- - - . -word 资料- 极坐标与参数方程 【教学目标】 1、知识目标： 1掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程 2掌握参数方程与一般方程的转化 2、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培养他们的创新精神和思维严谨性 3、情感目标：培养学生数形结合是思想方法 【教学重点】 1、极坐标的与一般坐标的转化 2、参数方程和一般方程的转化 3、几何证明的整体思路 【教学难点】 极坐标意义和直角坐标的转化 【考点分析】 坐标系与参数方程和几何证明在*高考中为二者选一考，一般是 5 分的比较容易的题，知识相比照拟独立，与其他章节联系不大，容易拿分根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定 【根本要点】 一、极坐标和参数方程： 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系 2 点 M 的极坐标： 设 M 是平面内一点， 极点与点 M 的距离OM叫做点 M 的极径， 记为；- . z. 以极轴*为始边，射线 OM 为终边的*OM 叫做点 M 的极角，记为有序数对),(叫做点 M 的极坐标，记为 M),(. 极坐标),(与)Zk)(2k,(表示同一个点极点O 的坐标为)R)(, 0(. 3极坐标与直角坐标的互化： 4圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r； 在极坐标系中，以 )0 , a(C(a0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是2acos； 在极坐标系中，以 )2, a (C(a0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 2asin； 5参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标*,y 都是*个变数 t 的函数),t (gy),t (fx 并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点 M(*,y)都在这条曲线上， 则这个方程就叫做这条曲线的参数方程， 联系变数*,y 的变数 t 叫做参变数， 简称参数 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 6圆222r)by()ax(的参数方程可表示为)(.rsinby,rcosax为参数. 椭圆1byax2222(ab0)的参数方程可表示为)(.bsiny,acosx为参数. 抛物线2pxy2的参数方程可表示为)t (.2pty,2ptx2为参数. 经过点)y,x(MooO，倾斜角为的直线 l 的参数方程可表示为.tsinyy,tcosxxoot 为参数 【典型例题】 题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用 例 1、1点 M 的极坐标)32, 5(化为直角坐标为 B A)235,25( B)235,25(C)235,25(D)235,25( - . z. 2点 M 的直角坐标为) 1, 3(化为极坐标为 B A)65, 2( B)67, 2( C)611, 2( D)6, 2( 评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围 变式 1：1点22 ，的极坐标为 2在极坐标系中，圆心在)4A(1,，半径为 1 的圆的极坐标方程是_ 评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系 例 2、 1曲线的极坐标方程sin4化 成直角坐标方程为 A.*2+(y+2)2=4 B.*2+(y-2)2=4 C.(*-2)2+y2=4 D.(*+2)2+y2=4 【解析】将 =22yx ，sin=22yxy代入 =4sin，得*2+y2=4y， 即*2+(y-2)2=4.应选 B. 2O1和O2的极坐标方程分别为=4cos,=-4sin. 把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程； 求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程. 【解析】以极点为原点，极轴为*轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取一样的长度单位.1*=cos,y=sin,由=4cos,得2=4cos. 所以*2+y2=4*.即*2+y2-4*=0 为O1的直角坐标方程.同理*2+y2+4y=0 为O2的直角坐标方程. 2由, 04, 042222yyxxyx解得, 0, 011yx或. 2, 222yx 即O1，O2交于点0，0和2，-2. 过交点的直线的直角坐标方程为 y=-*. 变式 1：极坐标 =cos(4)表示的曲线是 A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 【解析】原极坐标方程化为 =21(cos+sin)22=cos+sin， 普通方程为2(*2+y2)=*+y，表示圆.应选 D. 变式 2：在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线的方程为 - . z. Acos2 Bsin2 C4sin()3 D4sin()3 【解析】A 4sin的普通方程为22(2)4xy，cos2的普通方程为2x 圆22(2)4xy与直线2x 显然相切 例 3、在极坐标系中，两点 P5，45 ，Q)4, 1 (，求线段 PQ 的长度； 变式 1、在极坐标系中，直线sin(+4)=2 被圆=4 截得的弦长为 变式2、在极坐标系中，点1,0到直线cossin2的距离为 例 4、极坐标方程分别为cos2和sin的两个圆的圆心距为_； 变式 1、把极坐标方程cos()16化为直角坐标方程是 变式 2、在极坐标系中，圆心在( 2, )且过极点的圆的方程为_. 变式 3、在极坐标系中，假设过点)0 , 3(A且与极轴垂直的直线交曲线cos4于 A、B 两点，则 | AB_ 题型二：参数方程的互化和应用 例 1、假设直线1 223xtyt t 为参数与直线41xky垂直，则常数k=. 变式 1、设直线1l的参数方程为11 3xtyt t 为参数 ，直线2l的方程为 y=3*+4 则1l与2l的距离为_ 变式 2、直线11 3:()24xtltyt 为参数与直线2:245lxy相交于点B，又点(1,2)A，则AB _。 变式 3、直线122()112xttyt 为参数被圆224xy截得的弦长为_。 - . z. 例 2、经过曲线 C：sin3,cos33yx(为参数)的中心作直线l:tytx33t 为参数的垂线，求中心到垂足的距离 【解析】由曲线 C 的参数方程sin3,cos33yx消去参数， 得(*-3)2+y2=9.曲线 C 表示以3，0为圆心，3 为半径的圆. 由直线 l 的参数方程tytx33,消去参数 t,得 y=33*. 表示经过原点，倾斜角为 30的直线. 如图,在直角三角形 OCD 中，OC=3，COD=30， 所以 CD=23，所以中心到垂足的距离为23. 变式 1、将参数方程222sin()sinxy 为参数化为普通方程为 A2yx B2yx C2(23)yxx D2(01)yxy 变式 2、以下在曲线sin2()cossinxy为参数上的点是 A1( ,2)2 B3 1(, )4 2 C(2, 3) D(1, 3) 变式 3、P是曲线sincos1 sin2xy )2 , 0是参数上一点，P到点)2 , 0(Q距离的最小值是 选讲变式 4、点 P*,y在曲线sincos2yx(为参数)上，则xy的取值范围为 例 4、参数方程()2()ttttxeetyee 为参数的普通方程为_。 变式 1、参数方程ttyttx1,1t 为参数的普通方程为_。 - . z. 【解析】由ttyttx112-2得，*2-y2=4,方程表示双曲线. 题型三：参数方程与圆锥曲线 例 1、参数方程cos5sin4yx为参数的普通方程为_。 【解析】cos5sin4yx,得5cos4sinyx2+2，得251622yx=1 表示椭圆. 例 2、选讲在平面直角坐标系*Oy 中，设 P(*,y)是椭圆32x+y2=1 上的一个动点，求 S=*+y的最大值. 【解析】 由椭圆32x+y2=1 的参数方程为sincos3yx(为参数)， 可设动点 P 的坐标为3cos,sin,其中 02. 因此，S=*+y=3cos+sin =2sin21cos23=2sin+3. 所以当=6时，S 取得最大值 2. 变式 1： 2*2+3y2-6*=0 *,yR ，则*2+y2的最大值为. 【解析】9 题型四：综合运用 例 1、以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中 取一样的长度单位。直线的极坐标方程为()4R，它与曲线12cos22sinxy 为参数相交于两点 A 和 B，则|AB|=_. 例 2、在直角坐标系中，曲线1C的参数方程为, 0sin,cosyx，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C在极坐标系中的方程为cossinb假设曲线1C与2C有两 - . z. 个不同的交点，则实数b的取值范围是 例 3、在极坐标系下，圆 O：cossin和直线2:sin()42l， 1求圆 O 和直线l的直角坐标方程； 2当0,时，求直线l与圆 O 公共点的一个极坐标 例 4、 曲线 C1：4cos ,3sin ,xtyt t 为参数 ， C2：8cos ,3sin ,xy为参数 。 1化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； 2假设 C1上的点 P 对应的参数为2t，Q 为 C2上的动点，求PQ中点M到直线 332 ,:2xtCyt t 为参数距离的最小值。 【稳固练习】 1直线：3*-4y-9=0 与圆：sin2cos2yx，( 为参数)的位置关系是 A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 2曲线的参数方程为12322tytx(t 是参数)，则曲线是 A、线段 B、双曲线的一支 C、圆 D、射线 3、点22 ，的极坐标为 4、直线l经过点 P1，1 ，倾斜角=6，直线l的参数方程为 5、极坐标系中，圆=10cos3的圆心坐标为 6、点 P 的直角坐标为(1,-3),则点 P 的极坐标为 7、假设 A33，B64，则|AB|=_，SAOB_ 其中 O 是极点 8、极点到直线cossin3的距离是_ - . z. 9 2021*文两曲线参数方程分别为sincos5yx0和tytx245tR ，它们的交点坐标为 10 09*假设直线.2,21:1ktytxlt为参数与直线2,:1 2 .xslys s为参数垂直，则k 11 09*直线：3*-4y-9=0 与圆：sin2cos2yx，( 为参数)的位置关系是 12 09*直线为参数ttytx2322上与点32，P 距离等于2的点的坐标是 13、求椭圆14922yx）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 【课后练习】 1、曲线 C 的参数方程为1,13()xttyttt为参数，0t .求曲线 C 的普通方程。 2、曲线12CC，的极坐标方 程分别为cos3，4cos0 02 ， 则曲线1C与2C交点的极坐标为 3、直线l的参数方程：tytx412t为参数 ，圆 C 的极坐标方程：4sin22，试判断直线l与圆 C 的位置关系 4、 求曲线2cossinyx过点)2 , 0(的切线方程为 5、在极坐标系中,设圆3上的点到直线cos3sin2的距离为d最大值为 6、假设两条曲线的极坐标方程分别为1与3cos2，它们相交于BA,两点，求线段AB的长 - . z. 7、 求直线11:()53xtltyt 为参数和直线2:2 30lxy的交点P的坐标， 及点P与(1, 5)Q的距离。 【拓展练习】 1、 2021*英才学校 极坐标与参数方程求极坐标系中，圆2上的点到直线6sin3cos的距离的最小值 2、2021 通州第四次调研求经过极点9(0,0),(6,),(6 2,)24OAB三点的圆的极坐标方程. 3、 2021*十中 极坐标与参数方程圆 C 的参数方程为为参数sin23,cos21yx ，假设P 是圆 C 与*轴正半轴的交点，以原点 O 为极点,*轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点 P 的圆 C 的切线为l，求直线l的极坐标方程 4、 20072021 泰兴市蒋华中学根底训练在椭圆2211612xy上找一点，使这一点到直线2120xy的距离的最小值。 5、 20072021 泰兴市蒋华中学根底训练点( , )P x y是圆222xyy上的动点， 1求2xy的取值范围； 2假设0xya恒成立，*数a的取值范围。