第三章第三章 内压薄壁容器的应力分析内压薄壁容器的应力分析1薄壁容器薄壁容器容器的厚度与其最大截面圆的容器的厚度与其最大截面圆的内径之内径之比小于比小于0.10.1的容器称为薄壁容器。的容器称为薄壁容器。（超出这一范围的称为厚壁容器）（超出这一范围的称为厚壁容器）第一节 回转壳体的应力分析回转壳体的应力分析薄膜应力理论薄膜应力理论应力分析是强度设计中首先要解决的问题应力分析是强度设计中首先要解决的问题2结论结论在任何一个压力容器中，总在任何一个压力容器中，总存在着两类不同性质的应力存在着两类不同性质的应力1.内压薄壁容器的结构与受力：内压薄壁容器的结构与受力：2.内压薄壁容器的变形：内压薄壁容器的变形：3.内压薄壁容器的内力内压薄壁容器的内力：一、薄膜容器及其应力特点一、薄膜容器及其应力特点无力矩无力矩理论求解理论求解薄膜应力薄膜应力边缘应力边缘应力有力矩有力矩理论求解理论求解图图3-1内压薄膜容器内压薄膜容器3环环向向应应力力或或周周向向应应力力，用用 表表示示，单单位位MPa，方向为垂直于纵向截面；方向为垂直于纵向截面；图图3-2内压薄膜圆筒壁内的两向应力内压薄膜圆筒壁内的两向应力轴轴向向应应力力或或经经向向应应力力，用用 表表示示，单单位位MPa，方方向为垂直于横向截面；向为垂直于横向截面；由于厚度由于厚度 很小，认为很小，认为 、 都是沿壁厚均匀分布的，都是沿壁厚均匀分布的，并把它们称为薄膜应力。并把它们称为薄膜应力。4回转壳体回转壳体由回转曲面作中间面形成的壳体。由回转曲面作中间面形成的壳体。回转曲面回转曲面由平面直线或平面曲线绕其同平面内由平面直线或平面曲线绕其同平面内的回转轴回转一周所形成的曲面。的回转轴回转一周所形成的曲面。中中间面间面平分壳体厚度的曲面称为壳体的中间平分壳体厚度的曲面称为壳体的中间面。中间面与壳体内外表面等距离，面。中间面与壳体内外表面等距离，它代表了壳体的几何特性。它代表了壳体的几何特性。 二、基本概念与基本假设二、基本概念与基本假设1、回转壳体中的基本的几何概念、回转壳体中的基本的几何概念5轴对称问题轴对称问题几何形状几何形状所受外力所受外力约束条件约束条件均对称于回转轴均对称于回转轴化工用压力容器通常都化工用压力容器通常都属于轴对称问题属于轴对称问题本章研究的是满足轴对称条件的薄壁壳体本章研究的是满足轴对称条件的薄壁壳体6母线母线形成回转壳体中间面的形成回转壳体中间面的那条直线或平面曲线。那条直线或平面曲线。如图所示的回转壳体即如图所示的回转壳体即由平面曲线由平面曲线ABAB绕绕OAOA轴旋轴旋转一周形成，平面曲线转一周形成，平面曲线ABAB为该回转体的母线。为该回转体的母线。注意：母线形状不同或注意：母线形状不同或与回转轴的相对位置不与回转轴的相对位置不同时，所形成的回转壳同时，所形成的回转壳体形状不同。体形状不同。图图3-3 回转壳体的几何特性回转壳体的几何特性7经线经线通过回转轴的平面与中间通过回转轴的平面与中间面的交线，如面的交线，如ABAB、ABAB。经线与母线形状完全相同经线与母线形状完全相同法线法线过中间面上的点过中间面上的点M M且垂直且垂直于中间面的直线于中间面的直线n n称为中称为中间面在该点的法线。间面在该点的法线。（法线的延长线必与回转（法线的延长线必与回转轴相交）轴相交）8纬线纬线以法线以法线NK为母线绕回转为母线绕回转轴轴OA回转一周所形成的回转一周所形成的园锥法截面与中间面的园锥法截面与中间面的交线交线CND圆圆K平行圆：垂直于回转轴平行圆：垂直于回转轴的平面与中间面的交线的平面与中间面的交线称平行圆。显然，平行称平行圆。显然，平行圆即纬线。圆即纬线。图图3-3 回转壳体的几何特性回转壳体的几何特性9第一曲率半径第一曲率半径R1第二曲率半径第二曲率半径R2中间面上任一点中间面上任一点M M 处经线的曲率处经线的曲率半径为该点的半径为该点的“第一曲率半径第一曲率半径” ” 通过经线上一点通过经线上一点M 的法线作垂直于经线的平面与中的法线作垂直于经线的平面与中间面相割形成的曲线间面相割形成的曲线MEF，此曲线在此曲线在M 点处的曲率点处的曲率半径称为该点的第二曲率半径半径称为该点的第二曲率半径R2 ，第二曲率半径的第二曲率半径的中心落在回转轴上，其长度等于法线段中心落在回转轴上，其长度等于法线段MK2 。10曲率及其计算公式曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为对应切线定义弧段 上的平均曲率点 M 处的曲率注意注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !转角为11例例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示 ,12故曲率计算公式为又曲率曲率K 的计算公式的计算公式二阶可导,设曲线弧则由13曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线把以 D 为中心, 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 , 叫做曲率半径,D 叫做曲率中心.M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使14小位移假设小位移假设直法线假设直法线假设不挤压假设不挤压假设壳体受力后，壳体中各点的位移远壳体受力后，壳体中各点的位移远小于壁厚小于壁厚 ，利用变形前尺寸代替利用变形前尺寸代替变形后尺寸变形后尺寸壳体在变形前垂直于中间面的直线壳体在变形前垂直于中间面的直线段，在变形后仍保持为直线段，并段，在变形后仍保持为直线段，并且垂直于变形后的中间面。且垂直于变形后的中间面。壳体各层纤维变形前后均互不挤压壳体各层纤维变形前后均互不挤压 假定材料具有连续性、均匀性和假定材料具有连续性、均匀性和各向同性，即壳体是完全弹性的各向同性，即壳体是完全弹性的2、无力矩理论基本假设、无力矩理论基本假设15 经向应力，经向应力，MPa p p 工作压力，工作压力，MPa R R2 2 第二曲率半径，第二曲率半径，mm 壁厚，壁厚，mm用假想截面将壳体沿经线的法线方向切开，即平行圆直径用假想截面将壳体沿经线的法线方向切开，即平行圆直径D D 处有垂直于经线的处有垂直于经线的法向圆锥面法向圆锥面截开，取下部作脱离体，建截开，取下部作脱离体，建立静力平衡方程式。立静力平衡方程式。思考：为什么不能用横截面？思考：为什么不能用横截面？三、经向应力计算公式三、经向应力计算公式区域平衡方程式区域平衡方程式1 1、截面法、截面法16Z轴上的合力为轴上的合力为Pz作用在截面上应力的合力作用在截面上应力的合力在在Z轴上的投影为轴上的投影为Nz在在Z 方向的平衡方程方向的平衡方程2、回转壳体的经向应力分析回转壳体的经向应力分析图图3-5 回转壳体上的径向应力分析回转壳体上的径向应力分析17截面截面截面截面1 1截面截面截面截面2 2截面截面截面截面3 3壳体的内外表面壳体的内外表面两个相邻的，通过壳两个相邻的，通过壳体轴线的体轴线的 经线平面经线平面两个相邻的，与壳体两个相邻的，与壳体正交的园锥法截面正交的园锥法截面 经向应力经向应力,MPa 环向应力，环向应力，MPa p 工作压力工作压力.MPa R1 第一曲率半径，第一曲率半径，mm R2 第二曲率半径第二曲率半径,mm 壁厚，壁厚，mm四、环向应力计算公式四、环向应力计算公式微体平衡方程式微体平衡方程式图图3-6 确定环向应力微元体的取法确定环向应力微元体的取法1、截取微元体、截取微元体18微元体微元体abcd 的受力的受力上下面：上下面： 内表面：内表面：p 环向截面：环向截面：微元体受力放大图微元体受力放大图图图3-7 微小单元体的应力及几何参数微小单元体的应力及几何参数19内压力内压力p在微体在微体abcd上所产生的外力上所产生的外力的合力在法线的合力在法线n上的投影为上的投影为Pn 在在bc与与ad截面上经向应力截面上经向应力 的合力的合力在法线在法线n上的投影为上的投影为Nmn在在ab与与cd截截面面上上环环向向应应力力 的的合合力力在法线在法线n 上的投影为上的投影为2、回转壳体的经向环向应力分析、回转壳体的经向环向应力分析图图3-8 回转壳体的环向应力分析回转壳体的环向应力分析20根据法线根据法线n n方向上力的平衡条方向上力的平衡条件，得到件，得到 = 0 即即微元体的夹角微元体的夹角 和和 很小，可取很小，可取 （式1）式式1 1各项均除以各项均除以 整理得整理得21回转壳体曲面在几何上是轴对称回转壳体曲面在几何上是轴对称, ,壳体厚度无突变；曲率壳体厚度无突变；曲率半径是连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能半径是连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能（主要是（主要是E E和和）应当是相同的应当是相同的载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的壳体边界的固定形式应该是自由支承的壳体边界的固定形式应该是自由支承的壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界上无横剪力和弯矩上无横剪力和弯矩/Di0.1无力矩理论是在旋转薄壳的受力分析中忽略了弯矩无力矩理论是在旋转薄壳的受力分析中忽略了弯矩的作用。此时应力状态和承受内压的薄膜相似，又的作用。此时应力状态和承受内压的薄膜相似，又称薄膜理论。称薄膜理论。五、薄膜理论的适用条件五、薄膜理论的适用条件22区域平衡方程式区域平衡方程式微体平衡方程式微体平衡方程式第二节第二节 薄膜理论的应用薄膜理论的应用23一、受气体内压的圆筒形壳体一、受气体内压的圆筒形壳体图图3-9 受气体内压的圆筒形壳体受气体内压的圆筒形壳体24讨论讨论1：薄壁圆筒上开孔的有利形状：薄壁圆筒上开孔的有利形状 环向应力是经向应力环向应力是经向应力的的2 2倍，所以环向承受应倍，所以环向承受应力更大，环向上就要少削力更大，环向上就要少削弱面积，故开设椭圆孔时，弱面积，故开设椭圆孔时，椭圆孔之短轴平行于筒体椭圆孔之短轴平行于筒体轴线，见图轴线，见图图图3-10 薄壁圆筒上开孔薄壁圆筒上开孔讨论讨论2：介质与压力一定，壁厚越大，是否应力就越小：介质与压力一定，壁厚越大，是否应力就越小25二、受气体内压的球形壳体二、受气体内压的球形壳体讨论：对相同的内压，球壳应力比同直径、讨论：对相同的内压，球壳应力比同直径、 同同厚度的圆筒壳的应力有何不同呢？厚度的圆筒壳的应力有何不同呢？结论：对相同的内压，球壳的环向应力要比同结论：对相同的内压，球壳的环向应力要比同直径、直径、 同厚度的圆筒壳的环向应力小一半，这同厚度的圆筒壳的环向应力小一半，这是球壳显著的优点。是球壳显著的优点。 26圆锥形壳半锥角为圆锥形壳半锥角为 ，A A点处半点处半径径r r，厚度为厚度为，则在，则在A A点处：点处：三、受气体内压的锥形壳体三、受气体内压的锥形壳体图图3-13 锥壳的应力分析锥壳的应力分析27在锥形壳体大端在锥形壳体大端r r= =R R时，应力最大，在锥顶处，应力为零。因时，应力最大，在锥顶处，应力为零。因此，一般在锥顶开孔。此，一般在锥顶开孔。 锥形壳体环向应力是经向锥形壳体环向应力是经向应力两倍，随半锥角应力两倍，随半锥角a a的增的增大而增大大而增大角要选择合适，不宜太大角要选择合适，不宜太大锥顶锥顶锥底各点应力锥底各点应力图图3-14 锥形封头的应力分布锥形封头的应力分布28椭圆壳经线为一椭椭圆壳经线为一椭圆，圆，a a、b b分别为椭分别为椭圆的长短轴半径，圆的长短轴半径，其曲线方程其曲线方程四、受气体内压的椭球壳四、受气体内压的椭球壳1、第一曲率半径、第一曲率半径R129如图，自任意点如图，自任意点A（x,y）作经线的垂线，交回转轴作经线的垂线，交回转轴于于O点，则点，则OA即为即为R2 ，根，根据几何关系，可得据几何关系，可得2、第二曲率半径第二曲率半径R2图图3-11 椭球壳的应力分析椭球壳的应力分析30把把R1和和R2的的表表达达式式代代入入微微体体平平衡衡方方程程及及区区域域平平衡衡方方程得：程得：a,b分别为椭球壳的长、短半径，分别为椭球壳的长、短半径，mm ; x 椭球壳上任意点距椭球壳中心轴的距离椭球壳上任意点距椭球壳中心轴的距离mm 其它符号意义与单位同前。其它符号意义与单位同前。3、应力计算公式、应力计算公式31由由 和和 的公式可知：的公式可知：在在x=0处处在在x=a处处4、椭圆形封头的应力分布、椭圆形封头的应力分布(1)(1)在椭圆形封头的中心在椭圆形封头的中心(x=0(x=0处处),),经向应力与环向应力相等。经向应力与环向应力相等。(2)(2)经向应力经向应力恒为正值，是拉应力。恒为正值，是拉应力。(3)(3)周向应力最大值在周向应力最大值在x=0x=0处，最小值在处，最小值在x=ax=a处。处。32顶点应力最大，经向应力与环向应力是相等的拉应力。顶点应力最大，经向应力与环向应力是相等的拉应力。顶点的经向应力比边缘处的经向应力大一倍。顶点的经向应力比边缘处的经向应力大一倍。顶点处的环向应力和边缘处相等但符号相反。顶点处的环向应力和边缘处相等但符号相反。应力值连续变化。应力值连续变化。标准椭圆形封头标准椭圆形封头a/b=2在在x=0处处在在x=a处处图图3-12 椭圆形封头的应力分布椭圆形封头的应力分布33碟形壳体的应力分布碟形壳体的应力分布1碟碟形壳体的组成形壳体的组成五、受气体内压的碟形壳体五、受气体内压的碟形壳体图图3-15 碟形壳体的应力分析碟形壳体的应力分析34【例例3-13-1】有一外径为219的氧气瓶，最小壁厚为=6.5mm,材质为40Mn2A,工作压力为15MPa,试求氧气瓶筒壁内的应力。解：解：氧气瓶筒身平均直径：氧气瓶筒身平均直径：mm经向应力：经向应力：MPa环向应力：环向应力：MPa35【例例3-3-2 2】有圆筒形容器，两端为椭圆形封头，已知圆筒平均直径D=2020mm,壁 厚 =20mm,工 作 压 力p=2MPa。 (1)试求筒身上的经向应力 和环向应力 (2)如果椭圆形封头的a/b分别为2， 和3，封头厚度为20mm，分别确定封头上最大经向应力与环向应力及最大应力所在的位置。图图3-16 例例3-2附图（附图（1）36解：解：求筒身应力求筒身应力经向应力：经向应力：环向应力：环向应力：2 2求封头上最大应力求封头上最大应力a/b=2a/b=2时，时，a=1010mm,b=505mma=1010mm,b=505mm在在x=0处处在在x=a处处最大应力有两处：一处在椭圆形封头的顶点，即最大应力有两处：一处在椭圆形封头的顶点，即x=0x=0处；处；一处在椭圆形封头的底边，即一处在椭圆形封头的底边，即x=ax=a处。如图处。如图3-17a3-17a所示。所示。37a/b= a/b= 时，时，a=1010mm,b=714mma=1010mm,b=714mm在在x=0处处在在x=a处处最大应力在最大应力在x=0x=0处，如图处，如图3-17b3-17b所示。所示。38a/b= 3 a/b= 3 时，时，a=1010mm,b=337mma=1010mm,b=337mm在在x=0处处在在x=a处处最大应力在最大应力在x=ax=a处，如图处，如图3-17c3-17c所示。所示。39图图3-17 例例3-2附图（附图（2）40边缘应力的概念边缘应力的概念边缘应力的特点边缘应力的特点对边缘应力的处理对边缘应力的处理局部性局部性自限性自限性 第三节内压圆筒边缘应力第三节内压圆筒边缘应力41作作 业业第二大题第二大题第三大题第三大题B组组第五大题第第五大题第3小题小题42