2.2 收敛数列的性质1、唯一性、唯一性2、有界性有界性3、保号性、保号性4、保不等式性、保不等式性5、四则运算、四则运算6、迫敛性、迫敛性7、子数列的收敛性、子数列的收敛性收敛数列的性质1、唯一性、唯一性定理定理2.2 2.2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.收敛数列的性质2、有界性有界性例如例如,有界有界无界无界收敛数列的性质定理定理2.3 2.3 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .收敛数列的性质例例1证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.收敛数列的性质3保序性保序性收敛数列的性质收敛数列的性质从而 收敛数列的性质定理2.6 (收敛数列的保号性) 如果数列xn收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0)4 保号性保号性收敛数列的性质推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0) 且数列xn收敛于a 那么a0(或a0) 这说明若数列 收敛且极限不为零，则当n充分大时， 与0的距离不能任意小.这一事实在后面讨论极限的四则运算时会用到.收敛数列的性质证证5 迫敛性迫敛性( 双逼原理双逼原理 )收敛数列的性质上两式同时成立上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限收敛数列的性质例例1 1解解由夹逼定理得由夹逼定理得收敛数列的性质6 绝对值收收敛性性: ( 注意反之不成立注意反之不成立 ). 推推论 设数列数列 和和 收收敛, 则 收敛数列的性质7数列极限的四则运算法则定理2.8 设有数列xn和yn 如果那么收敛数列的性质例例4 求求例例4 求求解：解： 分 a=1， |a|1 三种情况 解解：（分子有理化）例例3 求求收敛数列的性质8、子数列的收敛性、子数列的收敛性注意：注意：例如，例如，收敛数列的性质定理定理7 7 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同同证证证毕证毕收敛数列的性质例例4对于数列对于数列xn 证证此时有此时有收敛数列的性质此时有此时有总之：总之：恒有恒有收敛数列的性质Th ( 数列收数列收敛充要条件充要条件 ) 收收敛 Th ( 数列收数列收敛充要条件充要条件 ) 收收敛 子列子列 和和 收收敛于同一极限于同一极限. 的任何子列收敛的任何子列收敛 于同一极限于同一极限.Th ( 数列收数列收敛充要条件充要条件 ) 收收敛 子列子列 、都收都收敛. 和和 收敛数列的性质思考题思考题证明证明要使要使只要使只要使从而由从而由得得取取当当 时，必有时，必有 成立成立收敛数列的性质思考题解答思考题解答（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的实际上就是不等式实际上就是不等式即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大” 的值的值收敛数列的性质从而从而 时，时，仅有仅有 成立，成立，但不是但不是 的充分条件的充分条件反而缩小为反而缩小为收敛数列的性质v 小结 (1), 唯一性; (2), 有界性; (3), 保号性; v 作业 P33: 1, 2, 3, 4, 6. (4), 四则运算法则; (5), 不等式性; (6), 收敛数列与其子列的关系. 收敛数列的性质