第三章第三章第三章第三章3.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件相似矩阵与矩阵可对角化的条件相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件1 1第三章第三章第三章第三章 一、一、一、一、相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质1. Def.:1. Def.: 设设设设 A A, , B B 为为为为 n n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵, , 若存在若存在若存在若存在 n n 阶阶阶阶可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵 P P , , 使得使得使得使得 P P-1-1APAP = = B , B , 则称则称则称则称矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵 B B 相似相似相似相似,记作记作记作记作A A B B . .如如如如 设设易验证易验证易验证易验证注注注注2 2第三章第三章第三章第三章 一、一、一、一、相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质1. Def.:1. Def.: 设设设设 A A, , B B 为为为为 n n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵, , 若存在若存在若存在若存在 n n 阶阶阶阶可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵 P P , , 使得使得使得使得 P P-1-1APAP = = B , B , 则称则称则称则称矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵 B B 相似相似相似相似,记作记作记作记作A A B B . .(1)(1) 自反性自反性自反性自反性: : A A A A (2)(2) 对称性对称性对称性对称性: : 若若若若 A A B B , , 则则则则 B B A A2. 2. 相似的性质相似的性质相似的性质相似的性质1)1) 设设设设 A A，B B，C C 为为为为 n n 阶矩阵，则阶矩阵，则阶矩阵，则阶矩阵，则(3)(3) 传递性传递性传递性传递性: : 若若若若 A A B B , , B B C C , , 则则则则 A A C C 2)2) 设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵 A A B B ，则则则则 A A , , B B 具有相同的特征值具有相同的特征值具有相同的特征值具有相同的特征值. .3)3) 设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵 A A B B ，则则则则 A Amm B Bmm , , 其中其中其中其中 mm为正整数为正整数为正整数为正整数. . 3 3第三章第三章第三章第三章 一、一、一、一、相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质1. Def.:1. Def.: 设设设设 A A, , B B 为为为为 n n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵, , 若存在若存在若存在若存在 n n 阶阶阶阶可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵 P P , , 使得使得使得使得 P P-1-1APAP = = B , B , 则称则称则称则称矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵 B B 相似相似相似相似,记作记作记作记作A A B B . .2. 2. 相似的性质相似的性质相似的性质相似的性质2)2) 设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵 A A B B ，则则则则 A A , , B B 具有相同的特征值具有相同的特征值具有相同的特征值具有相同的特征值. .3)3) 设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵 A A B B ，则则则则 A Amm B Bmm , , 其中其中其中其中 mm为正整数为正整数为正整数为正整数. . 4)4) 相似矩阵的行列式相等相似矩阵的行列式相等相似矩阵的行列式相等相似矩阵的行列式相等. .5)5) 相似矩阵的秩相等相似矩阵的秩相等相似矩阵的秩相等相似矩阵的秩相等. .6)6) 相似矩阵或都可逆或都不可逆相似矩阵或都可逆或都不可逆相似矩阵或都可逆或都不可逆相似矩阵或都可逆或都不可逆. . 当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似. .4 4第三章第三章第三章第三章二、矩阵可对角化的条件二、矩阵可对角化的条件二、矩阵可对角化的条件二、矩阵可对角化的条件1.Def.:1.Def.: 若若若若 n n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵 A A 可以与一个可以与一个可以与一个可以与一个 n n 阶对角矩阵阶对角矩阵阶对角矩阵阶对角矩阵 相似相似相似相似， 则称则称则称则称 A A 可对角化可对角化可对角化可对角化， 称为称为称为称为 A A 的的的的相似标准形相似标准形相似标准形相似标准形. .2. Th.: 2. Th.: n n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵 A A 可对角化可对角化可对角化可对角化 A A 有有有有 n n 个线性无关的特征个线性无关的特征个线性无关的特征个线性无关的特征 向量向量向量向量. .推论推论推论推论: : 若若若若 n n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵 A A 有有有有 n n 个互异的特征值个互异的特征值个互异的特征值个互异的特征值, , 则则则则 A A 可对角化可对角化可对角化可对角化. .3.Th.:3.Th.: n n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵 A A 可对角化可对角化可对角化可对角化 对于对于对于对于 A A 的每一个的每一个的每一个的每一个 n ni i 重特征值重特征值重特征值重特征值 i i , , 特征矩特征矩特征矩特征矩阵阵阵阵 ( ( i i E E A A ) ) 的秩等于的秩等于的秩等于的秩等于 n n n ni i ; ; 对于对于对于对于 A A 的每一个的每一个的每一个的每一个 n ni i 重特征值重特征值重特征值重特征值 i i , , 齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组 ( ( i i E E A A ) ) X X = 0 = 0 的基础解系中恰有的基础解系中恰有的基础解系中恰有的基础解系中恰有 n ni i 个向量个向量个向量个向量. .4. 4. 判断矩阵判断矩阵判断矩阵判断矩阵 A A 是否可对角化是否可对角化是否可对角化是否可对角化, , 若能若能若能若能, , 试求可逆矩阵试求可逆矩阵试求可逆矩阵试求可逆矩阵 P, P, 使使使使 P P-1-1APAP = = 的方法的方法的方法的方法. . 5 5第三章第三章第三章第三章例例例例1 1 设有矩阵设有矩阵设有矩阵设有矩阵(1)(1) 问矩阵问矩阵问矩阵问矩阵 A A 是否可对角化是否可对角化是否可对角化是否可对角化, , 若能若能若能若能, , 试求可逆矩阵试求可逆矩阵试求可逆矩阵试求可逆矩阵 P , P , 使使使使 P P-1-1APAP = = ; ;(2)(2) 使使使使 P P-1-1APAP = = 成立的成立的成立的成立的 P P 、 是否唯一是否唯一是否唯一是否唯一, , 举例说明举例说明举例说明举例说明. .6 6第三章第三章第三章第三章例例例例2 2 判定下列矩阵是否相似于对角矩阵判定下列矩阵是否相似于对角矩阵判定下列矩阵是否相似于对角矩阵判定下列矩阵是否相似于对角矩阵, ,若相似若相似若相似若相似, , 则求则求则求则求出出出出 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵 P P , , 使使使使 P P-1-1APAP 是对角矩阵是对角矩阵是对角矩阵是对角矩阵, , 并求并求并求并求 A A5 5. .例例例例3 3 设设相似于对角矩阵相似于对角矩阵相似于对角矩阵相似于对角矩阵, , 求求求求 x x与与与与 y y 应满足的条件应满足的条件应满足的条件应满足的条件. .7 7第三章第三章第三章第三章例例例例4 4 设设设设 3 3 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵 A A 的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为对应的特征向量依次为对应的特征向量依次为对应的特征向量依次为对应的特征向量依次为 求求求求 A A 和和和和 A A100100 . .8 8第三章第三章第三章第三章相似与等价的关系相似与等价的关系相似与等价的关系相似与等价的关系若两个若两个若两个若两个矩阵相似，则它们一定等价矩阵相似，则它们一定等价矩阵相似，则它们一定等价矩阵相似，则它们一定等价; ;反之，两个等价的矩阵不一定相似反之，两个等价的矩阵不一定相似反之，两个等价的矩阵不一定相似反之，两个等价的矩阵不一定相似. .作业作业: 第第143页第页第4题之题之(3); 第第7题题; 第第8题题9 9第三章第三章第三章第三章2. 2. 若若若若3 3 4 4矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 的秩为的秩为的秩为的秩为2, 2, 则则则则( )( )(A)(A) A A中必有一个零行中必有一个零行中必有一个零行中必有一个零行; ;(B)(B) A A中必有两行元素成比例中必有两行元素成比例中必有两行元素成比例中必有两行元素成比例; ;(C)(C) A A中任一行向量都能由其余两个行向量线性表示中任一行向量都能由其余两个行向量线性表示中任一行向量都能由其余两个行向量线性表示中任一行向量都能由其余两个行向量线性表示; ;(D)(D) 通过初等行变换通过初等行变换通过初等行变换通过初等行变换, , 可将可将可将可将 A A的第三行化为零向量的第三行化为零向量的第三行化为零向量的第三行化为零向量. .(E)(E)3. 3. 设设设设 A A 是是是是 n n 阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵, , AX AX = 0= 0有非零解有非零解有非零解有非零解, , 证明证明证明证明AAAAT TX X = 0= 0(F)(F) 也有非零解也有非零解也有非零解也有非零解. .1010第三章第三章第三章第三章1111第三章第三章第三章第三章1212