9 9. .7 7抛物线抛物线知识梳理考点自测1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的_的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的,直线l叫做抛物线的.2.抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为;(2)顶点在坐标原点,焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为;(3)顶点在坐标原点,焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为;(4)顶点在坐标原点,焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为.距离相等 焦点 准线 y2=2px(p0) y2=-2px(p0) x2=2py(p0) x2=-2py(p0) 知识梳理考点自测3.抛物线的几何性质 (0,0) y=0 x=0 知识梳理考点自测1 知识梳理考点自测1.设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则(4)以AB为直径的圆与准线相切.(5)CFD=90.知识梳理考点自测2.设P(x0,y0)为圆锥曲线C:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上的任意一点,则过点P的切线方程为3.抛物线y2=2px(p0)的通径长为2p.知识梳理考点自测234151.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(5)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)知识梳理考点自测234152.(2017江西新余一中模拟七,理5)已知抛物线y=ax2(a0)的焦点到准线距离为1,则a=()A.4B.2 答案解析解析关闭 答案解析关闭知识梳理考点自测23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭知识梳理考点自测234154.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为. 答案解析解析关闭设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x. 答案解析关闭y2=4x知识梳理考点自测234155.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为. 答案解析解析关闭 答案解析关闭考点1考点2考点3考点4考点5例1(1)(2017安徽模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则AOB的面积为()(2)(2017辽宁大连双基测试)若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则OFP的面积为() 答案解析解析关闭 答案解析关闭考点1考点2考点3考点4考点5思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题?解题心得解题心得1.由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.2.注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离考点1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练1(1)(2017河南濮阳一模)抛物线y2=2px(p0)的焦点为圆x2+y2-6x=0的圆心,过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于M,N两点,则|MN|=()A.30 B.25C.20 D.15 答案解析解析关闭 答案解析关闭考点1考点2考点3考点4考点5例2(1)(2017安徽合肥一模)已知双曲线 -x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积为1,则p的值为()(2)(2017宁夏石嘴山第三中学模拟)如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为()答案: (1)B(2)D 考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?解题心得解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).2.抛物线几何性质的确定,由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.考点1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练2(1)(2017宁夏银川模拟)直线l过抛物线x2=2py(p0)的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是6,AB的中点到x轴的距离是1,则此抛物线方程是()A.x2=12yB.x2=8yC.x2=6yD.x2=4y(2)(2017广西玉林、贵港一模)已知椭圆 与抛物线y2=2px(p0)交于A,B两点,|AB|=2,则p=. 答案解析解析关闭 答案解析关闭考点1考点2考点3考点4考点5 (2)(2017全国,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为() A.16 B.14 C.12 D.10 答案: (1)C(2)A 考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5思考求与抛物线有关的最值问题的一般思路是怎样的?解题心得解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.考点1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练3(1)(2017江西赣州模拟)若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的点M的坐标为()(2)(2017河北邢台摸底)已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是. 答案解析解析关闭(1)过点M作抛物线y2=2x左准线的垂线,垂足是N(图略),则|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,当A,M,N三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值,此时点M的坐标为(2,2).(2)依题意,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1作垂线,垂足为M1(图略),则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,则|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值是5. 答案解析关闭(1)D(2)5考点1考点2考点3考点4考点5例4(1)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若FAC=120,则圆的方程为.(2)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 (a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5思考求解抛物线与其他圆锥曲线的小综合问题要注意什么?解题心得解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的小综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.考点1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练4(1)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x(2)(2017山西太原二模)已知双曲线 -y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p0)的焦点,直线y=kx+m与抛物线交于A,B两个不同的点,点M(2,2)是AB的中点,则OAB(O为坐标原点)的面积是()答案: (1)C(2)D 考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5例5(2017安徽安庆二模,理20)已知抛物线x2=2py(p0),F为其焦点,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,过点B作x轴的垂线,交直线OA于点C,如图所示.(1)求点C的轨迹M的方程;(2)直线m是抛物线的不与x轴重合的切线,切点为P,点C的轨迹M与直线m交于点Q,求证:以线段PQ为直径的圆过点F.考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5思考求解抛物线综合问题的一般方法是怎样的?解题心得解题心得求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p(焦点在x轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.考点1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练5(2017北京海淀区二模,理18)已知动点M到点N(1,0)和直线l:x=-1的距离相等.(1)求动点M的轨迹E的方程;(2)已知不与直线l垂直的直线l与曲线E有唯一公共点A,且与直线l的交点为P,以AP为直径作圆C.判断点N和圆C的位置关系,并证明你的结论.考点1考点2考点3考点4考点5解: (1)设动点M(x,y),则M的轨迹E是以N(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线,所以轨迹E的方程为y2=4x.(2)点N在以PA为直径的圆C上.证明如下:由题意可设直线l:x=my+n,因为直线l与曲线E有唯一公共点A,所以=16m2+16n=0,即n=-m2.所以(*)可化简为y2-4my+4m2=0.所以A(m2,2m).所以NANP,所以点N在以PA为直径的圆C上.考点1考点2考点3考点4考点51.认真区分四种形式的标准方程:(1)区分y=ax2与y2=2px(p0),前者不是抛物线的标准方程.(2)求抛物线标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程.2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.