第二节整式与因式分解第二节整式与因式分解知识点一知识点一 代数式代数式 1 1代数式代数式用用 _把数或表示数的字母连接起来的式子，我把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式特别地，单独一个数或字母们称这样的式子为代数式特别地，单独一个数或字母也是代数式也是代数式运算符号运算符号2 2代数式的值代数式的值用具体数值代替代数式里的字母，按照代数中的运算用具体数值代替代数式里的字母，按照代数中的运算关系，计算得出的结果关系，计算得出的结果知识点二知识点二 整式的有关概念整式的有关概念 2 2同类项：所含字母相同，并且相同字母的同类项：所含字母相同，并且相同字母的 _ _ 也相同的项叫做同类项也相同的项叫做同类项指数指数确定代数式的同类项要严格按照定义中的两个条件，即字确定代数式的同类项要严格按照定义中的两个条件，即字母相同，指数一样特别地，所有常数项都是同类项母相同，指数一样特别地，所有常数项都是同类项3 3合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项做合并同类项其法则是：合并同类项时，把同类项的其法则是：合并同类项时，把同类项的 _相加，相加，字母和字母的字母和字母的 指数指数 不变不变系数系数知识点三知识点三 整式的运算整式的运算 1 1幂的运算法则幂的运算法则要牢要牢记幂的运算公式，区分开的运算公式，区分开幂的乘方和同底数的乘方和同底数幂相乘相乘的运算法的运算法则注意不同底数注意不同底数幂不能按照不能按照幂的运算法的运算法则运运算，需先算，需先转化化为同底数同底数幂再运算，如再运算，如4 4n n2 2m m(2(22 2) )n n2 2m m2 22n2n2 2m m2 22n2nm m. .2.2.整式的加减整式的加减(1)(1)一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项然后再合并同类项(2)(2)去括号法则去括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号的符号与原来的符号 _，如，如a a(b(bc)c)a ab bc c，a a(b(bc)c)a ab bc.c.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号的符号与原来的符号 _ _ ，如，如a a(b(bc)c)a ab bc c，a a(b(bc)c)a ab bc.c.相同相同相反相反3 3整式的乘法整式的乘法(1)(1)单项式与式与单项式相乘，把它式相乘，把它们的系数、同底数的系数、同底数幂分分别相乘，相乘，对于只在一个于只在一个单项式里含有的字母，式里含有的字母，则连同它的同它的指数作指数作为积的一个因式，如的一个因式，如3xy3xy4x4x2 2z z12x12x3 3yz.yz.(2)(2)单项式与多式与多项式相乘，就是用式相乘，就是用单项式去乘多式去乘多项式的每式的每一一项，再把所得的，再把所得的积相加，如相加，如a a(b(bc cd)d)ababacacad.ad.(3)(3)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加，如一个多项式的每一项，再把所得积相加，如(a(ab)(cb)(cd)d)acacadadbcbcbd.bd.4 4整式的除法整式的除法知识点四知识点四 因式分解因式分解 1 1因式分解：把一个多项式化成了几个因式分解：把一个多项式化成了几个 _ _ 的积的的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式也叫做把这个多项式分解因式整式整式3 3因式分解的方法因式分解的方法(1)(1)提公因式法：提公因式法：mamambmbmcmcm(am(ab bc)c)确定公因式的一般方法：先取系数，取多项式中各项系确定公因式的一般方法：先取系数，取多项式中各项系数的最大公因数；再取字母，取各项中的共同的字母；数的最大公因数；再取字母，取各项中的共同的字母；最后取指数，取相同字母的指数中最小的数最后取指数，取相同字母的指数中最小的数(2)(2)公式法：公式法：平方差公式：平方差公式：a a2 2b b2 2 _；完全平方公式：完全平方公式：a a2 22ab2abb b2 2 _(a(ab)(ab)(ab)b)(a(ab)b)2 2考点一考点一 代数式代数式 (5(5年年3 3考考) ) (2016 (2016河北河北) )若若mnmnm m3 3，则，则2mn2mn3m3m5nm5nm1010 . . 【分析分析】 原式合并后，将已知等式代入计算即可求出值原式合并后，将已知等式代入计算即可求出值解答代数式求值问题，一般有两种方法：直接代入求值解答代数式求值问题，一般有两种方法：直接代入求值和整体代入求值直接代入求值时，要注意代数式的符和整体代入求值直接代入求值时，要注意代数式的符号问题；整体代入求值时，关键是把要求的代数式转化号问题；整体代入求值时，关键是把要求的代数式转化为已知代数式的形式为已知代数式的形式1 1(2013(2013河北河北) )若若x x1 1，则|x|x4|4|( )( )A A3 B3 B3 C3 C5 D5 D5 52 2(2017(2017长安区二模安区二模) )若若x x2y2y3 3，则代数式代数式3 32x2x4y4y _._.A A9 9考点二考点二 幂的运算幂的运算 (5(5年年3 3考考) ) (2016(2016河北河北) )计算正确的是算正确的是( )( )A A( (5)5)0 00 B0 Bx x2 2x x3 3x x5 5C C(ab(ab2 2) )3 3a a2 2b b5 5 D D2a2a2 2a a1 12a2a 【分析分析】 根据零指数幂、幂的乘方和积的乘方、单项根据零指数幂、幂的乘方和积的乘方、单项式乘单项式的运算法则计算即可式乘单项式的运算法则计算即可讲：混淆：混淆幂的运算法的运算法则在在幂的运算中，最易出的运算中，最易出错的是混淆同底数的是混淆同底数幂的乘法与乘方的乘法与乘方的运算法的运算法则在在应用用时，牢，牢记以下公式：以下公式：a am ma an na am mn n，( (a am m) )n na amnmn，( (ab)ab)n na an nb bn n. .练：链接接变式式训练4 4考点三考点三 整式运算整式运算 (5(5年年2 2考考) ) (2015 (2015河北河北) )老师在黑板上书写了一个正确的演算老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如图所过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如图所示示(1)(1)求所捂的二次三项式；求所捂的二次三项式；【分析分析】 (1) (1)利用整式的运算法则求解；利用整式的运算法则求解；(2)(2)把把x x的值代入计算即可求出值的值代入计算即可求出值整式的运算顺序：先算整式的乘除，再算整式的加减整式的运算顺序：先算整式的乘除，再算整式的加减整式的加减实质就是合并同类项整式的加减实质就是合并同类项5 5(2013(2013河北河北) )如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：假假设嘉嘉抽到牌的点数嘉嘉抽到牌的点数为x x，淇淇猜中的，淇淇猜中的结果果应为y y，则y y为( )( )A A2 B2 B3 C3 C6 D6 Dx x3 3B B6 6(2017(2017新新华区模区模拟) )已知已知(x(x1)1)3 3axax3 3bxbx2 2cxcxd d，则a ab bc cd d的的值为( )( )A A1 B1 B0 0C C1 D1 D不能确定不能确定B B7 7(2017(2017河北河北) )发现任意五个任意五个连续整数的平方和整数的平方和是是5 5的倍数的倍数验证(1)(1)(1)1)2 20 02 21 12 22 22 23 32 2的的结果是果是5 5的几倍？的几倍？(2)(2)设五个五个连续整数的中整数的中间一个一个为数数n n，写出它，写出它们的平的平方和，并方和，并说明是明是5 5的倍数的倍数延伸任意三个延伸任意三个连续整数的平方和被整数的平方和被3 3除的余数是几呢？除的余数是几呢？请写出理由写出理由解：解：验证(1)(1)(1)1)2 20 02 21 12 22 22 23 32 215155 53 3，结果是果是5 5的的3 3倍倍(2)(2)由由题意得意得(n(n2)2)2 2(n(n1)1)2 2n n2 2(n(n1)1)2 2(n(n2)2)2 2，化化简得得5n5n2 210105(n5(n2 22)2)n n为整数，整数，这个和是个和是5 5的倍数的倍数延伸余数是延伸余数是2.2.理由：理由：设中中间的整数的整数为n n，则(n(n1)1)2 2n n2 2(n(n1)1)2 23n3n2 22 2，故，故3n3n2 22 2被被3 3除余除余2.2.考点四考点四 因式分解因式分解 (5(5年年2 2考考) ) (2017(2017石家庄模石家庄模拟) )多多项式式mxmx2 2m m与多与多项式式x x2 22x2x1 1的公因式是的公因式是( )( )A Ax x1 B1 Bx x1 C1 Cx x2 21 D1 D(x(x1)1)2 2 【分析分析】 分分别将多将多项式式mxmx2 2m m与多与多项式式x x2 22x2x1 1进行因式分解，再行因式分解，再寻找它找它们的公因式的公因式【自主解答自主解答】 mx mx2 2m mm(xm(x1)(x1)(x1)1)，x x2 22x2x1 1(x(x1)1)2 2，则多多项式式mxmx2 2m m与多与多项式式x x2 22x2x1 1的公因式的公因式为x x1.1.故故选A.A.讲：因式分解的误区讲：因式分解的误区因式分解的一般步骤为因式分解的一般步骤为“一提一提”“”“二套二套”“”“三检验三检验”，先考虑用提公因式法分解，再考虑套用公式分解，最后先考虑用提公因式法分解，再考虑套用公式分解，最后检验因式分解是否彻底、正确在因式分解中，最容易检验因式分解是否彻底、正确在因式分解中，最容易出错的地方就是因式分解不彻底出错的地方就是因式分解不彻底练：链接变式训练练：链接变式训练9 98 8(2013(2013河北河北) )下列等式从左到右的下列等式从左到右的变形，属于因式形，属于因式分解的是分解的是( )( )A Aa a( (x xy y) )axaxayayB Bx x2 22 2x x1 1x x( (x x2)2)1 1C C( (x x1)(1)(x x3)3)x x2 24 4x x3 3D Dx x3 3x xx x( (x x1)(1)(x x1)1)D D9 9(2014(2014河北河北) )计算：算：85852 215152 2( )( )A A70 B70 B700700C C4 900 D4 900 D7 0007 0001010(2017(2017济宁宁) )分解因式：分解因式：mama2 22mab2mabmbmb2 2 _D Dm(am(ab)b)2 2