作作作作业业业业1第六章第六章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析 6-1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念 6-2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 6-3 单一元件的电流电压关系单一元件的电流电压关系 6-4 相量法分析正弦稳态电路相量法分析正弦稳态电路 6-5 相量图法分析正弦稳态电路相量图法分析正弦稳态电路 6-6 正弦稳态电路中的功率正弦稳态电路中的功率 6-7 正弦稳态电路中的谐振正弦稳态电路中的谐振作作作作业业业业26-1 6-1 6-1 6-1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念正弦量的基本概念正弦量的基本概念所谓正弦交流电，一般指随时间按正弦规律周期性变化所谓正弦交流电，一般指随时间按正弦规律周期性变化的电压、电流，并把它们统称为正弦量。用小写字母的电压、电流，并把它们统称为正弦量。用小写字母u、i表表示。示。一、一、正弦量的三要素正弦量的三要素正弦量用三角函数表示：正弦量用三角函数表示：i=Imsin(t+i)u=Umsin(t+u) 称为幅值或最大值称为幅值或最大值 称为角频率称为角频率 称为初相位或初相角称为初相位或初相角角频率、幅值和初相位角频率、幅值和初相位描述正弦量变化的描述正弦量变化的快慢、最大值快慢、最大值及初始位置及初始位置三个方面的特征，是确定正弦量的三个方面的特征，是确定正弦量的三要素三要素。ImUmiu正弦量用波形图表示正弦量用波形图表示作作作作业业业业31周期（频率）与角频率周期（频率）与角频率正弦量变化一次所需要的时间称为正弦量变化一次所需要的时间称为周期周期T，单位，单位为秒（为秒（s）。）。每秒时间内重复变化的次数，称为每秒时间内重复变化的次数，称为频率频率f, 单位为单位为赫兹（赫兹（Hz），频率为周期的倒数，即），频率为周期的倒数，即f=1/T 。正弦量每秒时间内变化的弧度称为正弦量每秒时间内变化的弧度称为角频率角频率，单，单位为弧度位为弧度/秒（秒（rad/s）。）。T、f和和都能反映正弦量变化的快慢，三者的关都能反映正弦量变化的快慢，三者的关系为系为 =2/T=2f三者之间只要知道其中一个，就可求出其它两三者之间只要知道其中一个，就可求出其它两个。个。作作作作业业业业42瞬时值与有效值瞬时值与有效值正弦量在每一瞬间的数值称为正弦量在每一瞬间的数值称为瞬时值瞬时值，用，用u、i表示。最大表示。最大的瞬时值称为的瞬时值称为幅值或最大值幅值或最大值，用，用Um、Im表示。表示。瞬时值和最大值是指正弦量某一瞬间的数值，不能用来瞬时值和最大值是指正弦量某一瞬间的数值，不能用来表示正弦量的大小。表示正弦量的大小。正弦量的大小工程上规定用正弦量的大小工程上规定用有效值有效值I 表示表示,它是根据正弦它是根据正弦电流和直流电流的热效应相等来规定的。电流和直流电流的热效应相等来规定的。周期变化交流电周期变化交流电有效值有效值:正弦量的正弦量的有效值有效值 I= =0.707Im U= =0.707Um=假定在相同时间假定在相同时间T内内作作作作业业业业53相位与初相位相位与初相位正弦量随时间变化的电角度正弦量随时间变化的电角度(t+)称为相位或相位角，称为相位或相位角，代表了正弦交流电的变化进程。代表了正弦交流电的变化进程。t=0时的相位称为初相位或初相角，用时的相位称为初相位或初相角，用表示。表示。的大小和符号决定了正弦量计时起点和初始值。的大小和符号决定了正弦量计时起点和初始值。 =0 0(+2n) -(+2n)0初始值为零，初始值为零，称参考正弦量。称参考正弦量。初始值为正初始值为正初始值为负初始值为负作作作作业业业业6二、二、正弦量的相位差正弦量的相位差任意两个同频率的正弦量在相位上的差值称为相位差，任意两个同频率的正弦量在相位上的差值称为相位差，用字母用字母表示。表示。例如，例如，u=Umsin(t+u)，i=Imsin(t+i) ， = (t+u)-(t+i)= u-i 。相位差等于两个同频率正弦量相位差等于两个同频率正弦量初相位之差初相位之差，其物理意义，其物理意义在于表示两个同频率正弦量随时间变化步调上的先后。在于表示两个同频率正弦量随时间变化步调上的先后。=0 u-i0或或i-u0X0，电路中电感的作用大于，电路中电感的作用大于电容；当电容；当 X0X0 0 =0u超前超前i u滞后滞后i ui同相同相XLXC XLXC XL= =XC ULUC ULUC UL= =UC作作作作业业业业26三、三、相量法应用举例相量法应用举例例例1 1：已知：已知US=400，求电路的，求电路的I I、I IC C、I IL L并确定电路性质。并确定电路性质。解：电路入端阻抗为：解：电路入端阻抗为： Z Z1 1=1.5 =1.5 Z Z2 2=j1 =j1 Z Z3 3=1-j2 =1-j2 Z=Z Z=Z1 1+ + Z Z2 2/ Z Z3 3 电路中电流：电路中电流：由计算结果可知由计算结果可知:=36.9 0 , 电路为感性，电路为感性，u超前超前i 。 ILI，这在直流电路是不会发生的。这在直流电路是不会发生的。 + + 12 = =+ += =- -+ += =9 .365 . 25 . 12j115 . 1jj A A- - = = = = = 9 .36169 .365 . 2040SZUIAA- - = =- -= = 3 .553 .25CLIII作作作作业业业业27例例2 2：已知：已知RLCRLC并并联电路中路中R=10,L=48mH,C=397FR=10,L=48mH,C=397F。电源源U=120V,f=50Hz,U=120V,f=50Hz,求求电流流I IR R、I IL L、I IC C及及i i并画相量并画相量 图，说明明电路性路性质。 解：解：设 I=IR+IL+IC=12+j7=13.930.3A = 电路路为容性容性-30.3电流三角形电流三角形( (直角直角) )作作作作业业业业28例例3 3：在图示的正弦稳态电路中，已知在图示的正弦稳态电路中，已知U US S1 1=110V=110V， U US S2 2=100V =100V ，二者同相，二者同相，求支路电流求支路电流I I1 1、I I2 2、I I3 3。解：用解：用节点法求解，点法求解，设b为参考点参考点 Z Z1 1=1+j4=1+j4 Z Z2 2=2=2 Z Z3 3=6-j6=6-j6 作作作作业业业业296-5 6-5 6-5 6-5 相量图分析正弦稳态电路相量图分析正弦稳态电路相量图分析正弦稳态电路相量图分析正弦稳态电路用相量法分析电路的过程是利用相量，采用分析电路用相量法分析电路的过程是利用相量，采用分析电路的基本方法，列出相量式求解相量的过程。的基本方法，列出相量式求解相量的过程。适合于该方法的电路特点是已知激励相量（或物理量适合于该方法的电路特点是已知激励相量（或物理量的相量）和电路参数，求电路响应。的相量）和电路参数，求电路响应。当电路中各物理量的相位关系明确，用相量法分析电当电路中各物理量的相位关系明确，用相量法分析电路比较方便。当电路中各物理量的相位关系不十分明路比较方便。当电路中各物理量的相位关系不十分明确时，用相量法分析电路，过程比较复杂，而采用相确时，用相量法分析电路，过程比较复杂，而采用相量图法分析电路，会使分析较为方便。量图法分析电路，会使分析较为方便。所谓相量图法是利用相量图中各物理量的几何关系分所谓相量图法是利用相量图中各物理量的几何关系分析电路的一种方法。析电路的一种方法。作作作作业业业业30一、一、常用的相量图常用的相量图1.串串联电路路电压、阻抗三角形、阻抗三角形2.并并联电路路电流、流、导纳三角形三角形作作作作业业业业31二、二、应用用举例例例例1 1：试求求图中中A0和和V0。解：解：利用相量三角形利用相量三角形计算算(a)A0=14.1A(b)V0=80V(c)A0=(5-3)=2A(d)V0=14.1V(e)I0=10A V0=141V+U2-.作作作作业业业业32例例2 2：电路如路如图所示，已知所示，已知电压表表测得的数据分得的数据分别为U=36V, UR1=20V, U2=22.4V。且知且知R1=10，f=50Hz。试求参数求参数R和和XL。 解：解：I=UR1/R1=2A设 I=20A，画相量，画相量图根据余弦定理有根据余弦定理有 U2=UR12+U22-2UR1U2cos(180- ) =64 U2=22.4 64 =9.82+j20.2 V R=9.82/2=4.9 XL=20.2/2=10或或 R+XL=U2/I=4.9+j10作作作作业业业业33例例3 3：电路如路如图，已知，已知I1=10A,I2=102A,U=200V。R=5，R2=XL,求求电流流I，容抗，容抗XC,感抗感抗XL。解：解：设 Uab=Uab0V，画相量，画相量图由相量由相量图的几何关系确定的几何关系确定 I=I1=10A Uac =IR=50V Uab =U-Uac =200-50=150V XC= Uab /I1=15 Uab /I2= 2 XL R2=XL=7.510作作作作业业业业346-6 6-6 6-6 6-6 正弦稳态电路中的功率正弦稳态电路中的功率正弦稳态电路中的功率正弦稳态电路中的功率 正弦交流电路的负载是由电阻、电感和电容三元件组正弦交流电路的负载是由电阻、电感和电容三元件组合起来的无源网络。设网络端电压、电流、阻抗为合起来的无源网络。设网络端电压、电流、阻抗为 u= 2Usin(t+) i= 2Isint Z=Z=R+j(XR+j(XL L-X-XC C) )一一 瞬时功率瞬时功率 p=ui=UIcos-UIcos(2t+)1. 电压、电流和瞬时功率波形图电压、电流和瞬时功率波形图0tt0tt1 1时间内，时间内，p p0 0， 表明网络从电源取用功率。表明网络从电源取用功率。t t1 1ttt t2 2时间内，时间内，p p0 0， 网络中的储能元件释放功率，于是在电源和网络之间就网络中的储能元件释放功率，于是在电源和网络之间就形成了能量的往返交换。形成了能量的往返交换。 t t1 1到到t t2 2的时间的时间对应于对应于u与与i的相位差（的相位差（ ）。）。作作作作业业业业352.2.单一参数的瞬时功率（单一参数的瞬时功率（ p=ui=UIcos-UIcos(2t+)）当当=0，网网络等效等效为一个一个电阻阻R， pR=UI-UIcos2t ；当当=90，网网络等效等效为一个一个电感感L， pL=UIcos2t；当当=-90，网网络等效等效为一个一个电容容C， pL=-UIcos2t；同一同一时刻刻L、C吸收功率和吸收功率和释放功率的放功率的时间相反。相反。作作作作业业业业36一一 有功功率有功功率 在一周期内电路消耗的平均功率称为有功功率，即在一周期内电路消耗的平均功率称为有功功率，即 称称为功率因素，功率因素，称称为功率因素角。功率因素角。二二 无功功率无功功率 衡量衡量储能元件能量能元件能量转换的能力用无功功率的能力用无功功率Q表示。当表示。当电感和感和电容同容同时存在存在时 Q=QLQC= I2 (XLXC) = UI sin =UIcoscos作作作作业业业业37三三 视在功率视在功率 视在功率用于衡量供电设备的供电能力，它等于电路电视在功率用于衡量供电设备的供电能力，它等于电路电压压U U与电流与电流I I的乘积，单位为伏安，用的乘积，单位为伏安，用S S表示。即表示。即S=UIS=UI 视在功率的物理意在功率的物理意义：电源源(或或电路路)向向负载能能够输出的出的 最大功率最大功率Pmax=S。S、P、Q的关系：的关系： P=P=UIcosUIcos= =ScosScos Q= Q=UIsinUIsin= =SsinSsin S= PS= P2 2+Q+Q2 2 =UI =UI当当电路入接多个不同路入接多个不同cos的的负载： P=Pk（各（各负载有功功率之和）有功功率之和） Q=QkL -QkC （各（各负载无功功率代数之和）无功功率代数之和） S= P S= P2 2+Q+Q2 2 Sk （始（始终满足功率三角形）足功率三角形）cos作作作作业业业业38四四 复功率复功率 用相量表示功率称为复功率用相量表示功率称为复功率S S，它等于电路电压相量与电，它等于电路电压相量与电流相量共轭复数的乘积，即流相量共轭复数的乘积，即 S= UuI-i = S = P+jQ电路功率路功率计算的算的3个方法：个方法：(1)已知已知电路路电压、电流大小和相位差流大小和相位差 P=P=UIcosUIcos= =ScosScos Q= Q=UIsinUIsin= =SsinSsin S= PS= P2 2+Q+Q2 2 =UI =UI（2）已知）已知电路各路各负载功率功率 P=Pk Q=QkL -QkC S= P S= P2 2+Q+Q2 2（3 3）已知已知电路路电压相量与相量与电流相量流相量 S= UuI-i =S = P+jQ cos作作作作业业业业39例例2 2：电路如图，已知电路如图，已知R1=R2=XL1=XL2=100，两并联电路为，两并联电路为容性，其容性，其UAB=100 V、PAB=100W、cosAB= 。求。求( (1) )阻抗阻抗Z，( (2) )总电压相量，总电压相量，( (3）整个电路的）整个电路的cos、整个、整个电路的电路的P、Q和和S。 解解(1)设设UAB=100 0V Z2=R2+j XL2=10045 I2= =1-45A I1= =1A cosAB=45 I1=145A IZ=I1- I2= jA(2) U=I1(R1+XL1)+UAB=200 45V(3) cos=1 Q=0 S=P=UI1= 200VAZ= -j100 作作作作业业业业40例例1 1：计算算电路的功率路的功率P P、Q Q和和S S。已知。已知R1=R2 =R3=10，XL1=20，XL2=XC3=10，电压U=2200V，I1=7.78-45A，I2=5.5-90A， I 3=5.50A。解：方法解：方法1，U=220V，I1=7.78A ， = 0-（-45）=45 S=UI=2207.78=1712VA P=U I1cos=2207.78cos45=1210W Q= U I1sin=2207.78sin45=1210 Var 方法方法2， P1= I12R1=605.3 P2= I22R2=302.5 P3= I32R3=302.5 W Q1= I12XL1=1210.6 Q2= I22XL2=302.5 Q3=-I32 XC3=-302.5 Var P=P1+P2+P3= 1201W Q=Q1+Q2+ Q3= 1210Var S S = = P P 2 2+ +Q Q 2 2 =1712VA 方法方法3，S=22007.7845=171245=1201+j1201 P=1201W Q=1201Var S=1712VA 作作作作业业业业41例例3：电路如路如图,已知已知I1=I2=I,f=50Hz,U=100V,电路的功率路的功率 P=866W。试求求R、L、和、和C。解解: 设设U=1000V,作相量作相量图 根据根据相量相量图几何关系有几何关系有 3030作作作作业业业业42例例4 4：电路如路如图,已知已知I3=20A,I2=30A,U1=100 2V,U= 220V , 电路的功率路的功率P=1000W。试求求R、X1、X2 、X3的的值。解解: 设设U2=U20V,作相量作相量图 根据根据相量相量图几何关系有几何关系有 R=P/I12=10 U1 2 =(I1X1) 2+(I1R) 2 X1= 10 U2 +(I1X1) 2 +(I1R) 2 =U2 U2 =96V 作作作作业业业业43五五 功率因数的提高功率因数的提高 一般的用电设备，如感应电动机、感应炉、目光灯等都一般的用电设备，如感应电动机、感应炉、目光灯等都属于电感性负载，往往造成电路的功率因数较低。属于电感性负载，往往造成电路的功率因数较低。1. 提高功率因数的意提高功率因数的意义 对于容量一定的供于容量一定的供电设备，负载的的con大，出的大，出的P越大，越大，设备得到充分利用；得到充分利用；对输电线路来路来说，当，当电压U一定，一定，输送同一功率送同一功率P=UIcon时，con大大，I小小，则线路上路上电能能损失和失和压降就小。降就小。 提高提高con的意的意义在于：提高在于：提高发电、输电和配和配电设备的利用的利用率；减小率；减小输电线路路电能能损失和失和压降。降。作作作作业业业业442. 提高功率因数的方法提高功率因数的方法在感性在感性负载两端并上适当的两端并上适当的电容，利用容，利用电容器的无功功率容器的无功功率补偿感性感性负载的无功功率，在不改的无功功率，在不改变感性感性负载的前提下，提高的前提下，提高线路的功率因数。路的功率因数。设感性感性负载Z，已知，已知cos、P、接入、接入电压为U，频率率为f的的电路中。若将路中。若将线路的路的cos增加至增加至cos应该并多大的并多大的电容？容？设电源源电压为U=U 0作相量作相量图当当CICIcos, 当当=0,cos=1,此后此后CICIcos, 最后出最后出现coscos。作作作作业业业业45例例1：电路如图：电路如图,U=220V,f=50Hz,S断开时断开时cos=0.5, P=2kW, S合上后合上后, cos=0.866(感性感性), 求求R、L、C。解：解：作作作作业业业业46例例2：电容器与电感线圈并联电路如图：电容器与电感线圈并联电路如图, 已知已知R=131, 测得数测得数据如下。试计算三种情况下的电路的有功功率和功率因数据如下。试计算三种情况下的电路的有功功率和功率因数。 C(F） f(Hz) U(V) I(mA) IL(mA) IC(mA) 未接未接 200 10 15 15 1F 200 10 4.8 15 13.9 10F 200 10 113 15 128.2解：三种情况下解：三种情况下电路的有功功率相同路的有功功率相同 P=I2R=29.5mW 未接未接电容器容器时: C=1F时: C=10F时:作作作作业业业业476-7 6-7 6-7 6-7 正弦稳态电路中的谐振正弦稳态电路中的谐振正弦稳态电路中的谐振正弦稳态电路中的谐振 当电路当电路=0=0时时,U,U与与I I同相同相, ,电路发生串联谐振。电路发生串联谐振。一一 串联谐振串联谐振谐振条件谐振条件: : 主要特征主要特征1.Z1.Z0 0=R(=R(最小值）最小值） U=UU=UR R I I0 0=U/R(=U/R(最大值）最大值）2.P=UI2.P=UI0 0 Q=0 Q=0 3.X3.XL L=X=XC CR R U UL L=U=UC CU(U(称电压谐振称电压谐振) )4.4.品质因数品质因数Q Q作作作作业业业业484.4.品质因数品质因数Q Q品质因数越高，品质因数越高，UL=UC越大于外加电压越大于外加电压;品质因数越高，品质因数越高，选择性能越好。选择性能越好。 I当当=0 ,I0为谐振电流为谐振电流当当偏离偏离0后，后， 越大，越大，I越小越小当当 不变，不变，Q 越大，越大，I越小越小,选择选择性能越好。性能越好。对应于对应于I=0.707I0时的频率称为截止频率时的频率称为截止频率 ， f=2- 1称为通频带。通频带越窄，称为通频带。通频带越窄，选择性越好。选择性越好。下限截下限截止频率止频率上限截上限截止频率止频率作作作作业业业业49例例1：电路如图：电路如图,u1=10 2 sint V,R1=R2=50 ,当当LC 对对u1频频 率产生谐振时率产生谐振时,AB两端的电压两端的电压UAB为多少？如为多少？如果再串联一个电压源果再串联一个电压源U2=10V,此时此时UAB为多少？为多少？解：解：XAB=0,AB两点相当于短路两点相当于短路,UAB=0V 串串联U2后，由叠加原理可知：后，由叠加原理可知： u1单独作用独作用时，UAB=0V U2单独作用独作用时，UAB=5V UAB=UAB+UAB=5V作作作作业业业业50例例2：电路如图：电路如图,U=100V,I=1A,f=25Hz,P=100W,P1=50W,Q1=50Var,求求Z1、Z2、U1、U2和和f0。解：解：设Z1=r1+jX1, Z2=r2+jX2 Q=UI=100W=P 电路路发生串生串联谐振振 P2=P-P1=100-50=50W作作作作业业业业51例例3：已知电阻器：已知电阻器R=200与电容器与电容器C=10F及及L=500mH的的电感线圈串联的实验电路。在电源电压电感线圈串联的实验电路。在电源电压U一定的条件一定的条件下下,调整其频率调整其频率f,使使f=71Hz时，电流时，电流I最大。此时测出最大。此时测出U=10V, I=30.2mA, UR=6.04V,UC=3.96V,UL=6.77V。试确定电感线圈上的电阻试确定电感线圈上的电阻RL(电容器视为理想元件电容器视为理想元件)及及电路谐振频率电路谐振频率f0。解：解：电路路发生串生串联谐振振 f0=71Hz=作作作作业业业业52二二 并联谐振并联谐振谐振条件谐振条件( (X XL LRR):): 主要特征主要特征1.Z1.Z0 0= (= (最最大大值）值） 理想电感元件时，理想电感元件时，R=0R=0，Z Z0 0= I I0 0=U/=U/Z Z0 0 ( (最最小小值）值）2.P=UI2.P=UI0 0 Q=0 Q=0 3.X3.XL L=X=XC CR R I IL L I IC CI(I(称电流谐振称电流谐振) )4.4.品质因数品质因数Q Q作作作作业业业业53例例1：电路如图所示：电路如图所示,电源内阻和电感线圈的电阻均忽略不电源内阻和电感线圈的电阻均忽略不计。交流电源计。交流电源u的频率为的频率为f,现调节现调节L或或C使之谐振于使之谐振于f,这时这时AB两端电压两端电压uAB等于多少？等于多少？解：解： uAB=u作作作作业业业业54例例2：电路如路如图3.2.7(a)所示，已知，所示，已知，R1=R2= R3=10，XL1 =100，XL2=200，XC1=100，XC2=200，试求当开求当开关关S分分别合至合至6V和和10V电源源时， XL1 、XC1、及、及AB两端两端的的电压。 解：解：当开关当开关S合至合至6V电源源时 UAB= =2V UL1= 0 UC1= 2V 当开关当开关S合至合至10V电源源时 电路路发生生谐振振 UAB=10V UL1= UC1=0V教学重点教学重点1.单一元件的一元件的电路路计算算55作作作作业业业业教学重点教学重点2.相量法分析正弦相量法分析正弦稳态电路路56作作作作业业业业教学重点教学重点3.3.相量相量图法分析正弦法分析正弦稳态电路路 电压、阻抗、功率三角形、阻抗、功率三角形 电流流、导纳三角形三角形57作作作作业业业业教学重点教学重点串、并串、并联谐联谐振振58作作作作业业业业教学重点教学重点电电路性路性质质的的判断判断59作作作作业业业业教学重点教学重点功率因数的提高功率因数的提高 通通过负载两端并两端并适当适当电容可以提高容可以提高线路路的功率的功率因数。因数。 对线路路线路而言，并路而言，并电容前、后，容前、后，P没没变，I、Q、cos改改变。 对负载而言，并而言，并电容前、后，容前、后，P、IZ、QZ、 cosZ没没变。60作作作作业业业业6.15，6.18， 6.20， 6.356.26 6.32 6.22 6.27第六章作业：第六章作业：61