12 曲率、挠率第五章 多元函数微分学 定义：如果曲线的参数表示式或是阶连续可微的函数，则把这类曲线称为类曲线。当时,类曲线又称为光滑曲线。自然参数：我们知道曲线有不同的参数表示，能否找一种参数使研究曲线很方便呢？回答是肯定的这就是以弧长s为参数（自然参数） 对于光滑曲线1、 的参数是自然参数的充要条件是2、弧长参数优越性：3、弧长作参数是可以做到的：由于 则s(t)是t的严格单调函数，存在反函数t=t(s), 代入有 4、对于1. 1.曲线的自然参数曲线的自然参数例：圆的参数化为r(t)(acost,asint),tR，其中常数a0,试将参数化为自然参数。解解:1)给出 类曲线 得一单位向量 ， 称 为 曲线（C）上 P 点的单位切向量单位切向量。 称 为曲线在 P 点的主法向量主法向量, 它垂直于单位切向量。 称 为曲线在 P 点的次法向量次法向量。把两两正交的单位向量 称为曲线在 P 点的伏雷内（Frenet)标架。 2.2.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架3)由任意两个基本向量所确定的平面 分别叫做:密切平面：法平面：从切平面：而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的基本三棱形。2) 对于曲线（C）的一般参数表示 有定义定义 过空间曲线上 P 点的切线和 P 点邻近一点 Q 可作一平面 ，当 Q 点沿曲线趋于 P 时，平面 的极限位置 称为曲线在 P 点的密切平面。关于密切平面关于密切平面对于 类的曲线上任一正常点处的密切平面是最贴近于曲线的切平面。密切平面以 为法向。 密切平面的方程密切平面的方程 给出 类的曲线（C）： 有因为向量 和 都在平面 上，所以它们的 线性组合 也在平面 上。两边取极限得 在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此由于 ,这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。密切平面方程为 表示 P 点的密切平面上任一点的向径， 则上式表示为如果曲线用一般参数t 表示，则将上式中的撇改成点。 平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。例例求圆柱螺线r=acost,asint,bt在任一点的密切平面3.3.空间曲线的曲率，挠率空间曲线的曲率，挠率设空间曲线(C)为 的，且以 s 为参数。 1)曲率曲率 定义（C）在 P 点的曲率为 越小就越接近曲线在P点的弯曲程度,进一步令则的极限就应该是曲线在P点的弯曲程度。 曲率的几何意义曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的弯曲程度。例例. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .例：例： 空间曲线，为直线的充要条件是曲率证明：若为直线 其中 都是常向量，并且，则反之,若,则于是所以该曲线是直线.2)挠率挠率 与曲率类似有 定义定义 曲线（C）在 P 点的挠率为挠率的绝对值是曲线的次法向量对于弧长的旋转速度。挠率恒为零的曲线是平面曲线3)曲率和挠率的一般参数表示式曲率和挠率的一般参数表示式给出 类的曲线（C）：所以因此由此得到曲率的一般参数的表示式 由可得挠率公式为有曲率近似计算公式则曲率计算公式为二阶可导,设曲线弧说明说明: 若曲线由参数方程给出, 则若曲线方程为则若曲线由参数方程给出, 则4）密切园（曲率园）密切园（曲率园） 过曲线（C）上一点 P 的主法线的正侧取线段 PC，使 PC 的长为1/k。以C 为园心，以1/k为半径在密切平面上确定一个园，这个园称为曲线在 P 点的密切园或曲率园，园的中心叫曲率中心，园的半径叫曲率半径。曲率中心轨迹设对应Y=(x,y,z)，则有容易证明C在P点与曲率圆相切，且在P点的曲率相同在点P 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .例例求圆柱螺线r=acost,asint,bt(a0,b0均为常数)的曲率、挠率、曲率中心和曲率圆.解=-asint,acost,b，=-acost,-asint,0，=asint,-acost,0.于是=所以圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.故曲率中心的半径向量为可以求出密切平面为于是曲率圆为设曲线方程为且求曲线上点M 处的曲率半径及曲率中心设点M 处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此可得曲率中心公式(注意与异号 )例例. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为可知, 椭圆在处曲率最大 ,即曲率半径最小, 且为显然, 砂轮半径不超过时, 才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.例3 目录 上页 下页 返回 结束 5）伏雷内（伏雷内（Frenet)公式公式 由定义可得 又 于是有 这个公式称为空间曲线的伏雷内（伏雷内（Frenet)公式公式。它的系 数组成一反称方阵当点 M (x , y) 沿曲线C 移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线渐屈线 ,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线渐伸线 .屈线的参数方程(参数为x).6）曲线的渐屈线、渐近线曲线的渐屈线、渐近线( 仍为摆线 )例例. 求摆线的渐屈线方程 . 解解:代入曲率中心公式 ,得摆线 目录 上页 下页 返回 结束 微分几何Differential Geometry坐标系、微积分坐标系、微积分应用于几何学，产生了微分几何研究如何描述空间中一般的曲线和曲面的形状参数变换下几何不变量：曲线弧长、曲率、挠率；曲面第一基本形式、第二基本形式等微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用突出的数学家Euler(1707-1783),Morge(1746-1818)引进曲线曲面参数表示法曲率能够由主曲率表示，Euler公式Gauss(1777-1855)曲面的第一、二基本形式、Gauss曲率，内蕴几何学IntrinsicdifferentialgeometryRiemann(1826-1866)度量Measure、流形Manifold、黎曼几何学；弯曲空间Klein(1849-1925)变换群Cartan(1869-1951)活动标架，纤维丛及其联络突出的数学家陈省身开创并领导着整体微分几何、“陈省身示性类”丘成桐“卡拉比猜想”，“微分几何中偏微分方程作用”，“完备黎曼流形上调和函数”杨振宁先生对几何学的概括天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。微分几何的应用理论物理广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说，空间和时间结合在一起由一个流形描述：不同的参照系给出不同的局部坐标；不同参照系之间的关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出曲率等几何量。Einstein方程说：时空的物理量（能量动量张量）等于时空的几何量（Ricci曲率张量）。微分几何的应用计算几何、图形学曲线曲面设计离散微分几何网格曲面计算机视觉基于流形的学习方法拓扑学，代数拓扑和微分拓扑与之紧密相连代数几何，代数方程（组）的零点集计算机视觉Computer Vision数字几何1D1D2 2D D2 2D D3 3D D数字几何媒体：拓扑结构复杂；采样非均匀；没有通用标准数字几何媒体(Digitalgeometrymedia)正成为继声音、图像和视频之后的下一轮数字媒体浪潮。几何造型Shape modeling nSurfacereconstruction(static)nFromCToropticalimages,rawpointdata,nDatarepairing,registration,resampling,smoothingPoint cloud mesh NURBS textureNo connection connected parametric meshingparamerizationDynamicmodelingFeaturedrivenmorphingParametricmodelingPhysicalconstrainedanimation几何造型Shape modeling 网格参数化及共形映射网格曲面上的离散微分几何算子曲面磨光对两个主方向进行不同处理流形学习Manifold learningPrincipalcomponent基于几何不变量的识别和检索试着用几何的观点看待一切