第第1 1- -3 3节节 行列式的性质行列式的性质【性质性质1 1】行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。称为称为D的的转置行列式。转置行列式。将将D的行与列互换的行与列互换后的行列式记为：后的行列式记为：证明：证明：则则由行列式定义由行列式定义 【注注】行列式中行与列地位相同，对行成立的性质，对列也行列式中行与列地位相同，对行成立的性质，对列也同样成立，反之亦然。同样成立，反之亦然。 【性质性质2 2】互换行列式的两行互换行列式的两行 (列列) ，行列式的值变号。，行列式的值变号。证明：证明：设设:交换交换 s、t 两行，得：两行，得：第 s 行行第 t 行行由行列式定义可知：由行列式定义可知：交换交换s、t 两行记为：两行记为：交换交换s、t 两列记为：两列记为： 记号记号【推论推论】如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)相同，则其值为相同，则其值为 0 。证明：证明： 把相同的两行互换，有把相同的两行互换，有DD，所以，所以 D0【性质性质3 3】用数用数 k 乘行列式的某一行乘行列式的某一行(列列)中的所有元素，中的所有元素，等于用数等于用数 k 乘该行列式。乘该行列式。证明：记证明：记左边左边 【推论推论】行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式的符号外面。行列式的符号外面。 【推论推论】若行列式有两行（列）的对应元素成比例，若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于则行列式等于0 。【性质性质4 4】即：如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行即：如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外都与原来行列式的列式的和，而这两个行列式除这一行以外都与原来行列式的对应的行一样。对应的行一样。左边左边右边右边 对于列而言有同样的结果：对于列而言有同样的结果： 【性质性质5 5】将行列式某一行（列）所有元素的将行列式某一行（列）所有元素的 k倍乘倍乘以同加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不以同加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。变。证明：证明：作作记号记号第第 t 行的行的k倍加到第倍加到第 s 行上：行上：第第 t 列的列的k倍加到第倍加到第 s 列上：列上：得：得：例例1 计算计算【注注】计算行列式常用方法：利用运算：计算行列式常用方法：利用运算：把行列式化为三角形行列式，从而算得行列式的值把行列式化为三角形行列式，从而算得行列式的值解：解：例例2 2 计算：计算：解解：例例3 3 计算计算 阶行列式阶行列式解：解：将第将第 列都加到第一列得：列都加到第一列得：例例4 4 若若n阶行列式的元素满足：阶行列式的元素满足：试证：当试证：当 n 为奇数时，此行列式为零。为奇数时，此行列式为零。证明证明：由此：由此：结论结论：奇数阶的反对称行列式等于零。：奇数阶的反对称行列式等于零。每一行提出每一行提出共共n个个例例5 5 求求解：解： 解：解：将第一行分别加到第将第一行分别加到第2, 3, , n行，有：行，有：习题：习题：1、计算、计算2、计算、计算