1 动态电路的分析，就是当电路外加电源激励或在初始储能动态电路的分析，就是当电路外加电源激励或在初始储能作用下，以及电路状态改变时，求解电路中电流、电压随时间作用下，以及电路状态改变时，求解电路中电流、电压随时间的变化规律。的变化规律。第二部分第二部分 动动 态态 电电 路路 分分 析析 第六章第六章 电容元件与电感元件电容元件与电感元件基本要求：基本要求： 熟练掌握线性电容元件和电感元件的伏安关系及其贮能熟练掌握线性电容元件和电感元件的伏安关系及其贮能 ，以及两者之间的对偶关系。以及两者之间的对偶关系。2（Capacitor） 电容器应用极为广泛，其构成原理为两块金属极板并隔以不电容器应用极为广泛，其构成原理为两块金属极板并隔以不同的介质。当电容器接通电源后，则在两极板上聚集等量异号电同的介质。当电容器接通电源后，则在两极板上聚集等量异号电荷（荷（+q(t) 和和q(t) ）,于是在两极板之间的介质中就形成电场于是在两极板之间的介质中就形成电场即储存有电场能量。即储存有电场能量。+ + Cu(t)+q(t)q(t) 能够聚集电荷，储存电场能量的部件称能够聚集电荷，储存电场能量的部件称为为电容器电容器。 电容器的理想化模型称为电容器的理想化模型称为电容元件（电容元件（C）。C储存的电荷与其两极板间的电压值有关，它储存的电荷与其两极板间的电压值有关，它是一种是一种电荷与电压相约束电荷与电压相约束的二端元件。的二端元件。61 电容元件电容元件 定义：定义：一个二端元件，如果在任一时刻一个二端元件，如果在任一时刻 t ，它的电荷它的电荷q(t) 同它的端电压同它的端电压u(t) 之间的关系可以之间的关系可以用用qu（或或 uq ）平面上的一条曲线来确定，平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为则此二端元件称为电容元件电容元件。0q (t)u (t)3 线性电容元件线性电容元件：若：若 q(t) 与与 u(t) 的关系是通的关系是通 过过 qu 平面坐标原点且位于第一、三象限的平面坐标原点且位于第一、三象限的 一条直线，则称之为线性电容元件。一条直线，则称之为线性电容元件。q (t)u (t)01C（库）（库）（伏）（伏）（库库伏特性）伏特性）直线的斜率直线的斜率 C 是一正常数是一正常数称为电容（称为电容（C）。）。常数常数 q(t) = Cu(t)C 的单位的单位：国际单位制（：国际单位制（SI 制）：制）：法拉（法）法拉（法）F ；微法微法 F ；皮法皮法 PF 1）表示电容元件；）表示电容元件；2）表示电容元件的参数，即电容量（值）。表示电容元件的参数，即电容量（值）。（1）C 有两个含义：有两个含义：注注：（2）使用）使用C 时注意：时注意：1）电容量（值）；）电容量（值）；2）额定工作电压（过压会击穿损坏）额定工作电压（过压会击穿损坏C）。）。4 二、电压二、电压 u 与电流与电流 i 的积分关系式的积分关系式由由 ，从，从 到到 t 积分得积分得式式中：中： 一、电流一、电流 i 与电压与电压 u 的微分关系式的微分关系式在在 i 与与 u 取关联参考方向的条件下，若电荷和电压都随时间而变化，则取关联参考方向的条件下，若电荷和电压都随时间而变化，则Ci(t)+q(t)q(t)+u(t) 上式上式表明，任一时刻通过电容的电流取决于该时刻表明，任一时刻通过电容的电流取决于该时刻电容两端电压的变化率电容两端电压的变化率 , 而与该时刻电容电压数值本身和过去的历史无关。而与该时刻电容电压数值本身和过去的历史无关。直流：直流： i(t) = 0 （开路），开路），即即 C 对直流言相当于开路。对直流言相当于开路。 由此知，由此知，u 动动 才有才有 i 故故 C 为为“动态动态”元件。元件。62 电容的伏安关系电容的伏安关系5 63 电容电压的连续性质和记忆性质电容电压的连续性质和记忆性质 由由电容的电容的VAR： t t0 可反映可反映 电容电压的两个重要性质：电容电压的两个重要性质： （1）连续性质：）连续性质：若电容电流若电容电流 i(t) 在闭区间在闭区间ta、tb 内为有界的，则电容内为有界的，则电容 电压电压 uC(t) 在开区间（在开区间（ta、tb ）内为）内为连续的。连续的。 特别是：对任何时刻特别是：对任何时刻 t ，且且 tattb , uC(t-) = uC(t+) （2）记忆性质：）记忆性质：电容电压取决于其电流的全部历史。电容电压取决于其电流的全部历史。 此外，由此外，由 得得 电容电压电容电压初始值初始值： 其作用相当于一个其作用相当于一个电压源电压源。+u(t)Ci(t)u(t0)=U+u(t)Ci(t)u1(t0)=0+U+u1(t) 由此可知：一个已被充电的电容，若已知由此可知：一个已被充电的电容，若已知u(t0)=U，则在则在 t t0 时可等效为一个未充电时可等效为一个未充电的电容与电压源相串联的电路，电压源的电压值即为的电容与电压源相串联的电路，电压源的电压值即为 t0 时电容两端的电压时电容两端的电压 U 。6 一、瞬时功率一、瞬时功率 （u、i 取关联参考方向）取关联参考方向）P(t) 0 吸收功率，电能吸收功率，电能 WC ，C充电充电 ；P(t) 0 产生功率，产生功率， WC 电能电能，C放电放电 。 二、储能二、储能 WC单位：单位：C法（法（F）；）；u伏（伏（V）；）；WC焦耳（焦耳（J）。）。C 在任一时刻的储能：在任一时刻的储能： 0 （ 恒为正）恒为正） 此此式式表明，电容某一时刻的储能，只取决于该时刻的电压值，表明，电容某一时刻的储能，只取决于该时刻的电压值，而与电流值无关。而与电流值无关。 电容电压反映了电容的储能状态。正是电容的储能本质使电容电压具有记忆电容电压反映了电容的储能状态。正是电容的储能本质使电容电压具有记忆性质；正是电容电流在有界的条件下储能不能跃变，使电容电压具有连续性质。性质；正是电容电流在有界的条件下储能不能跃变，使电容电压具有连续性质。64 电容的储能电容的储能7 例例1：电流源的电流波形如图电流源的电流波形如图(a) 所示，施加于所示，施加于2F 电容上，如图电容上，如图(b) 所示。设所示。设 u(0) = 0，试求试求 u(t)，并绘出波形图。并绘出波形图。i (A)t(s)02212(a)i(t)2F+u(t)(b) 解：由图解：由图(a) 得：得：i(t) =2A 0 t 1S2A 1S t 2S(1) 0 t 1S ：t =1S：u(1) = 1 (v)0112t(s)u(v)(c) 由由上述分析计算上述分析计算,可绘出可绘出u(t) 波形如图波形如图(c) 所示。所示。 由此可见由此可见，i(t) 波形是不连续的；而波形是不连续的；而u(t) 波形是连续的。波形是连续的。(2) 1S t 2S：(v)t = 2S：u(2) =2 + 2 = 0u(t)8例例2：5F 电容电压波形如图电容电压波形如图(a) 所示（所示（t4S，电压为电压为0），），(1)试试 绘出电流波形图；绘出电流波形图；(2)试确定在试确定在 t=2S 及及 t=10S 时电容的储能。时电容的储能。 u (mv)t(s)1001234(a) 解解：（：（1）1）t = 01 S ：u 从从0 10mv 2）t = 13 S ：u = 10mv i = 0 3）t = 34 S ：u 从从10mv 0i(A)t(s)00500501234(b)由由上述分析，可画出电流波形图如图上述分析，可画出电流波形图如图(b) 所示。所示。（2）t=2S ：u=10mvt=10S ：u = 09（inductor)N 匝匝+uii+u(t)i(t)L 用导线绕制成线圈便构成用导线绕制成线圈便构成电感器电感器。实际。实际电感器的理想化模型称为电感器的理想化模型称为电感元件电感元件（简称（简称电电感感）。）。 当当线圈中通电流线圈中通电流 i 时，则产生磁通时，则产生磁通（建建立磁场）；若立磁场）；若 与与N 匝线圈交链，则匝线圈交链，则磁通链磁通链 = N 。 （）与与 i 的关系通常采用关联参考方向，的关系通常采用关联参考方向，即两者的参考方向应符合即两者的参考方向应符合右手螺旋法则右手螺旋法则。 且且 = N = f(i)i （） WL i （） WL i = 0 （）= 0 WL = 0 电感是一种电感是一种储存储存磁场能量（磁场能量（WL）的部件，它是一个的部件，它是一个磁链与磁链与电流相约束电流相约束的二端元件。的二端元件。65 电感元件电感元件10 定义：定义：一个二端元件，如果在任一时刻一个二端元件，如果在任一时刻 t ，它的电流它的电流 i(t) 同它的磁链同它的磁链 (t) 之间的关系可以之间的关系可以用用 i（或或 i）平面上的一条曲线来确定，平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为则此二端元件称为电感元件电感元件。i0 线性电感元件线性电感元件：如果：如果 与与 i 的关系曲线是通的关系曲线是通 过过 i 平面上坐标原点，位于第一、三象限的平面上坐标原点，位于第一、三象限的一条直线，则此二端元件称之为一条直线，则此二端元件称之为 线性电感元件线性电感元件。 线性电感元件（线性电感元件（空心线圈空心线圈）：）： = N = Li常数常数直线的斜率直线的斜率 L 是一正常数，称之为是一正常数，称之为电感电感。（韦）韦）1L0i ( 安安)（韦韦安特性）安特性） 电感电感 L 是磁链是磁链 与电流与电流 i 的比例常数，它反映了电感元件通过电流时产生的比例常数，它反映了电感元件通过电流时产生磁链的能力。数值上等于单位电流通过电感元件时产生磁链的绝对值。磁链的能力。数值上等于单位电流通过电感元件时产生磁链的绝对值。11L 的单位的单位 ： 国际单位制（国际单位制（SI 制）制）： 亨利（亨）亨利（亨）H ； 毫亨毫亨 mH ； 微亨微亨 H 等。等。式式中：中：L 亨利（亨）亨利（亨）H ； 韦伯（韦）韦伯（韦）Wb ； i 安培（安）安培（安）A 。（1）L 有两个含义：有两个含义：1）表示电感元件；）表示电感元件；2）表示电感元件的参数，即电感量。）表示电感元件的参数，即电感量。（2）使用）使用 L 注意：注意：1）电感量；）电感量；2）额定工作电流。（过流会损坏之）额定工作电流。（过流会损坏之）注：注：12 一、电压一、电压 u 与电流与电流 i 的微分关系式的微分关系式+u(t)i(t)Le 在在 u、i 取关联参考方向和取关联参考方向和 与与 i 符合右螺旋定则条件下，符合右螺旋定则条件下， 根据楞茨定律：线圈中磁通变化引起的感应电动势，其方向总是企图产生根据楞茨定律：线圈中磁通变化引起的感应电动势，其方向总是企图产生感应电流来阻碍磁通的变化。感应电流来阻碍磁通的变化。即即 L 中中 i 变变 （）变变 产生产生 e（负号由楞茨定律所确定）（负号由楞茨定律所确定）由由 表明：表明： 1）关系式既反映了电感电压的大小，也反映了电感电压的方向。）关系式既反映了电感电压的大小，也反映了电感电压的方向。, u 与与 i 同向同向 ;， u 与与 i 反向。反向。 2）电感电压与其电流的变化率成正比，而与电流本身的数值无关。）电感电压与其电流的变化率成正比，而与电流本身的数值无关。直流：直流：（短路）短路）即即 L 对直流言相当于短路。对直流言相当于短路。3）电感电压）电感电压 u 为有限值时，电流为有限值时，电流 i 不能跃变。不能跃变。此外，此外，i 动动 才有才有 u 。 故故 L 又称之为又称之为 “动态动态” 元件元件。66 电感的伏安关系电感的伏安关系13 二、电流二、电流 i 与电压与电压 u 的积分关系式的积分关系式由由 从从 到到 t 积分可得：积分可得：( t t0 )式中：式中： 此此式式表明，在某一时刻表明，在某一时刻 t 时的电感电流值取决于其初始值时的电感电流值取决于其初始值 i(t0) 以及在以及在t0、t 区间所有的电压值。区间所有的电压值。14 67 电感电流的连续性质和记忆性质电感电流的连续性质和记忆性质 电感的电感的 VAR： （tt0） 反映了反映了 电感电流电感电流 iL 的两个重要性质：的两个重要性质： （1）连续性质：）连续性质：若电感电压若电感电压 u(t) 在闭区间在闭区间ta、tb 内为有界的，则电内为有界的，则电 感电流感电流 iL(t) 在开区间（在开区间（ta、tb ）内为）内为连续的。连续的。 特别是：对任何时刻特别是：对任何时刻 t ，且且 tattb , iL(t-) = iL(t+) （2）记忆性质：）记忆性质：电感电流取决于其电压的全部历史。电感电流取决于其电压的全部历史。此外，由此外，由 （tt0） 得得电感电流电感电流初始值：初始值： ，其作用相当于一个其作用相当于一个电流源电流源。+u(t)i(t)Li(t0)=I+u(t)i(t)Li1(t0)=0Ii1(t) 由此可知，一个具有初始电流的电感，若已知由此可知，一个具有初始电流的电感，若已知 i(t0) = I，则在则在 t t0 时可等效为一个时可等效为一个初始电流为初始电流为 0 的电感与电流源的并联电路，电流源的电流值即为的电感与电流源的并联电路，电流源的电流值即为 t0 时电感的电流时电感的电流 I 。15 一、瞬时功率一、瞬时功率 p(t) 在在 u(t) 与与 i(t) 取关联参考方向的情况下：取关联参考方向的情况下：p(t)=u(t) i(t)p(t) 0 吸收功率吸收功率 电能电能 WL （储能）储能）p(t) 0 产生功率产生功率 WL 电能电能 （放能）放能） 二、电感储能二、电感储能 WL 即对瞬时功率即对瞬时功率 p(t) 的时间积分。的时间积分。 单位：单位：L 亨（亨（H）；）；I 安（安（A）；）；WL 焦耳（焦耳（J）。）。L 在任一时刻在任一时刻 t 的储能：的储能： 0 （恒为正值）（恒为正值） 此此式式表明，电感某时刻的储能，只取决于该时刻的电流值，表明，电感某时刻的储能，只取决于该时刻的电流值，而与电压值无关而与电压值无关。 68 电感的储能电感的储能 电路的状态电路的状态16 三、电路的状态三、电路的状态 在动态电路的诸电压、电流变量中，电容电压在动态电路的诸电压、电流变量中，电容电压uc(t) 和电感电和电感电流流 iL(t)占有特殊重要的地位，它们是电路的占有特殊重要的地位，它们是电路的状态（状态（State）变量变量。 在电路及系统理论中，在电路及系统理论中，状态变量是指一组最少的变量状态变量是指一组最少的变量，若已，若已知它们在知它们在 t0 时的数值，则连同所有在时的数值，则连同所有在 tt0 时的输入就能确定在时的输入就能确定在tt0 时电路中的任何变量。时电路中的任何变量。 电容电压初始值电容电压初始值 uc(t0) 和电感电流初始值和电感电流初始值 iL(t0) 决定了电路决定了电路的的初始状态初始状态。17 69 非线性电容非线性电容 （略）（略） 610 非线性电感非线性电感 （略）（略） 611 电感器和电容器的模型电感器和电容器的模型 一、电感器的电路模型一、电感器的电路模型LLRLRC 理想的理想的 实际的实际的 实际的实际的（高频）（高频） 二、电容器的电路模型二、电容器的电路模型CCGLCG 理想的理想的 实际的实际的 实际的实际的（高频）（高频）18（ 对偶性对偶性 即对应置换性。）即对应置换性。） 电容与电感两种元件伏安关系中参数和电流、电压的对应置换电容与电感两种元件伏安关系中参数和电流、电压的对应置换关系称为关系称为对偶关系对偶关系。电容与电感是一组。电容与电感是一组对偶元件对偶元件。C 与与 L 的对偶关系的对偶关系iC(t)C+uC(t)LiL(t)+uL(t)q(t) = CuC(t)(t) = LiL(t)uC(t-) = uC(t+)iL(t-) = iL(t+) 掌握了它们的对偶关系，就可以从一种元件特性得到另一种元件特性。掌握了它们的对偶关系，就可以从一种元件特性得到另一种元件特性。(end)612 电路的对偶性电路的对偶性19