教学内容和基本要求教学内容和基本要求 第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解教教 学学 内内 容容学时数学时数1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 11.2 n阶行列式阶行列式 11.3 行列式的性质和计算行列式的性质和计算41.4 线性方程组的求解线性方程组的求解 21.5 用用Matlab解题解题1MATLAB: 美国美国MathWorks公司公司 20世纪世纪80年代中期年代中期 优秀的优秀的数值计算数值计算/符号计算符号计算能力能力 卓越的卓越的数据可视化数据可视化能力能力 在欧美等高校，在欧美等高校，在欧美等高校，在欧美等高校，MATLABMATLAB已经成为已经成为已经成为已经成为 线性代数线性代数线性代数线性代数/ / / /自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论/ / / /概率论及数理统计概率论及数理统计概率论及数理统计概率论及数理统计/ / / / 数字信号处理数字信号处理数字信号处理数字信号处理/ / / /时间序列分析时间序列分析时间序列分析时间序列分析/ / / /动态系统仿真动态系统仿真动态系统仿真动态系统仿真等高级课程的基本教学工具，等高级课程的基本教学工具，等高级课程的基本教学工具，等高级课程的基本教学工具，是攻读学位的是攻读学位的是攻读学位的是攻读学位的 大学生大学生大学生大学生/ /硕士生硕士生硕士生硕士生/ /博士生博士生博士生博士生必须掌握的基本技能。必须掌握的基本技能。必须掌握的基本技能。必须掌握的基本技能。 1.5 用用Matlab解题解题 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题有高性能数值计算的有高性能数值计算的有高性能数值计算的有高性能数值计算的高级算法高级算法高级算法高级算法，特别适合特别适合特别适合特别适合矩阵代数矩阵代数矩阵代数矩阵代数领域；领域；领域；领域；有大量事先定义的有大量事先定义的有大量事先定义的有大量事先定义的数学函数数学函数数学函数数学函数和很强的用户和很强的用户和很强的用户和很强的用户自定义函数自定义函数自定义函数自定义函数的能力；的能力；的能力；的能力；有强大的有强大的有强大的有强大的绘图功能绘图功能绘图功能绘图功能；具有教育具有教育具有教育具有教育/ /科学和艺术学的科学和艺术学的科学和艺术学的科学和艺术学的图解图解图解图解和可视化的和可视化的和可视化的和可视化的二维二维二维二维/ /三维图三维图三维图三维图；基于基于基于基于HTMLHTML的完整的的完整的的完整的的完整的帮助功能帮助功能帮助功能帮助功能；适合个人应用的强有力的面向矩阵适合个人应用的强有力的面向矩阵适合个人应用的强有力的面向矩阵适合个人应用的强有力的面向矩阵( (向量向量向量向量) )的高级的高级的高级的高级程序设计语言程序设计语言程序设计语言程序设计语言；与其它语言编写的程序与其它语言编写的程序与其它语言编写的程序与其它语言编写的程序结合结合结合结合和输入输出和输入输出和输入输出和输入输出格式化数据格式化数据格式化数据格式化数据的能力；的能力；的能力；的能力；有在多个应用领域解决难题的有在多个应用领域解决难题的有在多个应用领域解决难题的有在多个应用领域解决难题的工具箱工具箱工具箱工具箱。MATLAB的主要特点是：的主要特点是：第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题一一. 打开打开MATLAB 桌面快捷按钮桌面快捷按钮 开始菜单开始菜单 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题二二. MATLAB界面界面 标题栏标题栏标题栏标题栏菜单栏菜单栏菜单栏菜单栏工具栏工具栏工具栏工具栏当前路径窗口当前路径窗口当前路径窗口当前路径窗口命令历史记录窗口命令历史记录窗口命令历史记录窗口命令历史记录窗口命令窗口命令窗口命令窗口命令窗口第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 获取帮助获取帮助 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 三三. 大材小用大材小用 1.3692+sin(7/10 1.3692+sin(7/10* *pi)pi)* *sqrt(26.48)/2.9 sqrt(26.48)/2.9 ans = ans = ans = ans = 3.30973.30973.30973.3097第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 0.5-0.42-0.08 0.5-0.42-0.08 0.5-0.42-0.08 0.5-0.42-0.08 ans = 1.3878e-017 ans = 1.3878e-017 ans = 1.3878e-017 ans = 1.3878e-017 0.5-0.08-0.42 0.5-0.08-0.42 0.5-0.08-0.42 0.5-0.08-0.42 ans = 0 ans = 0 ans = 0 ans = 0 0.5-sym(0.42)-0.08 0.5-sym(0.42)-0.08 0.5-sym(0.42)-0.08 0.5-sym(0.42)-0.08 ans = 0 ans = 0 ans = 0 ans = 0 sym(0.5-0.42-0.08)sym(0.5-0.42-0.08)sym(0.5-0.42-0.08)sym(0.5-0.42-0.08)ans = 2(-56) ans = 2(-56) ans = 2(-56) ans = 2(-56) 凡凡vpa(vpa(vpa(vpa(sym(0.5-0.42-0.08)sym(0.5-0.42-0.08)sym(0.5-0.42-0.08)sym(0.5-0.42-0.08),30,30,30,30) ) ) )vpa(pivpa(pivpa(pivpa(pi,150,150,150,150) ) ) )ans =3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445 9230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940813第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 三三. 矩阵的输入矩阵的输入 a = 1, 2, 3 a = 1, 2, 3 % %输入完这一行输入完这一行, ,按回车键按回车键 a = a = 1 2 3 1 2 3 X_Data=2.3 3.4; 4.3 5.9 X_Data=2.3 3.4; 4.3 5.9 %2%2阶方阵阶方阵 X_Data = X_Data = 2.3000 3.4000 2.3000 3.4000 4.3000 5.9000 4.3000 5.9000 clear clear % %清除以上输入的变量清除以上输入的变量 clc clc % %清屏幕清屏幕 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 Matrix_B = 1 2 3; Matrix_B = 1 2 3; Matrix_B = Matrix_B = 1 2 3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 3 4 5 2 3 4; 3 4 52 3 4; 3 4 51 21 2；3 43 4? 1 2? 1 2；3 4 3 4 | | Error: The input character is not validError: The input character is not valid 智能智能ABC输入法输入法5.0版的几种输入状态版的几种输入状态 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 四四. 计算行列式计算行列式 det(1,2;3,4) det(1,2;3,4) % %行列式行列式 det(1,2;3,4) det(1,2;3,4) % %行列式行列式 ans = ans = -2 -2 det(1,2;3,4) det(1,2;3,4) % %行列式行列式 ans = ans = -2 -2 A=1,2,3;4,5,6;7,8,9;D=det(A)A=1,2,3;4,5,6;7,8,9;D=det(A)D = D = 0 0 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 det(1,2;3,4) det(1,2;3,4) % %行列式行列式 det(1,2;3,4) det(1,2;3,4) % %行列式行列式 ans = ans = -2 -2 det(1,2;3,a) det(1,2;3,a) ? Undefined function or variable a.=? Undefined function or variable a.=? Undefined function or variable a.=? Undefined function or variable a.= syms a, syms a, % %定义定义a a为符号变量为符号变量 ans =ans = a-6 a-6 det(1,2;3,a) det(1,2;3,a) 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 五五. 用用Cramer法则解线性方程组法则解线性方程组 例例13. 求方程组求方程组 的解的解. 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;a_5=0;0;0;6;5;b b=1;0;0;0;1; =1;0;0;0;1; D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5); D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5); D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5); D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5); D_1=det( D_1=det( D_1=det( D_1=det(b b b b,a_2,a_3,a_4,a_5);,a_2,a_3,a_4,a_5);,a_2,a_3,a_4,a_5);,a_2,a_3,a_4,a_5); D_2=det(a_1, D_2=det(a_1, D_2=det(a_1, D_2=det(a_1,b b b b,a_3,a_4,a_5);,a_3,a_4,a_5);,a_3,a_4,a_5);,a_3,a_4,a_5); D_3=det(a_1,a_2, D_3=det(a_1,a_2, D_3=det(a_1,a_2, D_3=det(a_1,a_2,b b b b,a_4,a_5);,a_4,a_5);,a_4,a_5);,a_4,a_5); D_4=det(a_1,a_2,a_3, D_4=det(a_1,a_2,a_3, D_4=det(a_1,a_2,a_3, D_4=det(a_1,a_2,a_3,b b b b,a_5);,a_5);,a_5);,a_5); D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4, D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4, D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4, D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4,b b b b);););); x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D; x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D; x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D; x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D; x_5=D_5/D; x_5=D_5/D; x_5=D_5/D; x_5=D_5/D; format rat,Xformat rat,Xformat rat,Xformat rat,X=x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 =x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 =x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 =x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 % % % % 有理输出有理输出有理输出有理输出X = X = 1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665 1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665 将将实数数转化化为单精精度度(7位有效数字位有效数字)的的有理数有理数第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 % %我们也可以编写如下程序来解上述方程组我们也可以编写如下程序来解上述方程组 % %我们也可以编写如下程序来解上述方程组我们也可以编写如下程序来解上述方程组 a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 %我们也可以编写如下程序来解上述方程组我们也可以编写如下程序来解上述方程组 a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; A= A= sym(sym( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 a_1,a_2,a_3,a_4,a_5); );D=det(A);D=det(A);% sym % sym 为把数字转化为字符计算，结果比为把数字转化为字符计算，结果比为把数字转化为字符计算，结果比为把数字转化为字符计算，结果比format ratformat rat精确精确精确精确% syms % syms 为定义符号变量为定义符号变量为定义符号变量为定义符号变量 X=; X=; %空矩阵空矩阵空矩阵空矩阵 forfor i=1:5 i=1:5 A=sym(sym(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5) ); A(:,i)=b;X = A(:,i)=b;X =sym(sym(X,det(A)/DX,det(A)/D) ); ; i=i+1; i=i+1; endend X XX = 1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 六六. 用初等行变换解线性方程组用初等行变换解线性方程组 A=5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5; b=1;0;0;0;1; B=sym(A,b); %增广矩阵增广矩阵 C=rref(B), C=rref(B), %用初等行变换把用初等行变换把B化为行最简形化为行最简形 C = 1, 0, 0, 0, 0, 1507/665 0, 1, 0, 0, 0, -229/133 0, 0, 1, 0, 0, 37/35 0, 0, 0, 1, 0, -79/133 0, 0, 0, 0, 1, 212/665 X=C(:,6) X=C(:,6) %取取C的最后一列的最后一列, 转置为行向量转置为行向量 X = 1507/665, -229/133, 37/35, -79/133, 212/665 注意分号不注意分号不输出出结果果注意逗号注意逗号输出出结果果注意无符号注意无符号输出出结果果第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 例例14. 求方程组求方程组 的解的解. 解解: 先用先用MATLAB把该方程组的增广矩阵把该方程组的增广矩阵 化化为行行简化化阶梯梯阵 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 A=1,1,-1,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8; A=1,1,-1,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8; b=1;4;0; b=1;4;0; B=A,b; B=A,b; % %增广矩阵增广矩阵 C=rref(B); C=rref(B); C=rref(B); C=rref(B); % %用初等行变换把用初等行变换把B B化为行最简形化为行最简形 由由C可以看出该方程组有无数多解可以看出该方程组有无数多解, 而且可以写出对应的最简形方程组而且可以写出对应的最简形方程组, 从而得到原方程组的解从而得到原方程组的解. A=1,1,-1,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8; A=1,1,-1,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8; b=1;4;0; b=1;4;0; B=A,b; B=A,b; % %增广矩阵，增广矩阵，注意这里未转化为字符计算注意这里未转化为字符计算 C=rref(B) C=rref(B) C=rref(B) C=rref(B) % %用初等行变换把用初等行变换把B B化为行最简形化为行最简形 C = C = C = C = 1.0000 0 0 0.7500 1.2500 1.0000 0 0 0.7500 1.2500 1.0000 0 0 0.7500 1.2500 1.0000 0 0 0.7500 1.2500 0 1.0000 0 -1.7500 -0.2500 0 1.0000 0 -1.7500 -0.2500 0 1.0000 0 -1.7500 -0.2500 0 1.0000 0 -1.7500 -0.2500 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 右图表示的交通网络右图表示的交通网络中，每条路都是单行线。中，每条路都是单行线。图中数字表示该条路的图中数字表示该条路的车流数。设每个路口车流数。设每个路口进进入和离开车辆数相等入和离开车辆数相等。 (1) 建立确定每条道路流量的线性方程组；建立确定每条道路流量的线性方程组； (2) 写出该线性方程组对应的系数矩阵和增广矩阵；写出该线性方程组对应的系数矩阵和增广矩阵； (3) 分析哪些流量数据是多余的分析哪些流量数据是多余的? (4) 为唯一确定流量，需增添哪些观测道路？为唯一确定流量，需增添哪些观测道路？思考题：交通网络流量分析问题思考题：交通网络流量分析问题300500150180350160220300100290400150x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12300500150180350160220300100290400150x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12思考题：交通网络流量分析问题思考题：交通网络流量分析问题（1）建立确定每条道路流量的线性方程组；）建立确定每条道路流量的线性方程组； x1+x7 = 400 x1+x9 = 300 +x2 图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。x2+100 = x11+300 x3+x7 = x8+350 x4+x10 = x3+x9 500+x11 = x4+x12 x5+x8 = 310 x6+400 = x5+x10 x12+150 = x6+290 网络中的每个变量在方程组网络中的每个变量在方程组中，只出现两次。一中，只出现两次。一次是离开某路口；一次是进次是离开某路口；一次是进入另一个路口。入另一个路口。x1+x9 = 300 +x2 300500150180350160220300100290400150x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12思考题：交通网络流量分析问题思考题：交通网络流量分析问题（1）建立确定每条道路流量的线性方程组；）建立确定每条道路流量的线性方程组； x1+x7 = 400 x1 x2 +x9 = 300 图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。x2+100 = x11+300 x3+x7 = x8+350 x4+x10 = x3+x9 500+x11 = x4+x12 x5+x8 = 310 x6+400 = x5+x10 x12+150 = x6+290 x2 x11 = 200 x3+x7 x8= 350 x3 +x4 x9 +x10= 0 x4 + x11 x12 = 500 x5 + x6 x10 = 400 x6 +x12 = 140 网络中的每个变量在方程组网络中的每个变量在方程组中，只出现两次。一中，只出现两次。一次是离开某路口；一次是进次是离开某路口；一次是进入另一个路口。入另一个路口。x1+x9 = 300 +x2 思考题：交通网络流量分析问题思考题：交通网络流量分析问题（2）写出该线性方程组对应的系数矩阵）写出该线性方程组对应的系数矩阵x1+x7 = 400 x1 x2 +x9 = 300 图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。x2+100 = x11+300 x3+x7 = x8+350 x4+x10 = x3+x9 500+x11 = x4+x12 x5+x8 = 310 x6+400 = x5+x10 x12+150 = x6+290 x2 x11 = 200 x3+x7 x8= 350 x3 +x4 x9 +x10= 0 x4 + x11 x12 = 500 x5 + x6 x10 = 400 x6 +x12 = 140 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x121 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 00 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1思考题：交通网络流量分析问题思考题：交通网络流量分析问题（2）写出该线性方程组对应的系数矩阵）写出该线性方程组对应的系数矩阵图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x121 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 00 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1思考题：交通网络流量分析问题思考题：交通网络流量分析问题（2）写出该线性方程组对应的系数矩阵）写出该线性方程组对应的系数矩阵图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x121 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 00 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1右端向量右端向量 400 300 200 350 0 500 310 400 140b =思考题：交通网络流量分析问题思考题：交通网络流量分析问题（2）写出该线性方程组对应的）写出该线性方程组对应的增广增广系数矩阵系数矩阵图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x121 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 00 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 400 300 200 350 0 500 310 400 140b =b 400 300 200 350 0 500 310 400 140第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 A=sym(1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0; 1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0; 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0; 0,0,1,0,0,0,1, -1,0,0,0,0; 0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,1,0,0; 0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,-1; 0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0; 0,0,0,0,-1,1,0,0,0,-1,0,0; 0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1); %函数函数sym将数值矩阵转换为符号矩阵将数值矩阵转换为符号矩阵,便于精确计算便于精确计算 b=sym(400; 300; 200; 350; 0;-500;310;-400;140); B=A,b; %增广矩阵增广矩阵 C=rref(B) C=rref(B) %用初等行变换把用初等行变换把B化为行简化阶梯阵化为行简化阶梯阵 C=1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 500 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 200 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 500 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 500 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 260 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 -140 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 0 -100 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0x1+x9 = 300 +x2 300500150180350160220300100290400150x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12思考题：交通网络流量分析问题思考题：交通网络流量分析问题（1）建立确定每条道路流量的线性方程组；）建立确定每条道路流量的线性方程组； x1+x7 = 400 x1 x2 +x9 = 300 图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。x2+100 = x11+300 x3+x7 = x8+350 x4+x10 = x3+x9 500+x11 = x4+x12 x5+x8 = 310 x6+400 = x5+x10 x12+150 = x6+290 x2 x11 = 200 x3+x7 x8= 350 x3 +x4 x9 +x10= 0 x4 + x11 x12 = 500 x5 + x6 x10 = 400 x6 +x12 = 140 (3)分析哪些流量数据是多余的分析哪些流量数据是多余的? 多余的方程多余的方程可去掉可去掉第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 A1=A(1:8,:); %取矩阵取矩阵A的前八行元素的前八行元素 b1= b(1:8,:); %取列向量取列向量b的前八行元素的前八行元素 B1=A1,b1; %去掉第九个节点方程后的增广矩阵去掉第九个节点方程后的增广矩阵 C1=rref(B1) C1=rref(B1) %用初等行变换把用初等行变换把B化为行简化阶梯阵化为行简化阶梯阵 C=1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 500 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 200 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 500 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 500 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 260 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 -140 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 0 -100 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 50主列主列非主列非主列x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12自由未知量自由未知量第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 C=1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 500 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 200 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 500 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 500 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 260 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 -140 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 0 -100 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 1 50x1= 500 x9 +x11x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12x2= 200 +x11x3= 500 x9 +x10+x11 x12 x4= 500 +x11 x12 x5= 260 x10 + x12 x6= 140 + x12 x7= 100+x9 x11 自由未知量自由未知量x8= 50 +x10 x12 x1+x9 = 300 +x2 300500150180350160220300100290400150x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12思考题：交通网络流量分析问题思考题：交通网络流量分析问题（1）建立确定每条道路流量的线性方程组；）建立确定每条道路流量的线性方程组； x1+x7 = 400 x1 x2 +x9 = 300 图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。x2+100 = x11+300 x3+x7 = x8+350 x4+x10 = x3+x9 500+x11 = x4+x12 x5+x8 = 310 x6+400 = x5+x10 x12+150 = x6+290 x2 x11 = 200 x3+x7 x8= 350 x3 +x4 x9 +x10= 0 x4 + x11 x12 = 500 x5 + x6 x10 = 400 x6 +x12 = 140 多余的方程多余的方程(4)为为唯一唯一确定未知流量，需要确定未知流量，需要增增添添哪几条道路的流量统计哪几条道路的流量统计 x9 x10 x11 x12