C2 不可压缩无粘性流体平面势流不可压缩无粘性流体平面势流C2 不可压缩无粘性流体平面势流不可压缩无粘性流体平面势流C2.1 引言引言伯努利积分伯努利积分解解 法法基本解基本解拉普拉斯方程拉普拉斯方程平面势流平面势流概概 念念无粘流无粘流应应 用用理理 论论无旋流无旋流绕圆柱流动绕圆柱流动绕机翼流动绕机翼流动水波运动水波运动机翼升力、诱导阻力机翼升力、诱导阻力复复 势势 理理 论论平面不可压缩平面不可压缩叶栅理论叶栅理论实实 际际欧拉运动方程欧拉运动方程速度势函数速度势函数流函数流函数速度场速度场压强场压强场第1页，共20页。C2.2 一般概念一般概念C2 不可压缩无粘性流体平面势流不可压缩无粘性流体平面势流1. 欧拉运动方程欧拉运动方程 （无粘）（无粘）兰姆兰姆葛罗米柯方程葛罗米柯方程（无粘（无粘)2. 欧拉积分（无粘、无旋欧拉积分（无粘、无旋 正压、重力正压、重力 、定常）、定常）伯努利积分（无粘、无旋伯努利积分（无粘、无旋不可压、重力、定常）不可压、重力、定常）常数 (全流场）全流场）常数 （全流场）（全流场）3. 斯托克斯定理斯托克斯定理（封闭曲线、涡束）（封闭曲线、涡束）4. 开尔文定理（无粘开尔文定理（无粘 正压、有势力）正压、有势力）（沿封闭流体线）（沿封闭流体线）第2页，共20页。C2.3 速度势与流函数速度势与流函数C2 不可压缩无粘性流体平面势流不可压缩无粘性流体平面势流名称名称 : 势函数势函数 流函数流函数 条件条件: 无旋流无旋流 平面不可压缩流平面不可压缩流引入引入:定义定义:等值线等值线: =C (等势线等势线) =C (流线）流线）性质性质: 等势线与速度垂直等势线与速度垂直 流线与等势线正交流线与等势线正交第3页，共20页。 例例C2.3.2 C2.3.2 9090角域流的速度势和流函数角域流的速度势和流函数 已知已知: : 9090角域流的速度分布式为：角域流的速度分布式为：u u= =kx,vkx,v=-=-k ky y（k k为常数）。为常数）。 求：求：（1 1）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图；）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图； （2 2）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图；）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图； 解：解：（1 1）先计算速度旋度）先计算速度旋度 上式中上式中C C为常数。速度势函数为为常数。速度势函数为 说明流场是无旋的，存在速度势说明流场是无旋的，存在速度势( (x x, , y y) )，由（，由（C2.3.2C2.3.2）式）式 (a)等势线方程为等势线方程为x x2 2- -y y2 2= =常数，在常数，在xyxy平面上是分别以第一、三象限角平分线和第二、平面上是分别以第一、三象限角平分线和第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如图四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如图CE2.3.2CE2.3.2中的虚线所示。中的虚线所示。 第4页，共20页。（2 2）再计算速度散度）再计算速度散度 说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数( (x,yx,y) )，由（，由（C2.3.11C2.3.11）式）式 上式中上式中C C为常数，流函数为为常数，流函数为 流线方程为流线方程为xyxy= =常数，在常数，在xyxy平面上是分别以平面上是分别以x x, ,y y轴为渐近线的双曲线族，如图轴为渐近线的双曲线族，如图CE2.3.2CE2.3.2中的实线所示。中的实线所示。x x, ,y y轴也是流线，称其为零流线。流线族与等势线族正交。轴也是流线，称其为零流线。流线族与等势线族正交。 (b)第5页，共20页。C2 不可压缩无粘性流体平面势流不可压缩无粘性流体平面势流平面势流平面势流平面流平面流存在速度势存在速度势无旋流无旋流不可压缩不可压缩存在流函数存在流函数C2.4 平面势流与基本解平面势流与基本解 挑选一些基本解挑选一些基本解i(i)，叠加后若满足边界条件即是所求之解。，叠加后若满足边界条件即是所求之解。第6页，共20页。C2.4.1 均流均流C2 不可压缩无粘性流体平面势流不可压缩无粘性流体平面势流物理背景物理背景 全流场以等速全流场以等速(U)做平行直线流动做平行直线流动速度分布速度分布势函数势函数流函数流函数第7页，共20页。C2.4.2 点源与点汇点源与点汇C2 不可压缩无粘性流体平面势流不可压缩无粘性流体平面势流物理背景物理背景 点源（点源（Q 0）：流体从一点均匀地流向各方向；）：流体从一点均匀地流向各方向； 点汇（点汇（Q 0）：流体从各方向均匀地流入一点。）：流体从各方向均匀地流入一点。当源汇位于原点当源汇位于原点O，势函数和流函数为，势函数和流函数为速度分布式为速度分布式为第8页，共20页。C2.4.3 点涡点涡C2 不可压缩无粘性流体平面势流不可压缩无粘性流体平面势流物理背景物理背景 与平面垂直的直涡线（强度为与平面垂直的直涡线（强度为）诱导的流场。）诱导的流场。当点涡位于原点当点涡位于原点O，势函数和流函数为，势函数和流函数为速度分布式为速度分布式为第9页，共20页。C2.4.4 偶极子偶极子C2 不可压缩无粘性流体平面势流不可压缩无粘性流体平面势流当偶极子位于原点当偶极子位于原点等势线等势线=C流线流线 =C物理背景物理背景 点源点汇无限接近点源点汇无限接近(0)形成的流场。形成的流场。 （偶极矩（偶极矩M = Q= 常数，源常数，源汇）汇）第10页，共20页。 例例C2.4.4 C2.4.4 兰金半体绕流：均流兰金半体绕流：均流+ +点源点源已知已知: : 位于原点的强度为位于原点的强度为Q Q（Q Q0 0）的点源与沿）的点源与沿x x方向速度为方向速度为U U的均流叠的均流叠 加成一平面流场。加成一平面流场。求：求： （1 1）流函数与速度势函数；（）流函数与速度势函数；（2 2）速度分布式；（）速度分布式；（3 3）流线方程；）流线方程； （4 4）画出零流线及部分流线图。）画出零流线及部分流线图。解：解： （1 1）流函数与速度势函数的极坐标形式分别为）流函数与速度势函数的极坐标形式分别为 （2 2）速度分布式为）速度分布式为 （3 3）流线方程为）流线方程为 常数常数C C取不同值代表不同的流线，其中零流线的一部分为该流场绕流物体的轮廓线。取不同值代表不同的流线，其中零流线的一部分为该流场绕流物体的轮廓线。(a)(d)(c)(b)(e)第11页，共20页。通过驻点通过驻点A A（- -b b,0,0）的右半部分零流线由）的右半部分零流线由A A点的流函数值决定点的流函数值决定 （4 4）零流线的左半支是负）零流线的左半支是负x x轴的一部分（轴的一部分（=），驻点），驻点A A（- -b b,0,0）由）由 （c c）式决定）式决定零流线方程为零流线方程为 零流线及部分流线如图零流线及部分流线如图CE2.4.4CE2.4.4所示，右半部分所围区域称为兰金所示，右半部分所围区域称为兰金(Rankine)(Rankine)半体，在无穷半体，在无穷远处远处00和和22，零流线的两支趋于平行。，零流线的两支趋于平行。由（由（g g）式可确定两支距）式可确定两支距x x轴的距离分别为轴的距离分别为 (f)(g)第12页，共20页。C2.5 绕圆柱的平面势流绕圆柱的平面势流C2.5.1 无环量圆柱绕流无环量圆柱绕流C2 不可压缩无粘性流体平面势流不可压缩无粘性流体平面势流一、求解流场一、求解流场均均 流流求流函数求流函数偶极子偶极子同理同理基本解叠加基本解叠加边界条件边界条件 圆柱面为零流线圆柱面为零流线第13页，共20页。C2.5.1 无环量圆柱绕流无环量圆柱绕流二、流场分析二、流场分析1. 速度分布速度分布在圆柱面在圆柱面(S)上上2. 圆柱面上压强分布圆柱面上压强分布表面压强系数表面压强系数3. 压强合力压强合力 Fx=0（达朗贝尔佯缪），（达朗贝尔佯缪），Fy=0第14页，共20页。C2.5.2 有环量圆柱绕流有环量圆柱绕流C2 不可压缩无粘性流体平面势流不可压缩无粘性流体平面势流在无环量圆柱绕流流场中再叠加一个点涡（顺时针）在无环量圆柱绕流流场中再叠加一个点涡（顺时针）一、求解流场一、求解流场二、流场分析二、流场分析1. 速度分布速度分布在圆柱面在圆柱面(S)上上第15页，共20页。C2.5.2 有环量圆柱绕流有环量圆柱绕流2. 求解驻点位置求解驻点位置(cr)3. 表面压强系数表面压强系数|4aU 无驻点无驻点(自由驻点自由驻点)4. 压强合力压强合力Fy=U升力公式升力公式Fx=0,第16页，共20页。C2.6 绕机翼的平面势流绕机翼的平面势流C2.6.1 儒可夫斯基升力定理儒可夫斯基升力定理C2 不可压缩无粘性流体平面势流不可压缩无粘性流体平面势流FL=U式中式中U为来流速度矢量，为来流速度矢量，为环量矢量（按右手法则确定方向）为环量矢量（按右手法则确定方向）C2.6.2 库塔条件库塔条件绕翼型产生环量的四个阶段绕翼型产生环量的四个阶段1)运动前（运动前（=0）2) 运动后（开尔文定理）运动后（开尔文定理）3) 环量大小（库塔条件）环量大小（库塔条件）4) “起动涡起动涡”和和“附着附着涡涡”将有环量圆柱绕流的升力公式推广到对任意形状截面的绕流将有环量圆柱绕流的升力公式推广到对任意形状截面的绕流第17页，共20页。C2.6.3 机翼升力机翼升力C2 不可压缩无粘性流体平面势流不可压缩无粘性流体平面势流1.机翼升力机翼升力 2. 压强分布压强分布3. 翼型翼型第18页，共20页。C2.6.3 机翼升力机翼升力C2 不可压缩无粘性流体平面势流不可压缩无粘性流体平面势流4. 升力系数升力系数5. 有限翼展有限翼展第19页，共20页。C2.7 叶栅中的升力定理叶栅中的升力定理C2 不可压缩无粘性流体平面势流不可压缩无粘性流体平面势流1.叶栅概念叶栅概念平均速度平均速度y方向分力方向分力环量环量伯努利方程伯努利方程x方向分力方向分力动量方程动量方程合力合力2. 计算叶片升力计算叶片升力第20页，共20页。