第四节第四节第四节第四节 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程第四节第四节 高阶线性方程高阶线性方程一一二阶齐次线性方程的通解结构二阶齐次线性方程的通解结构二二二阶非齐次线性方程的通解结构二阶非齐次线性方程的通解结构三三 n阶线性方程的通解结构阶线性方程的通解结构1 1第四节第四节第四节第四节 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程一一 二阶齐次线性方程的通解结构二阶齐次线性方程的通解结构证毕证毕是二阶齐次线性方程是二阶齐次线性方程的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.证证:代入方程左边代入方程左边, 得得(叠加原理叠加原理) 定理定理1.二阶齐次线性方程二阶齐次线性方程一般形式一般形式2 2第四节第四节第四节第四节 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程说明说明:不一定不一定是所给二阶方程的通解是所给二阶方程的通解.例如例如,是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解也是齐次方程的解 并不是通解并不是通解但是但是则则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与下面引入函数的线性相关与 线性无关概念线性无关概念. 3 3第四节第四节第四节第四节 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程定义定义是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n 个函数个函数,使得使得则称这则称这 n个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关, 否则称为否则称为线性无关线性无关.例如，例如， 在在( , )上都上都有有故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都上都线性相关线性相关;又如，又如，若在某区间若在某区间 I 上上则根据二次多项式至多只有两个零点则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为必需全为 0 ,可见可见在任何区间在任何区间 I 上都上都 线性无关线性无关.若存在若存在不全为不全为 0 的常数的常数4 4第四节第四节第四节第四节 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关线性相关存在不全为存在不全为 0 的的使使( 无妨设无妨设线性无关线性无关常数常数函数函数是线性无关的；是线性无关的；函数函数是线性无关的；是线性无关的；函数函数是线性无关的；是线性无关的；由此可知由此可知5 5第四节第四节第四节第四节 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程思考思考:中有一个恒为中有一个恒为 0, 必线性必线性相关相关则则定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解, 则则数数) 是该方程的通解是该方程的通解.例如例如, 方程方程有特解有特解且且常数常数,故方程的通解为故方程的通解为(自证自证) 6 6第四节第四节第四节第四节 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程二二 二阶非齐次线性方程解的结构二阶非齐次线性方程解的结构二阶非齐次线性方程二阶非齐次线性方程一般形式一般形式是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则则是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解 .证证: 将将代入方程代入方程左端左端, 得得7 7第四节第四节第四节第四节 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程是非齐次方程的解是非齐次方程的解, 又又Y 中含有中含有两个独立任意常数两个独立任意常数,例如例如, 方程方程有特解有特解对应齐次方程对应齐次方程有通解有通解因此该方程的通解为因此该方程的通解为证毕证毕因而因而 也是通解也是通解 .8 8第四节第四节第四节第四节 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程定理定理 4.分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程的特解的特解. (非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理) 为常数，为常数，证证9 9第四节第四节第四节第四节 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程特别取特别取有有设设为方程为方程的两个解，的两个解， 则则为方程为方程的解。的解。1010第四节第四节第四节第四节 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程常数常数, 则该方程的通解是则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程的解的解, 是任意是任意例例1提示提示:都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解,二者线性无关二者线性无关 . (反证法可证反证法可证)1111第四节第四节第四节第四节 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程例例2 已知微分方程已知微分方程个解个解求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件的特解的特解 .解解:是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解, 且且常数常数因而线性无关因而线性无关, 故原方程通解为故原方程通解为代入初始条件代入初始条件故所求特解为故所求特解为有三有三 1212第四节第四节第四节第四节 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程三三 n阶线性方程的通解结构阶线性方程的通解结构定理定理 5是是n阶齐次线性方程的阶齐次线性方程的n个线性无关特解个线性无关特解, 是该方程的通解是该方程的通解.则则n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为的一般形式为时时, 称为称为非齐次方程非齐次方程 ; 时时, 称为称为齐次方程齐次方程.1313第四节第四节第四节第四节 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程定理定理 6是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性无关特解无关特解, 给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解, 则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解1414第四节第四节第四节第四节 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程第第第第十十十十二二二二章章章章 微微微微分分分分方方方方程程程程定理定理 7是是n阶线性方程阶线性方程的解的解, 分别是分别是 n 阶线性方程阶线性方程为常数，为常数， 则则的解。的解。1515