第七章第七章 第二节第二节机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 向量的线性运算向量的线性运算二、向量的坐标表示二、向量的坐标表示一、向量的概念及线性运算一、向量的概念及线性运算二、向量的模与方向余弦二、向量的模与方向余弦向量的表示法向量的表示法: :向量的模向量的模 : : 向量的大小向量的大小, ,一、向量的概念一、向量的概念向量向量: :( (又称又称矢量矢量). ). 既有既有大小大小, , 又有又有方向方向的量称为向的量称为向量量向径向径 ( (矢径矢径):):自由向量自由向量: :与起点无关的向量与起点无关的向量. .起点为原点的向量起点为原点的向量. .单位向量单位向量: : 模为模为 1 1 的向量。的向量。零向量零向量: :模为模为 0 的向量的向量, ,有向线段有向线段 M1 M2 , ,或或 a , ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意注意: : 如不特殊说明，以后讨论的向量都是自由向如不特殊说明，以后讨论的向量都是自由向量量规定规定: : 零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行 ; ;若向量若向量 a 与与 b大小相等大小相等, , 方向相方向相同同, , 则称则称 a 与与 b 相相等等, ,记作记作 ab ; ;若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反, , 则称则称 a 与与 b 平行平行, , ab ; ;与与a 的模相同的模相同, , 但方向相反的向量称为但方向相反的向量称为 a 的的负向量负向量, ,记作记作因平行向量可平移到同一直线上因平行向量可平移到同一直线上, , 故两向量平行又称故两向量平行又称 两向量两向量共线共线 . .若若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上个向量经平移可移到同一平面上 , ,则则称此称此k个个向量向量共面共面 . .记作记作a ; ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 1. 向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则: :平行四边形法则平行四边形法则: :运算规律运算规律 : : 交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加 . .机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2. 向量的减法向量的减法三角不等式三角不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 3. 向量与数的乘法向量与数的乘法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 数乘符合下列运算规律：数乘符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：1. 1. 某向量的单位向量某向量的单位向量按照向量数乘的定义，按照向量数乘的定义，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 2. 向量的共线向量的共线 若一组向量平行于同一条直线（认为零向量平若一组向量平行于同一条直线（认为零向量平行于任何一条直线），则称它们是共线的，这组向行于任何一条直线），则称它们是共线的，这组向量也称共线向量（或平行向量）量也称共线向量（或平行向量）几个常用概念：几个常用概念：证明：证明：充分性：充分性：显然。显然。定理定理1:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 必要性：必要性：结论成立结论成立机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 两式相减，得两式相减，得例例1:1:试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形. .证证与与 平行且相等。平行且相等。 结论得证结论得证. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3 3、向量在轴上的投影与投影定理、向量在轴上的投影与投影定理空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 或或说明：说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零。投影为零。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1）证证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（3 3）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 空间一点在平面上的投影空间一点在平面上的投影机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 空间一向量在平面上的投影空间一向量在平面上的投影三、向量的坐标表示三、向量的坐标表示 在空间直角坐标系下，起点在坐标原点的向量在空间直角坐标系下，起点在坐标原点的向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为向径。称为向径。向量，向量，任意向量任意向量 r 可用向径可用向径 OM 表示表示. .因为，我们所讨论的向量都是自由因为，我们所讨论的向量都是自由所以，在空间直角坐标系下所以，在空间直角坐标系下, , 下面我们就来讨论向径在下面我们就来讨论向径在 OM 直角坐标系下的直角坐标系下的坐标表示。坐标表示。设点设点则则沿三个坐标轴方向的沿三个坐标轴方向的分向量分向量. .M M 的坐标为的坐标为此式称为向量此式称为向量 r 的的坐标分解式坐标分解式 , ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为向量称为向量 r 的的坐标坐标 。向量线性运算的坐标表示向量线性运算的坐标表示机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例如：例如：说明：说明： 解解设设为直线上的点，为直线上的点，由题意知：由题意知：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解正确答案是：正确答案是：(4)半径为半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时的圆周沿直线无滑动地滚动时 , ,点击图中任意点动画开始或暂停点击图中任意点动画开始或暂停其上一其上一定点的轨迹称为摆线定点的轨迹称为摆线. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2a2 a0yx ataa机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 a解：解：故摆线的方程为故摆线的方程为四、向量的模与方向余弦四、向量的模与方向余弦空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可取它们的夹角可取0与与 之间任意取值之间任意取值. .设设机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式 方向角与方向余弦方向角与方向余弦与与三坐标轴三坐标轴方向角的余弦称为方向角的余弦称为方向余弦方向余弦. . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的夹角的夹角 , , , , 方向角：方向角：方向余弦：方向余弦： 称为其称为其方向角。方向角。方向余弦的性质方向余弦的性质（2）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 （1 1）解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）五、小结五、小结向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标. .向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式. .（注意分向量与向量的坐标的区别）（注意分向量与向量的坐标的区别）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 习题习题6-2(P10) 4 , 8, 11, 13, 16作业：作业：解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 备用题备用题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解解：解：3.3.设设求以求以向量向量为边的平行四边形的对角线的长度为边的平行四边形的对角线的长度 . . 该平行四边形的对角线的长度各为该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为对角线的长为机动 目录 上页 下页 返回 结束