1 初中数学竞赛辅导讲义-解直角三角形 利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下两方面的应用： 1为线段、角的计算提供新的途径 解直角三角形的基础是三角函数的概念， 三角函数使直角三角形的边与角得以转化， 突破纯粹几何关系的局限 2解实际问题 测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题，许多问题可转化为解直角三角形获解，解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上， 准确把实际问题抽象为几何图形， 进而转化为解直角三角形 【例题求解】 【例 1】 如图，已知电线杆 AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面BC 上，如果 CD 与地面成 45，A60，CD4m，BC(2264)m，则电线杆 AB的长为 思路点拨 延长 AD 交 BC 于 E，作 DFBC 于 F，为解直角三角形创造条件 【例 2】 如图，在四边形 ABCD 中，AB=24，BC-1，CD=3，B=135，C90，则D 等于( ) A60 B675 C75 D无法确定 思路点拨 通过对内分割或向外补形，构造直角三角形 注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除 在没有直角的条件下， 常通过作垂线构造直角三角形； 在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解 【例 3】 如图，在ABC 中，=90，BAC=30，BC=l，D 为 BC 边上一点，tan 2 ADC 是方程2)1(5)1( 322xxxx的一个较大的根?求 CD 的长 思路点拨 解方程求出 tanADC 的值， 解 RtABC 求出 AC 值， 为解 RtADC 创造条件 【例 4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形 ABCD，AB=3 米，BC=05 米 ，车厢底部距离地面 12 米，卸货时，车厢倾斜的角度=60问此时车厢的最高点 A 距离地面多少米?(精确到 1 米) 思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形， 怎样作辅助线构造基本图形， 展开空间想象，就能得到不同的解题寻路 【例 5】 如图，甲楼楼高 16 米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 30，此时，求： (1)如果两楼相距 20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高? (2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米? 思路点拨 (1)设甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处， 则图中 CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；(2)设点 A 的影子落在地面上某一点 C，求 BC 即可 注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等 若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力 3 学历训练 1如图，在ABC 中，A=30，tanB=31，BC=10，则 AB 的长为 2如图，在矩形 ABCD 中E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，若 tanAEH =34，四边形 EFGH 的周长为 40cm，则矩形 ABCD 的面积为 3如图，旗杆 AB，在 C 处测得旗杆顶 A 的仰角为 30，向旗杆前北进 10m，达到 D，在D 处测得 A 的仰角为 45，则旗杆的高为 4上午 9 时，一条船从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度向正东方向航行，9 时 30 分到达 B 处，从 A、B 两处分别测得小岛 M 在北偏东 45和北偏东 15方向，那么 B 处船与小岛 M 的距离为( ) A20 海里 B20 海里 C315海里 D320 5 已知a、 b、 c分别为ABC中A、 B、 C的对边， 若关于x的方程02)(2bcaxxcb 有两个相等的实根，且 sinBcosAcosBsinA0，则ABC 的形状为( ) A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 6如图，在四边形 ABCD 中，A135，B=D=90，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是( ) A24 B34 C 4 D6 7如图，在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，CD=1，已知 AD、BD 的长是关于x的方程02qpxx的两根，且 tanAtanB=2，求p、q的值 4 8如图，某电信部门计划修建一条连结 B、C 两地的电缆，测量人员在山脚 A 点测得 B、C 两地的仰角分别为 30、45，在 B 地测得 C 地的仰角为 60已知 C 地比 A 地高 200米，则电缆 BC 至少长多少米?(精确到 0.1 米) 9如图，在等腰 RtABC 中，C=90，CBD30，则DCAD= 10 如图， 正方形 ABCD 中， N 是 DC 的中点 M 是 AD 上异于 D 的点， 且NMB=MBC，则 tanABM 11在ABC 中，AB=26 ，BC=2，ABC 的面积为 l，若B 是锐角，则C 的度数是 12 已知等腰三角形的三边长为 a、 b、 c， 且ca ， 若关于x的一元二次方程022cbxx的两根之差为2，则等腰三角形的一个底角是( ) A 15 B30 C45 D60 13如图，ABC 为等腰直角三角形，若 AD=31AC，CE=31BC，则1 和2 的大小关系是( ) A12 B12 C12 D无法确定 14如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 上一点，AEAF，点 E 在 CB 的延长线上，EF 交AB 于点 G (1)求证：DFFCBGEC； (2)当 tanDAF=31时，AEF 的面积为 10，问当 tanDAF=32时，AEF 的面积是多少? 5 15在一个三角形中，有一边边长为 16，这条边上的中线和高线长度分别为 10 和 9，求三角形中此边所对的角的正切值 16台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力据气象观测，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级，每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以15 千米时的速度沿北偏东 30方向往 C 处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响 (1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由 (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长? (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级? 17如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物 ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带该建筑物顶端宽度 AD 和高度 DC 都可直接测得，从 A、D、C 三点可看到塔顶端 H可供使用的测量工具有皮尺、测角器 (1)请你根据现有条件， 充分利用矩形建筑物， 设计一个测量塔顶端到地面高度 HG 的方案 具体要求如下： 测量数据尽可能少； 在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测 A、D 间距离，用 m 表示；如果测 D、C 间距离，用 n 表示；如果测角，用、等表示测角器高度不计) (2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度 HG(用字母表示) 6 参考答案 7