图形的相似图形的相似(二二)德阳市岷江东路逸夫学校德阳市岷江东路逸夫学校知识点、考点回顾：知识点、考点回顾： 定义：如果两个图形是相似图形，而且定义：如果两个图形是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比。做位似中心，这时的相似比称为位似比。二、图形的位似：二、图形的位似：2 2、利用位似将一个图形放大或缩小。、利用位似将一个图形放大或缩小。 依据是：位似图形上任意一对对应点到依据是：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。位似中心的距离之比等于位似比。【例【例1】(1) 如图，若如图，若ABCABCADBADB，那么下列那么下列关系成立的是关系成立的是( ( ) ) A.ADB=ACBA.ADB=ACBB.ADB=ABCB.ADB=ABCC.C.CDB=CDB=CABCABD.D.ABD=ABD=BDC BDC (2) (2)ABCABC中，中，AC=6AC=6，BC=4BC=4，CA=9CA=9，ABCABCA AB BC C，A AB BC C的最短边长为的最短边长为1212，则它的最长边的长为，则它的最长边的长为( ( ) ) A.16 B.18 C.27 D.24 B BC C2:5【例【例2 2】(1)(1)如图所示，在平行四边形如图所示，在平行四边形ABCDABCD中，中，E E是是BCBC上一点，上一点，BEEC=23BEEC=23，AEAE交交BDBD于点于点F F，则则BFFD=BFFD= . . 典型例题解析典型例题解析【例例2】(2)如如图图所所示示，DEBCDEBC，EFABEFAB，现现得得到下列结论：到下列结论：(1(1) ) =(2)(2) =(3)(3) =(4)(4) =其其中中正正确确的的比比例例式式的的个个数数是是( ( ) )A A4 4个个 B.3B.3个个C. 2C. 2个个 D.1D.1个个 B【例例3】(1)(2004北北京京市市)如如图图，在在菱菱形形ABCD中中，E是是AB的的中中点点，作作EF/BC交交AC于于点点F。如如果果EF=4,那么那么CD的长为的长为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 (2)(2004(2)(2004陕西省陕西省) )如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中，AB=4cm,AB=4cm,AD=7cm,ABCAD=7cm,ABC的平分的平分线交线交ADAD于点于点E E，交，交CDCD的延长线于点的延长线于点F F，则，则DF= DF= cm.cm.D3(2)如如图图，在在平平行行四四边边形形ABCD中中，AE:EB=1:2,BF/DE,SAGE=6cm2,则则四四边边形形FDGH的的面面积积为为 ( ) A.48cm2 B.24cm2 C.18cm2 D.12cm2 A(1)(1)如图，平行四边形如图，平行四边形ABCDABCD中，中，G G是是BCBC延长延长线上一点，且线上一点，且CG= CG= BCBC，则则 =( =( ) ) 【例【例5】 (2) (2)如图，如图，ABCDABCD是面积为是面积为a a2 2的任意四边形，的任意四边形，顺次连接各边中点得四边形顺次连接各边中点得四边形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，再顺，再顺次连接次连接A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1得到四边形得到四边形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2，重复同，重复同样的方法直到得到四边形样的方法直到得到四边形A An nB Bn nC Cn nD Dn n，则四边，则四边形形A An nB Bn nC Cn nD Dn n的面积为的面积为 。图图6-2-106-2-10 【例【例6 6】(2003(2003南昌市南昌市) )如图所示，有两如图所示，有两棵树，一棵高棵树，一棵高8 8米米，另一棵高，另一棵高2 2米，两树相米，两树相距距8 8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了一棵树的树梢，至少飞了 米米. . 10【例【例7】(1)点点E、F、G分别是分别是ABC三边的中点，三边的中点，则则ABC与与EFG是以是以_为位似为位似中心的位似图形。中心的位似图形。ABC的三条中线的交点的三条中线的交点(2)(2)如图在这棵大松树的右边长着一棵与它形状如图在这棵大松树的右边长着一棵与它形状相同相同, ,但比它小一倍的小松树但比它小一倍的小松树, ,请你把这棵小松请你把这棵小松树补上吧树补上吧. .【例例9 9】如如图图所所示示，RtABCRtABC中中，C=90C=90，AB=4AB=4，BC=3BC=3，DEBCDEBC，设设AE=xAE=x，四四边边形形BDECBDEC的的面面积积为为y y，则则y y可可表表示示成成x x的的函函数数，其其图图像像的的形状是形状是 ( ( ) ) A. A.开口向上的抛物线的一部分开口向上的抛物线的一部分 B. B.开口向下的抛物线的一部分开口向下的抛物线的一部分 C. C.线段线段( (不包括两个端点不包括两个端点) ) D. D.双曲线的一部分双曲线的一部分 B 【例【例1010】如图所示，梯形如图所示，梯形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，B=90B=90，MNABMNAB，AB=6AB=6，BC=4BC=4，CD=3CD=3，设设DM=x.DM=x.(1)(1)设设MN=yMN=y，用用x x的的代代数式表示数式表示y.y.(2)(2)设设梯梯形形MNCDMNCD的的面面积积为为S S，用用x x的的代代数数式式表表示示S.S.(3)(3)若若梯梯形形MNCDMNCD的的面面积积S S等等于于梯梯形形ABCDABCD的的面面积积的的1313，求，求DM.DM.典型例题解析典型例题解析【例【例1010】如图所示，梯形如图所示，梯形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，B=90B=90，MNABMNAB，AB=6AB=6，BC=4BC=4，CD=3CD=3，设设DM=x.DM=x.(1)(1)设设MN=yMN=y，用用x x的代数式表示的代数式表示y.y.(2)(2)设梯形设梯形MNCDMNCD的面积为的面积为S S，用用x x 的代数式表示的代数式表示S.S.【解析】【解析】(1)(1)过过D D作作DEDEABAB于于E E点交点交MNMN于于F F，MN=MF+FN=MF+3MN=MF+FN=MF+3，在在RtRtDAEDAE中中, ,AD= AD= 由由MNMNABAB (2)(2)MNMNAB AB S=S= ( (DC+MN)DC+MN)DF=DF= x2+ x(0x(0x x5)5)(3)(3)S S梯梯ABCDABCD= = (3+6)(3+6)4=184=18S S梯梯MNCDMNCD= = x1=-5+5 ，x2=-5-5 0(0(舍去舍去).).即即DM=-5+5 DM=-5+5 【例【例1010】如图所示，梯形如图所示，梯形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，B=90B=90，MNABMNAB，AB=6AB=6，BC=4BC=4，CD=3CD=3，设设DM=x.DM=x.(1)(1)y=3/5x+3(0x5)y=3/5x+3(0x5)(2)(2)(3)(3)若梯形若梯形MNCDMNCD的面积的面积S S等于梯等于梯形形ABCDABCD的面积的的面积的1 1/3/3，求，求DM.DM.S=S=x2+ x(0x(0x x5)5)【例【例1111】如图所示，在梯形如图所示，在梯形ABCDABCD中，中，ADADBCBC，AB=CD=3AB=CD=3，P P是是BCBC上一点，上一点，PEPEABAB交交ACAC于于E E，PFPFCDCD交交BDBD于于F F，设设PEPE，PFPF的长分别为的长分别为m m，n n，x x= =m+nm+n，那么那么当当P P点在点在BCBC边上移动时，边上移动时，x x值是否发生变化值是否发生变化? ?若变化，若变化，求出求出x x的取值范围；若不变，求出的取值范围；若不变，求出x x的值，并说明理的值，并说明理由由. . 【解析】【解析】PEPEABAB PE:AB=PC:BC PE:AB=PC:BC PFPFCDCD PF:CD=BP:BCPF:CD=BP:BCPE:AB+PF:CD=(PC+BP):BC=1PE:AB+PF:CD=(PC+BP):BC=1再根据再根据AB=CD=3AB=CD=3得得PE+PF=3PE+PF=3，即即 x=3x=3，所以所以x x值不发生变化值不发生变化. . 【例【例1212】(2003.(2003.江苏无锡市江苏无锡市) )已知，如图所示的四已知，如图所示的四边形边形ABCDABCD为菱形，为菱形，AFAFBCBC于于F F， (1)(1)求证：求证：ADAD2 2= DE= DEDB.DB.(2)(2)过点过点E E作作EGAFEGAF交交ABAB于点于点G G，若线段若线段BEBE，DE(BEDE(BEDE)DE)的长是方程的长是方程x x2 2-3mx+2m-3mx+2m2 2=0(m=0(m0)0)的两个根，且的两个根，且菱形菱形ABCDABCD的面积为的面积为 ，求，求EGEG的长的长. .【解析】【解析】(1)(1)证等积式，首先证等积式，首先想到化成比例，但式子有想到化成比例，但式子有1 1/2/2，应想到菱形的性质：对角，应想到菱形的性质：对角线互相垂直平分，故连接线互相垂直平分，故连接ACAC交交BDBD于于O O点，即点，即BD=2DOBD=2DO，所以所以ADAD2 2=DE=DEDO DO 【例【例1212】已知，如图所示的四边形已知，如图所示的四边形ABCDABCD为菱形，为菱形，AFAFBCBC于于F F， (1)(1)求证：求证：ADAD2 2= DE= DEDB.DB.(2)(2)过点过点E E作作EGAFEGAF交交ABAB于点于点G G，若线段若线段BEBE，DE(BEDE(BEDE)DE)的长是方的长是方程程x x2 2-3mx+2m-3mx+2m2 2=0(m=0(m0)0)的两个根，且菱形的两个根，且菱形ABCDABCD的面积为的面积为 ，求求EGEG的长的长. .【解析】【解析】(1)(1)要证要证就得找三角形相似，即要证就得找三角形相似，即要证ADEADE与与AODAOD相似，而相似，而EAD=90EAD=90, AOBD, AOBD，所以所以ADEOAD.ADEOAD.(2)(2)解方程解方程DE=2mDE=2m，BE=mBE=m，由由ADADBCBC 由由ADAD2 2= DE= DEBD AD= m BD AD= m AE= AE= =m EF= m EF= m AF= m m 则则S菱菱ABCD=AFBC=m=2m=2，m=-2m=-20(0(舍舍) )由由GEGEAF GFAF GFBCBC见讲义见讲义-基础演练基础演练.课时训练课时训练:一、相似三角形的性质：一、相似三角形的性质：(1)(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例相似三角形对应角相等，对应边成比例. .(2)(2)相似三角形对应高线之比、对应中线之比和相似三角形对应高线之比、对应中线之比和对应角平分线之比分别都等于相似比对应角平分线之比分别都等于相似比. .(3)(3)相似三角形周长之比等于相似比相似三角形周长之比等于相似比. .(4)(4)相似三角形面积之比等于相似比的平方相似三角形面积之比等于相似比的平方. .知识点、考点回顾：知识点、考点回顾：注意：相似多边形也具有以上性质。注意：相似多边形也具有以上性质。【例【例1313】(2003(2003山东省山东省) )如图中的如图中的(1)(1)是由五个边长都是是由五个边长都是1 1的正方形纸片拼接而成的，过点的正方形纸片拼接而成的，过点A A1 1的直线分别与的直线分别与BCBC1 1，BEBE交于点交于点M M、N N，且图且图(1)(1)被直线被直线MNMN分成面积相等的上、下两分成面积相等的上、下两部分部分. .(1)(1)求求 的值的值.(2).(2)求求MBMB、NBNB的长的长. .(3)(3)将图将图(1)(1)沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒( (如图如图(2)(2)所所示示) )后，求点后，求点M M、N N间的距离间的距离. . 图（图（1） 图（图（2） 【解析】【解析】(1)(1)A A1 1B B1 1MNBNMNBN，且且A A1 1B B1 1=BB=BB1 1=1=1 MB+NB=MBMB+NB=MBNBNB，即即 (2)(2)分成的两部分面积相等得分成的两部分面积相等得MBMBNB=NB= ，即，即MBMBNB=5 NB=5 MB+NB=5MB+NB=5，因此可以构造一元二次因此可以构造一元二次方程方程x x2 2-5x+5=0-5x+5=0，且且MBMBNB.NB.MB= MB= ，NB= NB= (3)(3)由由(2)(2)已知已知B B1 1M=M= 图图(2)(2)中的中的BNBN与图与图(1)(1)中的中的ENEN相等相等. .BN=BBN=B1 1M M，即四边形即四边形BBBB1 1MNMN是矩形是矩形.MN=1.MN=1.典型例题解析典型例题解析【例例8 8】如如图图所所示示，要要判判定定ABCABC的的面面积积是是PBCPBC面面积积的的几几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是 ( ) ( )A.3A.3次次 B.2B.2次次C.1C.1次次 D.3D.3次以上次以上 C【解解析析】这这道道题题乍乍一一看看，认认为为同同底底，只只要要知知道道高高之之比比，就就知知道道面面积积之之比比，故故选选B B，其其实实不不然然，只只要要过过APAP量量一一次次，连连接接APAP并并延延长长交交BCBC于于D D，DPDP与与ADAD的的比比就就等等于于PBCPBC与与ABCABC的的面面积积比比，理理由由是是：分分别别过过A A、P P作作BCBC的的垂垂线线段段，根根据据两两三三角角形形相相似似的的性性质质知知：DP/AD=PE/AF.DP/AD=PE/AF.所以正确的答案是所以正确的答案是C.C.