题型一题型一规律探索问题规律探索问题类型一类型二类型三图形变化规律图形变化规律例1(2018湖北随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1,3,6,10)和“正方形数”(如1,4,9,16),在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则m+n的值为()A.33 B.301 C.386D.571类型一类型二类型三当n=14时,n2=196200,所以,最大的正方形数n=196,则m+n=386,故选C.答案:C类型一类型二类型三与公式结合的数字规律与公式结合的数字规律例2(2017贵州黔东南)我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列,如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的详解九章算术一书中,用如图的三角形解释二项和(a+b)n的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”.根据“杨辉三角”请计算(a+b)20的展开式中第三项的系数为()A.2 017B.2 016C.191D.190类型一类型二类型三解析:找规律发现(a+b)3的第三项系数为3=1+2;(a+b)4的第三项系数为6=1+2+3;(a+b)5的第三项系数为10=1+2+3+4;不难发现(a+b)n的第三项系数为1+2+3+(n-2)+(n-1),(a+b)20第三项系数为1+2+3+19=190.故选D.答案:D类型一类型二类型三与图形结合的数字规律与图形结合的数字规律例3(2018贵州黔西南)“分块计数法”:对有规律的图形进行计数时,有些题可以采用“分块计数”的方法.如:图1有6个点,图2有12个点,图3有18个点,按此规律,求图10,图n有多少个点?我们将每个图形分成完全相同的6块,每块黑点的个数相同(如图4,5,6),这样图1中黑点个数是61=6个;图2中黑点个数是62=12个:图3中黑点个数是63=18个;所以容易求出图10,图n中黑点的个数分别是、.请你参考以上“分块计数法”,先将下面的点阵进行分块,再完成以下问题:类型一类型二类型三(1)第5个点阵中有个圆圈;第n个点阵中有个圆圈.(2)小圆圈的个数会等于271吗?如果会,请求出是第几个点阵.类型一类型二类型三解:图10中黑点个数是610=60个;图n中黑点个数是6n个;(1)如图所示:第1个点阵中有:1个,第2个点阵中有:23+1=7个,第3个点阵中有:36+1=17个,第4个点阵中有:49+1=37个,第5个点阵中有:512+1=61个,第n个点阵中有:n3(n-1)+1=(3n2-3n+1)个;(2)3n2-3n+1=271,n2-n-90=0,(n-10)(n+9)=0,n1=10,n2=-9(舍),小圆圈的个数会等于271,它是第10个点阵.