http:/xuxzmail.blog.163.com June 18, 2012四川大学数学学院 徐小湛用二重积分推导水压力计算公式用二重积分推导水压力计算公式Kings College1http:/xuxzmail.blog.163.com June 18, 2012四川大学数学学院 徐小湛 作为定积分的物理应用，平板所受作为定积分的物理应用，平板所受的水压力一般是用定积分来计算。的水压力一般是用定积分来计算。 本课件用二重积分的元素法来推导本课件用二重积分的元素法来推导水压力的二重积分计算公式。水压力的二重积分计算公式。 用二重积分来计算平板的水压力，用二重积分来计算平板的水压力，有时更方便。有时更方便。 最后，举例加以说明。最后，举例加以说明。2http:/xuxzmail.blog.163.com June 18, 2012四川大学数学学院 徐小湛问题：问题：将一平板垂直地放入水中（如图），将一平板垂直地放入水中（如图），求平板一侧所受的水压力求平板一侧所受的水压力 P。水面水面水水平板平板3http:/xuxzmail.blog.163.com June 18, 2012四川大学数学学院 徐小湛下面用二重积分来计算平板所受水压力下面用二重积分来计算平板所受水压力4http:/xuxzmail.blog.163.com June 18, 2012四川大学数学学院 徐小湛如图建立坐标系。如图建立坐标系。设平板占据的区域为设平板占据的区域为 D，水面高度为，水面高度为 H。水面水面水水DH5http:/xuxzmail.blog.163.com June 18, 2012四川大学数学学院 徐小湛下面用元素法来建立水压力的二重积分公式。下面用元素法来建立水压力的二重积分公式。水面水面水水DH在平板的在平板的(x,y)处取一个面积元素处取一个面积元素它到水面的距离是它到水面的距离是6http:/xuxzmail.blog.163.com June 18, 2012四川大学数学学院 徐小湛所以该面积元素所受到的水压力约为：所以该面积元素所受到的水压力约为：（压力元素）（压力元素）于是整个平板一侧所受的水压力为：于是整个平板一侧所受的水压力为：这就是计算水压力的二重积分公式这就是计算水压力的二重积分公式7http:/xuxzmail.blog.163.com June 18, 2012四川大学数学学院 徐小湛如果如果水面水面x=f(y)x=g(y)8http:/xuxzmail.blog.163.com June 18, 2012四川大学数学学院 徐小湛水面水面x=f(y)x=g(y)则平板一侧所受的水压力则平板一侧所受的水压力这就是计算水压力的定积分公式这就是计算水压力的定积分公式9http:/xuxzmail.blog.163.com June 18, 2012四川大学数学学院 徐小湛下面举一个例子来说明以上公式的应用下面举一个例子来说明以上公式的应用10http:/xuxzmail.blog.163.com June 18, 2012四川大学数学学院 徐小湛解解 如图建立坐标系，如图建立坐标系，D为下半圆域，为下半圆域，水面高度水面高度 H=0，则由前面的公式，则由前面的公式，水桶一端面所受的压力为：水桶一端面所受的压力为：同济六版同济六版290页，例页，例411