第十章 相似原理与量纲分析水闸桥梁基本假设基本假设 数学模型数学模型 解析表达解析表达 理论分理论分析析实验研究实验研究 模型试验模型试验 量测数据量测数据 换算到原型换算到原型 数值计算数值计算 数学模型数学模型 数值模型数值模型 数值解数值解 流体力学的研究方法流体力学的研究方法 本章主要介绍流体力学中的本章主要介绍流体力学中的相似原理相似原理，模型模型实验方法实验方法以及以及量纲分析法量纲分析法。 以相似原理为基础以相似原理为基础以相似原理为基础以相似原理为基础 1 1、数数学学分分析析法法：是是以以数数学学作作为为探探索索自自然然规规律律的的主主要要手手段段，根根据据所所研研究究的的物物理理现现象象的的特特点点，分分析析与与该该现现象象相相关关各各物物理理量量之之间间的的依依变变关关系系，列列出出描描述述该该现现象象的微分方程组，根据边界条件，对方程组进行求解。的微分方程组，根据边界条件，对方程组进行求解。 2 2、实实验验法法：是是指指对对某某一一正正在在发发生生的的现现象象或或正正在在进进行行的的过过程程进进行行系系统统的的观观察察和和参参量量的的测测定定，再再通通过过对对取取得得的的数数据据进进行行加加工工、分分析析，以以找找出出各各参参量量的的分分布布规规律及其相互间的依变关系。律及其相互间的依变关系。 实验法可分为实验法可分为原型测试原型测试和和模型实验模型实验两类。两类。 原原型型测测试试法法：就就是是对对正正在在运运行行的的设设备备及及过过程程进进行行实实际际测测试试，掌掌握握第第一一手手资资料料，从从而而可可为为设设备备及及过过程程的的最最优优化化提提出出改改进依据。进依据。 模模型型实实验验法法：是是以以相相似似原原理理为为指指导导，对对所所研研究究的的现现象象建建立立模模型型，通通过过模模型型实实验验，定定性性地地或或定定量量地地探探索索各各物物理理参参量量间间的的依依变变关关系系，找找出出其其内内在在规规律律，以以这这些些规规律律为为指指导导，进进行行新新工工艺或新设备的计算及设计。艺或新设备的计算及设计。 相似原理是指导模型实验的理论基础。相似原理是指导模型实验的理论基础。第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似第二节第二节 动力相似准则动力相似准则 第三节第三节 近似模拟试验近似模拟试验 第四节第四节 量纲分析法量纲分析法 第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似 第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似 表征表征流动流动过程过程的物的物理量理量 描述几何形状的描述几何形状的如长度、面积、体积等 描述运动状态的描述运动状态的 如速度、加速度、体积流量等 描述动力特征的描述动力特征的如质量力、表面力、动量等 按性质分几何几何几何几何相似相似相似相似运动运动运动运动相似相似相似相似动力动力动力动力相似相似相似相似流流动动相相似似应应满满足足的的条条件件基本物理量v1960年年10月十一届国际计量大会确定了国际通用的月十一届国际计量大会确定了国际通用的国际单位制，简称国际单位制，简称SI制。制。 vSI制：七个基本单位：长度制：七个基本单位：长度m，时间，时间s，质量，质量kg，热，热力学温度（力学温度（Kelvin温度）温度）K，电流单位，电流单位A，光强度单，光强度单位位cad（坎德拉），物质的量（坎德拉），物质的量mol v二个辅助单位：平面角弧度二个辅助单位：平面角弧度rad，立体角球面度，立体角球面度Sr 有量纲量和无量纲量：有量纲量和无量纲量：流体力学中任何物理量流体力学中任何物理量C的量纲可写成的量纲可写成C= M L T 当当、不全为不全为0时，时，C称为有量纲量。称为有量纲量。当当、全部为全部为0时，时，C称为无量纲量或无量纲称为无量纲量或无量纲数。数。有量纲量流体力学中的有量纲量可分为三类：1、几何学的量，0，0；2、运动学的量， 0， 0；3、动力学的量， 0。无量纲量 第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似一一. . 几何相似（空间相似）几何相似（空间相似）定义：定义： 模型和原型的全部对应线形长度的模型和原型的全部对应线形长度的 比值为一定常数比值为一定常数 。以下标以下标“ “ n”n”、 “ “ m”m”表示原型、表示原型、模型的有关量模型的有关量 : :长度比例尺（相似比例常数）长度比例尺（相似比例常数） 面积比例尺面积比例尺: :体积比例尺体积比例尺: :图图10-1 10-1 几何相似几何相似 满足上述条件，流满足上述条件，流动才能几何相似动才能几何相似 第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它们的速度场（加速度场）相似。，即它们的速度场（加速度场）相似。图图10-2 10-2 速度场速度场相相似似 二二 运动相似（时间相似）运动相似（时间相似）第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似加速度比例尺加速度比例尺: :注：长度比例尺和速度比例尺注：长度比例尺和速度比例尺确定所有运动学量的比例尺。确定所有运动学量的比例尺。时间比例尺时间比例尺: :速度比例尺速度比例尺: :第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似运动粘度比例尺运动粘度比例尺: :体积流量比例尺体积流量比例尺: :第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似三三. . 动力相似（受力相似）动力相似（受力相似）定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对应定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对应瞬时作用在两相似几何微团上的力，作用方向一瞬时作用在两相似几何微团上的力，作用方向一致、大小互成比例，即它们的动力场相似致、大小互成比例，即它们的动力场相似。 图图10-310-3 动力场相动力场相似似 第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似又由牛顿定律可知：又由牛顿定律可知： 其中：其中： 为流体的密度为流体的密度比例尺。比例尺。 力的比例尺：力的比例尺：第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似动力粘度比例尺动力粘度比例尺: :功率比例尺功率比例尺: :有有了了模模型型与与原原型型的的密密度度比比例例尺尺，长长度度比比例例尺尺和和速速度度比比例例尺，就可由它们确定所有动力学量的比例尺。尺，就可由它们确定所有动力学量的比例尺。 压强（应力）比例尺压强（应力）比例尺: :力力矩（功，能）矩（功，能）比例尺比例尺: :第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量 都成比例。都成比例。 相似流动必然满足以下条件：相似流动必然满足以下条件：相似流动必然满足以下条件：相似流动必然满足以下条件： 1 1任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述；应点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述；2 2相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即流动满足单值条件；即流动满足单值条件；3 3由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动相似也必须满足的条件。动相似也必须满足的条件。第一节第一节 流动的力学相似流动的力学相似定义：在定义：在几何相似几何相似的条件下，两种物理现的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则象保证相似的条件或准则 。第二节第二节 动力相似准则动力相似准则 由式由式由式由式 ( ( ( (4-10)4-10) 得得得得: : : : （4-154-15） （4-164-16） （4-174-17） 当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，即当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是牛顿相似准则牛顿相似准则牛顿相似准则牛顿相似准则。 称为称为牛顿数牛顿数，它是作用力与惯它是作用力与惯性力的比值。性力的比值。 或或或或: : : : 令令令令: : : : 一、重力相似准则一、重力相似准则（弗劳德准则）（弗劳德准则）二、粘性力相似准则二、粘性力相似准则（雷诺准则）（雷诺准则）三、压力相似准则三、压力相似准则（欧拉准则）（欧拉准则）四、弹性力相似准则四、弹性力相似准则( (柯西准则柯西准则) )五、表面张力相似准则五、表面张力相似准则（韦伯准则）（韦伯准则）六、非定常性相似准则六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）（斯特劳哈尔准则） 流流场场中中有有各各种种性性质质的的力力，但但不不论论是是哪哪种种力力，只只要要两两个个流流场场动动力力相相似似，它它们们都都要要服服从从牛牛顿顿相相似似准准则。则。第二节第二节 动力相似准则动力相似准则 1 1 StrouhalStrouhal 相似准数相似准数 SrSr= =l/vtl/vt 表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动随时间变化的情况运动随时间变化的情况2 2 FroudeFroude 相似准数相似准数 Fr=vFr=v2 2/gl/gl 表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起的影响程度所起的影响程度3 3 Euler Euler 相似准数相似准数 EuEu=p/=p/ v v2 2 表示压力和惯性力的比值表示压力和惯性力的比值4 4 RenoldsRenolds 相似准数相似准数 Re=Re=ulul/ / = = ulul/ / 表示惯性力和粘性力之比表示惯性力和粘性力之比5 5 Mach Mach 相似准数相似准数 Ma=Ma=v/cv/c 表示弹性力和惯性力之比，表示弹性力和惯性力之比，c c为声速，反映了流动为声速，反映了流动的压缩程度的压缩程度一、重力相似准则一、重力相似准则将将重重力力比比 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得：或或或或: : : : 令令令令: : : : 称为称为弗劳德弗劳德数数，它是惯性力与，它是惯性力与重力的比值。重力的比值。 当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反之亦当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反之亦然。这就是然。这就是重力相似准则重力相似准则重力相似准则重力相似准则（弗劳德准则）（弗劳德准则）。 重重力力场场中中 ，则则：（a） 改成无量纲数佛劳德数重力的相似准数 二、粘性力相似准二、粘性力相似准则则 将粘性力之比将粘性力之比 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得：或或或或: : : : 令令令令: : : : （4-21） （4-22） （4-23） （b） 称为称为雷诺雷诺数数，它是惯性力，它是惯性力与粘性力的比值。与粘性力的比值。 当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦然。这就是然。这就是粘性力相似准则粘性力相似准则粘性力相似准则粘性力相似准则（雷诺准则）（雷诺准则）。 模模型型与与原原型型用用同同一一种种流流体体时时， ，则：，则：无量纲数雷诺数粘性力的相似准数三、压力相似准则三、压力相似准则或或或或: : : : 令令令令: : : : （4-24） （4-25） （4-26） 当压强用压差代替：当压强用压差代替：将将压压力力比比 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得： 称为称为欧拉数欧拉数，它是总压力与惯性它是总压力与惯性力的比值。力的比值。 当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，反之亦然。当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，反之亦然。这就是这就是压力相似准则压力相似准则压力相似准则压力相似准则（欧拉准则）（欧拉准则）。 （4-27） （4-28） 欧拉数欧拉数欧拉数欧拉数: : : : 欧拉相似准则欧拉相似准则欧拉相似准则欧拉相似准则: : : : 无量纲数欧拉数压力的相似准数改成四、弹性力相似准则（柯西准则）四、弹性力相似准则（柯西准则）将将弹弹性性力力之之比比 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得：或或或或: : : : 令令令令: : : : 称为称为柯西数柯西数，它，它是惯性力与弹性力是惯性力与弹性力的比值。的比值。 当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等，即当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等，即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是弹性力相似准则弹性力相似准则弹性力相似准则弹性力相似准则（柯西准则）（柯西准则）。 四、弹性力相似准则（马赫准则）四、弹性力相似准则（马赫准则）若流场中的流体为气体，由于若流场中的流体为气体，由于 （ c c 为为声速）声速）则弹性力之比则弹性力之比 带入式带入式(4-(4-15)15)得：得：或或或或: : : : 令令令令: : : : 称为马赫数，称为马赫数，它是惯性力与弹性它是惯性力与弹性力的比值。力的比值。 当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，即当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是弹性力相似准则弹性力相似准则弹性力相似准则弹性力相似准则（马赫准则）（马赫准则）。 称为称为马赫数马赫数，它是惯性力与弹性它是惯性力与弹性力的比值。力的比值。 当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦然。这就是然。这就是弹性力相似准则弹性力相似准则弹性力相似准则弹性力相似准则（马赫准则）（马赫准则）。 无量纲数柯西数弹性力的相似准数气体：将无量纲数马赫数弹性力的相似准数（*）代入（*）式，得改成E弹性模量五、表面张力相似准则五、表面张力相似准则将将表表面面张张力力之之比比 带入式带入式( (4-154-15) )得得: :或或或或: : : : 令令令令: : : : 称为称为韦伯数韦伯数，它是惯性力与表面它是惯性力与表面张力的比值。张力的比值。 当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等，即当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等，即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是表面张力相似准则表面张力相似准则表面张力相似准则表面张力相似准则（韦伯准则）（韦伯准则）。 六、非定常性相似准则六、非定常性相似准则或或或或: : : : 令令令令: : : : 将将惯惯性性力力之之比比 带入式带入式(4-15)(4-15)得：得： 称为称为斯特劳哈尔斯特劳哈尔数数，它是当地惯性力与迁，它是当地惯性力与迁移惯性力的比值。移惯性力的比值。 当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等，当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等，即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是非定常相似准则非定常相似准则非定常相似准则非定常相似准则（斯特劳哈（斯特劳哈尔准则）尔准则）。 以上给出的以上给出的牛顿数牛顿数、弗劳德数弗劳德数、雷诺数雷诺数、欧拉欧拉数数、柯西数柯西数、马赫数马赫数、韦伯数韦伯数、斯特劳哈尔数斯特劳哈尔数均称均称为相似准则数。为相似准则数。 如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该方程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是方程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是令方程中的有关力与惯性力相比。令方程中的有关力与惯性力相比。第二节第二节 动力相似准则动力相似准则 二、相似准则二、相似准则牛顿数及相似判据牛顿数及相似判据v相似准则的导出方法有：v物理法则法；v方程分析法；v量纲分析法。彼此相似的现象必具有数值相同的同名相似准数相似第一定律 必为同类现象，必须服从自然界中同一基本规律 必须发生在几何相似的空间，并且具有相似的初、边值条件 描述物性的参量必须具有相似的变化规律定解问题相似凡同一种类现象，如果定解条件相似，同时由定解条件的物理量所组成的相似准数在数值上相等，那么这些现象必相似。相似第二定律 同类现象，形式相同的控制方程组第一个必要条件 定解条件相似第二个必要条件 独立相似准数在数值上相等第三个必要条件现象相似的充要条件描述某现象的各种量之间的关系式可以表示成相似准数方程之间的函数关系，这种关系式称为准数方程，即 相似第三定律 任何定解问题的积分结果都可以表示成准数方程的形式； 便于实验 什么是模型实验：什么是模型实验：通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象。实际发生的现象被称为原型现象，模理现象。实际发生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原型中流动现象的物理本只有保证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。质相同，模型实验才是有价值的。第三节第三节 近似模拟试验近似模拟试验 为什么要进行模型实验为什么要进行模型实验 科学研究和生产设计需要做模型实验科学研究和生产设计需要做模型实验 ； 并不是所有的流动现象都需要做模型实验。做理并不是所有的流动现象都需要做模型实验。做理论分析或数值模拟的流动现象都不必模拟实验。论分析或数值模拟的流动现象都不必模拟实验。 并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对其流动现象有充分的认识，并了解支配其现象的其流动现象有充分的认识，并了解支配其现象的主要物理法则，但还不能对其作理论分析或数值主要物理法则，但还不能对其作理论分析或数值模拟的原型最适合做模型实验。模拟的原型最适合做模型实验。模型实验主要解决的问题模型实验主要解决的问题模型实验主要解决的问题模型实验主要解决的问题 ： 1 1根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质；型，选择流动介质； 2 2在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量；在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量； 3 3用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程 式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。中去。 第三节第三节 近似模拟试验近似模拟试验 第三节第三节 近似模拟试验近似模拟试验 以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件是件是几何相似几何相似、运动相似运动相似和和动力相似动力相似。 前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原型设备中去。原型设备中去。 简化模型实验方法中流动相似的条件，除局部相似简化模型实验方法中流动相似的条件，除局部相似之外，还可采用之外，还可采用自模化特性自模化特性自模化特性自模化特性和和稳定性稳定性稳定性稳定性。 在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即称之为准则，即称之为局部相似局部相似局部相似局部相似。如上面的粘性不可压定常流。如上面的粘性不可压定常流动的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑动的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数ReRe，因而模型尺，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。寸和介质的选择就自由了。 自模化自模化的概念实质是自身模拟的概念。比如的概念实质是自身模拟的概念。比如在某系统中，有两个数与其它量比起来都很大，在某系统中，有两个数与其它量比起来都很大，则可认为这两个数自模拟了。又比如，在圆管流则可认为这两个数自模拟了。又比如，在圆管流动中，当动中，当Re2000Re2000时，管内流动的速度分布都是时，管内流动的速度分布都是一轴对称的旋转抛物面。当一轴对称的旋转抛物面。当Re4Re410105 5管内流动管内流动状态为紊流状态，其速度分布基本不随状态为紊流状态，其速度分布基本不随ReRe变化而变化而变化，故在这一模拟区域内，不必考虑模型的变化，故在这一模拟区域内，不必考虑模型的ReRe与原型的与原型的ReRe相等否，只要与原型所处同一模化相等否，只要与原型所处同一模化区即可。区即可。 准则数的选择准则数的选择很难实现同时满足两个以上准数相等例：若同时满足Re数相等和Fr数相等（1）同种介质（p=m）Re：Fr（gp=gm）：失去模型实验的价值（2）不同介质（pm）Re：Fr：p水m很困难如果p空气（15.710-6m2/s）m水（1.00710-6m2/s）取结论：根据影响流动的主要作用力，正确选择相似准则，是模型实验的关键自模区阻力平方区 （与Re无关）例1：某车间长30m，宽15m，高10m，用直径为0.6m的风口送风，要求风口风速8m/s，如取l=5，确定模型尺寸及模型的出口风速解：l=5，则模型长为30/5=6m，宽为15/5=3m，高为10/5=2m，风口直径为0.6/5=0.12m原型是空气p=15.710-6m2/s属阻力平方区（自模区）因此采用粗糙度较大的管子，提前进入自模区（Re=50000）此时例2：弦长为3m的机翼以300km/h的速度在温度为20、压强为1at的静止空气中飞行，用l=20的模型在风洞中作试验：（1）如果风洞中空气的温度和压强不变，风洞中空气速度应为多少？解：风洞实验中粘性力是主要的雷诺准则相同难以实现，要改变实验条件（2）改用水（3）改变压强（30at），温度不变等温过程p，且相同例3：溢水堰模型，l=20，测得模型流量为300L/s，水的推力为300N，求实际流量和推力解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则佛劳德准则：温度不变的水：由佛劳德准则 例例4 4 有有一一轿车，轿车，高高h=1.5mh=1.5m，在公路上行在公路上行驶，设计时速驶，设计时速v=108km/hv=108km/h，拟通过风洞中拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公路上以此速行模型实验来确定此轿车在公路上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全尺驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全尺寸风洞寸风洞( (k kl l=2/3)=2/3)，并假定风洞试验段内气并假定风洞试验段内气流温度与轿车在公路上行驶时的温度相同，流温度与轿车在公路上行驶时的温度相同，试求：风洞实验时，风洞实验段内的气流试求：风洞实验时，风洞实验段内的气流速度应安排多大？速度应安排多大？ 解：解： 首先根据流动性质确定决定性相似首先根据流动性质确定决定性相似准数，准数，这里选取这里选取ReRe作为决定性相似准数作为决定性相似准数，Rem=Rep，即即vl/=1， 再根据决定型相似准数相等，确定几个比再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的相互约束关系，例系数的相互约束关系，这里这里=1，所以所以 v=l-1，由于由于l=m/p=2/3，那么那么v=m/p=1/l=3/2 最后得到风洞实验段内的气流速度应该是最后得到风洞实验段内的气流速度应该是 vm=vpv=1083/2=162km/h=45m/s 例例5 5 在例在例4 4中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在风中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在风洞实验段中的风速为洞实验段中的风速为45m/s45m/s时，空气阻力为时，空气阻力为1000N1000N，问：问：此轿车以此轿车以108km/h108km/h的速度在公路上行驶时，所受的空气阻的速度在公路上行驶时，所受的空气阻力有多大？力有多大？ 解：在设计模型时，定下解：在设计模型时，定下 =1 l=2/3 v=3/2 在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系数在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系数=1，那么力比例系数那么力比例系数 F= l2 v2=1(2/3)2(3/2)2=1 因此，该轿车在公路上以因此，该轿车在公路上以108km/h108km/h的速度行驶所遇到的速度行驶所遇到的空气阻力的空气阻力 Fp=Fm/kF=1000/1=1000N第四节第四节 量纲分析法量纲分析法 一、物理方程量纲一致性原则一、物理方程量纲一致性原则二、瑞利法二、瑞利法三、三、 定理定理 一、物理方程量纲一致性原则一、物理方程量纲一致性原则 1. 1. 基本量纲：基本量纲：(独立量纲) 长度 (L) 时间 (T) 质量 (M) 2.2.导出量纲：导出量纲：第四节第四节 量纲分析法量纲分析法 定理。定理。 3. 3. 一致性原则一致性原则物理方程中要求每一项量纲都相同例: 量纲为L.无量纲物理量的意义：（1）客观性；（2）不受运动规模的影响；（3）清楚反映问题实质（如一个系列一条曲线）；（4）可进行超越函数的运算物理方程的量纲齐次性原理凡是正确描述自然现象的物理方程，其方程各项的量纲必然相同。量纲齐次性原理是量纲分析的理论基础。工程中仍有个别经验公式存在量纲不齐次。满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项，使其变为无量纲方程。如流体静力学基本方程用 除其余各项，可得无量纲方程：二、二、 定理：定理： 定理可以解决瑞利中方程的定理可以解决瑞利中方程的个数等于待定系数的缺点个数等于待定系数的缺点. .内容如下内容如下( (一一) )内容内容 1.选取影响流动的 n 个物理量写出下述函数关系如 (1)2.选择 m 个独立变量，原则是要既相互独立，又包含三个基本量纲. 一般选 : 几何尺度 速度 质量 第四节第四节 量纲分析法量纲分析法 3.用 n m 个无量纲写出准则方程 (2)4.求 (3)5.将 带入(2)式，求得 准则方程 第四节第四节 量纲分析法量纲分析法 例：求有压管流压强损失的表达式a.找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系b.选取基本量常取：几何学量l（d），运动学量v，动力学量m=3基本量独立条件：指数行列式不等于零解：步骤c.基本量依次与其余物理量组成项，共nm=73=4个d.决定各项的基本量的指数比较两边系数MLT得a1=2，b1=0，c1=1同理e.整理方程式10310-3. 已已 知知 圆圆 球球 绕绕 力力 阻阻 力力D 与与 球球 的的 直直 径径d， 来来 流流 速速 度度U0， 流流 体体 的的 密密 度度 、 动动 力力 粘粘 度度 有有 关关， 试试 用用 定定 理理 推推 求求 阻阻 力力D 的的 表表 达达 式。式。解解：选选d,U0, 为为 独独 立立 基基 本本 量量 纲，纲， 可可 以以 组组 成成5-3=2 个个 项项写写 成成 量量 纲纲 式式 按按 量量 纲纲 和和 谐谐 原原 理理 求求 指指 数，数， 对对 联联 立立 求求 解解 得，得， 所所 以以 ，阻，阻 力力 或或 令令 则则 CD称称 为为 阻阻 力力 系系 数，数， A为为 球球 在在 来来 流流 方方 向向 投投 影影 面面 积。积。定理。定理。 三、瑞利法三、瑞利法1. 1. 定义定义： 根据量纲量一致性原则，确定 相关量的函数关系。 第四节第四节第四节第四节 量纲分析法量纲分析法量纲分析法量纲分析法 2. 举例：第四节第四节 量纲分析法量纲分析法 图图4-74-7 三角堰三角堰 第四节第四节 量纲分析法量纲分析法