第二章 平面介质光波导理论2.1 电磁场基本方程电磁场基本方程 平面电磁波平面电磁波2.1.1 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 物质方程物质方程 边界条件边界条件根据经典理论，电磁场的基本规律可以用麦克斯韦方程表述，为：根据经典理论，电磁场的基本规律可以用麦克斯韦方程表述，为：磁感应强度磁感应强度磁感应强度磁感应强度 电位移矢量电位移矢量电位移矢量电位移矢量 电场强度电场强度电场强度电场强度 磁场强度磁场强度磁场强度磁场强度 电流密度电流密度电流密度电流密度 自由电荷密度自由电荷密度自由电荷密度自由电荷密度 要要要要能能能能从从从从给给给给定定定定的的的的电电电电流流流流和和和和电电电电荷荷荷荷分分分分布布布布唯唯唯唯一一一一地地地地确确确确定定定定各各各各个个个个场场场场矢矢矢矢量量量量，还还还还必必必必须须须须对对对对麦麦麦麦克克克克斯斯斯斯韦韦韦韦方方方方程程程程组组组组补补补补充充充充一一一一些些些些描描描描述述述述物物物物质质质质在在在在电电电电磁磁磁磁场场场场作作作作用用用用下下下下的的的的特特特特性的经验关系式，它们称为物质方程。性的经验关系式，它们称为物质方程。性的经验关系式，它们称为物质方程。性的经验关系式，它们称为物质方程。介电常数介电常数 相对介电常数相对介电常数 真空介电常数真空介电常数 介质磁导率介质磁导率 介质相对磁导率介质相对磁导率 真空磁导率真空磁导率 介质电导率介质电导率 对于各向同性介质来说，相关的物质方程为对于各向同性介质来说，相关的物质方程为对于各向同性介质来说，相关的物质方程为对于各向同性介质来说，相关的物质方程为对于各向异性介质，对于各向异性介质， 是二阶张量。是二阶张量。 上式成立的条件是：上式成立的条件是：上式成立的条件是：上式成立的条件是：（1 1）介质是线性介质）介质是线性介质）介质是线性介质）介质是线性介质 （2 2）介电常数与磁导率与电磁场的变化频率无关）介电常数与磁导率与电磁场的变化频率无关）介电常数与磁导率与电磁场的变化频率无关）介电常数与磁导率与电磁场的变化频率无关 由麦克斯韦方程组可以导出在两个介质分界面上满足的边界由麦克斯韦方程组可以导出在两个介质分界面上满足的边界由麦克斯韦方程组可以导出在两个介质分界面上满足的边界由麦克斯韦方程组可以导出在两个介质分界面上满足的边界条件，它们是：条件，它们是：条件，它们是：条件，它们是：1.电位移法向分量的关系电位移法向分量的关系界面法线方向的单位矢量界面法线方向的单位矢量 界面处的面电荷密度界面处的面电荷密度 若界面处没有面电荷，则若界面处没有面电荷，则若界面处没有面电荷，则若界面处没有面电荷，则（电位移矢量的法向分量连续！）（电位移矢量的法向分量连续！） 2. 磁感应强度法向分量的关系磁感应强度法向分量的关系3. 电场强度切向分量的关系电场强度切向分量的关系4. 磁场强度切向分量的关系磁场强度切向分量的关系表面电流面密度表面电流面密度 若界面没有面电流，则若界面没有面电流，则 2.1.2 电磁场的波方程电磁场的波方程考虑场中没有自由电荷及电流考虑场中没有自由电荷及电流 ，且介质为非磁性介质的情况。，且介质为非磁性介质的情况。对麦克斯韦方程的式对麦克斯韦方程的式(1)取旋度，并将式取旋度，并将式(2)代入，可得代入，可得利用利用 可得可得 利用利用利用利用 同样，将麦克斯韦方程同样，将麦克斯韦方程同样，将麦克斯韦方程同样，将麦克斯韦方程(2)(2)取旋度，将式取旋度，将式取旋度，将式取旋度，将式(1)(1)代入，并利用代入，并利用代入，并利用代入，并利用 下面对以上两个波动方程进行讨论下面对以上两个波动方程进行讨论若若 随空随空间间的的变变化是化是缓缓慢的，慢的，则则 可把左边第三项视作微扰，在计算时可用微扰法处理；可把左边第三项视作微扰，在计算时可用微扰法处理；在零级近似下，可略去不计。于是，波动方程可写为：在零级近似下，可略去不计。于是，波动方程可写为： 说明：说明：说明：说明：在分析光波导中光波的传播性质时，既会遇到均匀介在分析光波导中光波的传播性质时，既会遇到均匀介在分析光波导中光波的传播性质时，既会遇到均匀介在分析光波导中光波的传播性质时，既会遇到均匀介质，又会遇到非均匀介质，但光波导中介质的非均匀性通常质，又会遇到非均匀介质，但光波导中介质的非均匀性通常质，又会遇到非均匀介质，但光波导中介质的非均匀性通常质，又会遇到非均匀介质，但光波导中介质的非均匀性通常满足缓变条件。因此上面形式的波动方程是分析光波导中光满足缓变条件。因此上面形式的波动方程是分析光波导中光满足缓变条件。因此上面形式的波动方程是分析光波导中光满足缓变条件。因此上面形式的波动方程是分析光波导中光波传播的波传播的波传播的波传播的基本方程基本方程基本方程基本方程。与机械波的波动方程与机械波的波动方程与机械波的波动方程与机械波的波动方程相比较，可见在各向同性均匀非磁性介质中传播的电磁波的相比较，可见在各向同性均匀非磁性介质中传播的电磁波的相比较，可见在各向同性均匀非磁性介质中传播的电磁波的相比较，可见在各向同性均匀非磁性介质中传播的电磁波的 波速为波速为波速为波速为按照麦克斯韦所创立的光的电磁理论，这就是在介质中的光按照麦克斯韦所创立的光的电磁理论，这就是在介质中的光按照麦克斯韦所创立的光的电磁理论，这就是在介质中的光按照麦克斯韦所创立的光的电磁理论，这就是在介质中的光速。在真空中的光速为速。在真空中的光速为速。在真空中的光速为速。在真空中的光速为介质中的折射率为介质中的折射率为介质中的折射率为介质中的折射率为即即 于是对于各向同性非磁介质，波动方程可以写作于是对于各向同性非磁介质，波动方程可以写作于是对于各向同性非磁介质，波动方程可以写作于是对于各向同性非磁介质，波动方程可以写作2.1.3 时谐平面波时谐平面波 相速相速 群速群速谐谐谐谐波波波波有有有有特特特特殊殊殊殊的的的的重重重重要要要要意意意意义义义义，因因因因为为为为任任任任何何何何形形形形式式式式的的的的波波波波，都都都都可可可可以以以以由由由由傅傅傅傅立立立立叶叶叶叶分分分分析析析析展展展展开开开开为为为为无无无无数数数数谐谐谐谐波波波波的的的的叠叠叠叠加加加加。对对对对于于于于时时时时谐谐谐谐平平平平面面面面波波波波，可可可可表表表表示为示为示为示为光波用复数形式表示光波用复数形式表示光波用复数形式表示光波用复数形式表示其等相位面的方程为其等相位面的方程为其等相位面的方程为其等相位面的方程为当频率为当频率为当频率为当频率为 的单色平面波沿着矢量的单色平面波沿着矢量的单色平面波沿着矢量的单色平面波沿着矢量 的方向的方向的方向的方向传传传传播播播播时时时时，可表示，可表示，可表示，可表示为为为为波矢，亦称波数矢量波矢，亦称波数矢量波矢，亦称波数矢量波矢，亦称波数矢量 波传播方向上的单位矢量波传播方向上的单位矢量波传播方向上的单位矢量波传播方向上的单位矢量 传播常数传播常数传播常数传播常数 波阵面方程由下式给出波阵面方程由下式给出波阵面方程由下式给出波阵面方程由下式给出 波面沿波波面沿波波面沿波波面沿波传传传传播方向（即播方向（即播方向（即播方向（即 方向）移动的速度称为相速，用方向）移动的速度称为相速，用方向）移动的速度称为相速，用方向）移动的速度称为相速，用 表示。表示。表示。表示。取取取取 相速是单色波所特有的，单色波在时间和空间上都具有无限延续性。相速是单色波所特有的，单色波在时间和空间上都具有无限延续性。相速是单色波所特有的，单色波在时间和空间上都具有无限延续性。相速是单色波所特有的，单色波在时间和空间上都具有无限延续性。 实实实实际际际际上上上上，理理理理想想想想单单单单色色色色波波波波是是是是不不不不存存存存在在在在的的的的，即即即即使使使使激激激激光光光光，其其其其单单单单色色色色性性性性很很很很好好好好，也也也也只只只只是是是是准准准准单单单单色色色色光光光光，它它它它不不不不是是是是严严严严格格格格的的的的周周周周期期期期函函函函数数数数，振振振振幅幅幅幅或或或或频频频频率率率率的的的的相相相相位位位位被被被被包包包包络调制。络调制。络调制。络调制。 频频频频率率率率在在在在 左左左左右右右右的的的的很很很很窄窄窄窄范范范范围围围围的的的的单单单单色色色色平平平平面面面面波波波波的的的的叠叠叠叠加加加加，称称称称为为为为“准准准准单单单单色色色色波波波波”，也也也也就就就就是是是是通通通通常常常常所所所所说说说说的的的的波波波波群群群群或或或或波波波波包包包包。在在在在介介介介质质质质中中中中，由由由由于于于于不不不不同同同同频频频频率率率率的的的的单单单单色色色色波波波波相相相相速速速速不不不不同同同同，波波波波包包包包的的的的传传传传播播播播较较较较复复复复杂杂杂杂（在在在在传传传传播播播播过过过过程程程程中中中中会会会会变变变变形形形形），通通通通常常常常把把把把波波波波包包包包中中中中心心心心的传播速度叫做群速度，用的传播速度叫做群速度，用的传播速度叫做群速度，用的传播速度叫做群速度，用 表示。表示。表示。表示。 对于准单色波，对于准单色波，对于准单色波，对于准单色波， 如果介质的折射率与角频率无关（没有色散），则可得如果介质的折射率与角频率无关（没有色散），则可得如果介质的折射率与角频率无关（没有色散），则可得如果介质的折射率与角频率无关（没有色散），则可得 当有色散时，当有色散时，当有色散时，当有色散时， 相相相相速速速速是是是是单单单单色色色色波波波波特特特特有有有有的的的的速速速速度度度度，非非非非单单单单色色色色波波波波谈谈谈谈不不不不上上上上相相相相速速速速度度度度，因因因因为为为为它它它它在在在在时时时时间间间间和和和和空空空空间间间间上上上上都都都都是是是是有有有有限限限限的的的的。相相相相速速速速无无无无法法法法从从从从实实实实验验验验上上上上直直直直接接接接测测测测量量量量，因因因因此此此此它它它它缺缺缺缺乏乏乏乏实实实实际际际际的的的的物物物物理理理理意意意意义义义义，它它它它不不不不是是是是光光光光能能能能量量量量传传传传播播播播的的的的速速速速度。度。度。度。考考考考虑虑虑虑两个两个两个两个频频频频率相近的角率相近的角率相近的角率相近的角频频频频率各率各率各率各为为为为，假定它假定它假定它假定它们们们们都沿都沿都沿都沿z z方向方向方向方向传传传传播，振幅均播，振幅均播，振幅均播，振幅均为为为为A A，这这这这两列平面波叠加两列平面波叠加两列平面波叠加两列平面波叠加而成的波包的复数形式而成的波包的复数形式而成的波包的复数形式而成的波包的复数形式为为为为而波数各为而波数各为而波数各为而波数各为相叠加而成的波包，相叠加而成的波包，相叠加而成的波包，相叠加而成的波包，波振幅的极大值由波振幅的极大值由波振幅的极大值由波振幅的极大值由 给出！给出！给出！给出！举例：举例：举例：举例：波长略不相同的两个光波沿同一方向传输时干涉产生一个幅度以群速度运动的波包群速度：群速度：群速度：群速度：表征光信号包络的传输速度表征光信号包络的传输速度表征光信号包络的传输速度表征光信号包络的传输速度 k k曲线形状决定了群速度曲线形状决定了群速度曲线形状决定了群速度曲线形状决定了群速度 g g和相速度和相速度和相速度和相速度 p p一束被调制了的光波不是单色波，其中包含了若干频率分量，一束被调制了的光波不是单色波，其中包含了若干频率分量，一束被调制了的光波不是单色波，其中包含了若干频率分量，一束被调制了的光波不是单色波，其中包含了若干频率分量，不同的频率分量一般以不同的相速度沿光纤传输，因此，一不同的频率分量一般以不同的相速度沿光纤传输，因此，一不同的频率分量一般以不同的相速度沿光纤传输，因此，一不同的频率分量一般以不同的相速度沿光纤传输，因此，一般也积累产生不同的相位移。般也积累产生不同的相位移。般也积累产生不同的相位移。般也积累产生不同的相位移。kck2.1.4 光波在介质界面的反射和折射光波在介质界面的反射和折射讨论反射和折射问题的前提：讨论反射和折射问题的前提：讨论反射和折射问题的前提：讨论反射和折射问题的前提：(1)(1)只有在二种介质的折射率只有在二种介质的折射率只有在二种介质的折射率只有在二种介质的折射率n n不同时，才会发生反射和折射。不同时，才会发生反射和折射。不同时，才会发生反射和折射。不同时，才会发生反射和折射。 (2)(2)从从从从光光光光与与与与物物物物质质质质的的的的相相相相互互互互作作作作用用用用的的的的观观观观点点点点来来来来看看看看，应应应应该该该该认认认认为为为为反反反反射射射射光光光光和和和和折折折折射射射射光光光光的的的的产产产产生生生生都都都都是是是是由由由由于于于于两两两两介介介介质质质质交交交交界界界界面面面面内内内内一一一一层层层层的的的的原原原原子子子子和和和和分分分分子子子子对对对对入入入入射射射射光光光光的的的的相相相相干干干干散散散散射射射射，光光光光场场场场使使使使界界界界面面面面原原原原子子子子成成成成为为为为振振振振荡荡荡荡的的的的偶偶偶偶极极极极子子子子，辐辐辐辐射射射射的的的的次次次次波波波波在在在在第第第第一一一一介介介介质质质质中中中中组组组组成成成成了了了了反反反反射射射射波波波波，在在在在第第第第二二二二介介介介质质质质中中中中则则则则成成成成了了了了折射波。折射波。折射波。折射波。2.1.4.1 反射定律和折射定律反射定律和折射定律一、两点假设：一、两点假设：一、两点假设：一、两点假设：1. 1. 入射光是线偏振的单色平面波。入射光是线偏振的单色平面波。入射光是线偏振的单色平面波。入射光是线偏振的单色平面波。 2. 2. 反射波和折射波必定是线偏振的单色平面波。反射波和折射波必定是线偏振的单色平面波。反射波和折射波必定是线偏振的单色平面波。反射波和折射波必定是线偏振的单色平面波。二、反射定律和折射定律二、反射定律和折射定律二、反射定律和折射定律二、反射定律和折射定律第一条：入射光、反射光、折射光均在同一平面（入射面）内，第一条：入射光、反射光、折射光均在同一平面（入射面）内，第一条：入射光、反射光、折射光均在同一平面（入射面）内，第一条：入射光、反射光、折射光均在同一平面（入射面）内， 第二条：反射角第二条：反射角第二条：反射角第二条：反射角 = =入射角入射角入射角入射角第三条：第三条：第三条：第三条： 2.1.4.2 菲涅尔公式菲涅尔公式Beam geometryfor light with itselectric field per-pendicular to theplane of incidence(i.e., out of the page)xyz由由由由 的的的的连续连续连续连续性条件，可得性条件，可得性条件，可得性条件，可得1. TE1. TE波（垂直偏振的波（垂直偏振的波（垂直偏振的波（垂直偏振的E E波）波）波）波）一、菲涅尔公式一、菲涅尔公式一、菲涅尔公式一、菲涅尔公式可求得反射光、折射光的可求得反射光、折射光的可求得反射光、折射光的可求得反射光、折射光的S S分量（即垂直分量）和入射光的分量（即垂直分量）和入射光的分量（即垂直分量）和入射光的分量（即垂直分量）和入射光的S S分量间的关系：分量间的关系：分量间的关系：分量间的关系：2. TM2. TM波（平行偏振的波（平行偏振的波（平行偏振的波（平行偏振的E E波）波）波）波）Beam geometryfor light with itselectric fieldparallel to the plane of incidence(i.e., in the page)xyz由由由由 的的的的连续连续连续连续性条件，可得性条件，可得性条件，可得性条件，可得可求得反射光、折射光的可求得反射光、折射光的可求得反射光、折射光的可求得反射光、折射光的P P分量（即平行分量）和入射光的分量（即平行分量）和入射光的分量（即平行分量）和入射光的分量（即平行分量）和入射光的P P分量间的关系：分量间的关系：分量间的关系：分量间的关系： 二、外反射和内反射二、外反射和内反射 若若n1 n2，光光密密光光疏疏，叫叫内内反反射射，其其中中有有二二个个特特殊殊角角：一一个个布布儒儒斯斯特特角角 B；一一个个 C临临界界角角，它它是是 t = 90 时时对对应应的的入入射角，即射角，即 i= C时，时， t= 90 。由折射定律可得。由折射定律可得 2.1.4.3 全反射临界角全反射临界角 全反射时的相移全反射时的相移菲涅尔定律：菲涅尔定律：菲涅尔定律：菲涅尔定律： 利用折射定律：利用折射定律：利用折射定律：利用折射定律： 可得可得可得可得全内反射的临界角：全内反射的临界角：全内反射的临界角：全内反射的临界角：超超超超过过过过临临临临界界界界角角角角时时时时，全全全全然然然然没没没没有有有有透透透透射射射射光光光光存存存存在在在在，这这这这一一一一现现现现象象象象称称称称为为为为全全全全内内内内反反反反射射射射，简简简简称称称称全全全全反反反反射射射射。全全全全内内内内反反反反射射射射现现现现象象象象可可可可视视视视作作作作光光光光波导现象的物理基础。波导现象的物理基础。波导现象的物理基础。波导现象的物理基础。 发发发发生生生生全全全全反反反反射射射射时时时时，虽虽虽虽然然然然反反反反射射射射光光光光的的的的强强强强度度度度等等等等于于于于入入入入射射射射光光光光的的的的强强强强度度度度，但但但但振振振振动动动动的的的的相相相相位位位位则则则则发发发发生生生生变变变变化化化化，反反反反射射射射波波波波相相相相当当当当于于于于入入入入射射射射波波波波的的的的相相相相移移移移，用用用用表示，表示，称为半相移。称为半相移。n2/n12.1.4.4倏逝波（衰逝波）倏逝波（衰逝波）发生全反射时，光波场将透入到第二个介质很薄发生全反射时，光波场将透入到第二个介质很薄发生全反射时，光波场将透入到第二个介质很薄发生全反射时，光波场将透入到第二个介质很薄的一层内（约为光波波长），并沿着界面传播一的一层内（约为光波波长），并沿着界面传播一的一层内（约为光波波长），并沿着界面传播一的一层内（约为光波波长），并沿着界面传播一段距离，再返回第一个介质。这个透入到第二个段距离，再返回第一个介质。这个透入到第二个段距离，再返回第一个介质。这个透入到第二个段距离，再返回第一个介质。这个透入到第二个介质中表明层内的波将倏逝波（衰减波）。介质中表明层内的波将倏逝波（衰减波）。介质中表明层内的波将倏逝波（衰减波）。介质中表明层内的波将倏逝波（衰减波）。2.1.4.5 古斯汉欣古斯汉欣(Goss-Haenchen)位移位移古古古古斯斯斯斯和和和和汉汉汉汉欣欣欣欣在在在在19471947年年年年实实实实验验验验证证证证明明明明，发发发发生生生生全全全全反反反反射射射射时时时时，反反反反射射射射点点点点离离离离开开开开入入入入射射射射点点点点有有有有一一一一段段段段距距距距离离离离，称称称称为为为为纵纵纵纵向向向向位位位位移移移移， 相相相相应应应应于于于于反反反反射射射射线线线线发生横向平移发生横向平移发生横向平移发生横向平移 等效波导厚度：等效波导厚度：等效波导厚度：等效波导厚度：附附几个有用的公式几个有用的公式哈密顿算符：