意数的几何意义为背背景的景的导数与解析几何的数与解析几何的综合合题仍仍为主要考点，重点主要考点，重点考考查运算及数形运算及数形结合的能力合的能力 (2010年年高高考考课标全全国国卷卷)曲曲线yx32x1在点在点(1,0)处的切的切线方程方程为()Ayx1Byx1Cy2x2 Dy2x2【解析解析】y|x1(3x22)|x11，因此曲因此曲线在在(1,0)处的切的切线方程方程为yx1.【答案答案】A真题透析真题透析真题透析真题透析例例例例【名名师点点评】(1)利利用用导数数的的几几何何意意义求求曲曲线上上某某点点处切切线的的斜斜率率或或曲曲线上上某某点点的的坐坐标或或过某某点点的的切切线方方程程，这类问题的的关关键就就是是抓抓住住切切点点，就就可以通可以通过切点解决其相关的切点解决其相关的问题(2)利用利用导数的几何意数的几何意义等求函数在某一点的坐等求函数在某一点的坐标或某一点或某一点处的切的切线方程是高考常常涉及的方程是高考常常涉及的问题这类问题一般一般难度不大，只要抓住基度不大，只要抓住基础，灵活，灵活应用，准确用，准确计算，都能解决算，都能解决问题名师预测名师预测名师预测名师预测1若若曲曲线yx4的的一一条条切切线l与与直直线x4y80垂直，垂直，则l的方程的方程为()A4xy30 Bx4y50C4xy30 Dx4y30解解析析：选A.设与与直直线x4y80垂垂直直的的直直线l为4xym0，即即yx4在在某某一一点点的的导数数为4，而而y4x3，所所以以yx4在在点点(1,1)处的的导数数为4，此此点点的的切切线为4xy30，故，故选A.2设f0(x)cosx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2010(x)()Asinx BsinxCcosx Dcosx解解析析：选D.f1(x)(cosx)sinx，f2(x)(sinx)cosx，f3(x)(cosx)sinx，f4(x)(sinx)cosx，由由此此可可知知fn(x)的的值周周期期性性重重复复出出现，周期，周期为4，故，故f2010(x)f2(x)cosx.答案：答案：4答案：答案：3温馨提示：巩固复习效果，检验教学成温馨提示：巩固复习效果，检验教学成果。请进入果。请进入“ “课时闯关课时闯关 决战高考决战高考(14)”(14)”，指导学生每课一练，成功提升成绩指导学生每课一练，成功提升成绩. .本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束点此点此进入入课件目件目录按按ESC键退出全屏播放退出全屏播放谢谢使用使用