一、函数的单调性一、函数的单调性二、函数的极值二、函数的极值四、函数图形的描绘四、函数图形的描绘三、曲线的凹凸性与拐点三、曲线的凹凸性与拐点五、小结五、小结 思考题思考题2.4 2.4 导数的应用导数的应用一、函数的单调性定理定理1单调性的判别法单调性的判别法证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得例例1 1解解注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性2单调区间求法问题问题: :如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点区间的分界点方法方法: :例例2 2解解单调区间为单调区间为例例3 3解解单调区间为单调区间为例例4 4证证注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,二、函数的极值1函数极值的定义函数极值的定义定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.2函数极值的求法定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定义定义注意注意:例如例如,定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )(是极值点情形是极值点情形)求极值的步骤求极值的步骤: :(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值图形如下图形如下定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证同理可证同理可证(2).例例2 2解解图形如下图形如下注意注意: :例例3 3解解注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.三、曲线的凹凸性与拐点问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?1曲线的凹凸性曲线的凹凸性图形上任意弧图形上任意弧段位于所张弦段位于所张弦的上方的上方图形上任意弧图形上任意弧段位于所张弦段位于所张弦的下方的下方定义定义1凹凸性的判定定理定理1 1例例1 1解解注意到注意到,2、曲线的拐点及其求法 拐点的定义拐点的定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 拐点的求法拐点的求法证证方法方法1:1:例例2 2解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点方法方法2:2:例例3 3解解注意注意: :例例4 4解解四、函数图形的描绘四、函数图形的描绘如果函数如果函数 f (x) 的定义域上的某个小区间中的定义域上的某个小区间中（1）单调性已知；）单调性已知；（2）凹凸性已知；）凹凸性已知；（3）区间端点的位置已知或变化趋势已知；）区间端点的位置已知或变化趋势已知；那么可以很容易地画出函数在这个区间内的图形那么可以很容易地画出函数在这个区间内的图形1渐近线定义定义: :(1) (1) 铅直渐近线铅直渐近线( vertical asymptotes )例如例如有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :(2) (2) 水平渐近线水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :(3) (3) 斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法:注意注意:例例1 1解解2函数图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势近线以及其他变化趋势;第五步第五步3函数作图举例例例2 2解解非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点作图作图例例3 3解解偶函数偶函数, 图形关于图形关于y轴对称轴对称.拐点拐点极大值极大值列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点例例4 4解解无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点极大值极大值极小值极小值五、小结 思考题 1.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用，定理中的区间换成其它有限或无限区间，应用，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式程实根的个数和证明不等式. 驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. . 函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件) 2. 极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极大值可能小于极小值极小值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值. 3. 曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性；凹凸性的凹凸性；凹凸性的判定判定. 改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;拐点的求法拐点的求法. 4. 函数图形的描绘综合运用函数性态的研函数图形的描绘综合运用函数性态的研究究, 是导数应用的综合考察是导数应用的综合考察.最最大大值值最最小小值值极极大大值值极极小小值值拐拐点点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减思考题思考题思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例但但当当 时，时，当当 时，时，注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内， 都不单调递增都不单调递增思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？思考题解答思考题解答不正确不正确例例在在1和和1之间振荡之间振荡故命题不成立故命题不成立思考题思考题 在地面上建有一座圆柱形水塔，水塔内部的直径为d, 并且在地面处开了一个高为H的小门. 现在要对水塔进行维修施工，施工方案要求把一根长度为l (ld)的水管运到水塔内部. 请问水塔的门多高时，才有可能成功地把水管搬进水塔内？水管运进水塔时, 一端在地面上滑动, 另一端在水塔壁上垂直滑动. 设水管运动过程中, 在入门处的高度为h, 水管与地面的夹角为 根据题意可知：xyhdlO现在计算h的极大值.解 建立如右图示坐标系.思考题思考题 某杂技团刻意求新, 在某海滨城市演出时, 利用当地靠海的条件, 设计了这样一个节目：在离开海边9米的沙滩上, 建一10米高台, 高台下5米处置一极富弹性的斜面(用弹簧编织而成), 斜面与水平面成 角. 然后让演员从高台团身跳下, 与斜面碰撞(假定为弹性碰撞)后将其弹到海里. 不知这个方案是否可行，请鉴定.分析：如右图示, 演员的表演分三个阶段完成：自由落体, 碰撞, 平抛. 判断该方案是否可行, 就是看经过这样的运动之后能否平安地落入海中. 这只需计算平抛阶段的水平距离是否大于9米即可. 记高台、高台距斜面的高度分别为H和h, 显然, s是h的函数, 问题转化为求s(h)的极大值.0 00 0h0 0Hs演员碰到斜面时的速度可计算得 ,由于假定是弹性碰撞，因而他水平飞出的速度, 演员从(H-h)处自由下落需要的时间为故演员水平飞出的距离为即把斜面放在全高的一半处, 就可得到最大的水平距离. 即飞出的距离可达10米, 而高台离海边仅9米, 故方案是可行的.思考题思考题思考题解答思考题解答例例思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题( (一一) )练习题练习题( (一一) )答案答案练练 习习 题题( (二二) )练习题练习题( (二二) )答案答案练练 习习 题题( ( 三三) )练习题练习题(三三)答案答案第五题图第五题图练练 习习 题题（四（四) )1图图2图图二、二、练习题练习题（四（四) )答案答案3图图三、三、练习题练习题（四（四) )答案答案