第四章第四章 稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法4-1 李亚普诺夫关于稳定性定义李亚普诺夫关于稳定性定义4-2 李亚普诺夫第一法李亚普诺夫第一法4-3 李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法4-4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用李亚普诺夫方法在线性系统中的应用 4-5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用 4-6 基于基于Matlab李雅普诺夫稳定性分析简介李雅普诺夫稳定性分析简介 1稳定性与李雅普诺夫方法课件 稳定性是控制系统的一个极为重要的特性：稳定性是控制系统的一个极为重要的特性： 任何系统要能正常工作首先必须是稳定的。任何系统要能正常工作首先必须是稳定的。 控制系统分析与设计首先要考虑的问题：控制系统分析与设计首先要考虑的问题： 如何判别一个系统是否稳定；如何判别一个系统是否稳定； 如何改善系统的稳定性如何改善系统的稳定性(提高系统稳定性性能指标提高系统稳定性性能指标) ； 如何通过系统综合（校正）方法使一个不稳定系统变如何通过系统综合（校正）方法使一个不稳定系统变 成稳定系统成稳定系统。 系统稳定性：系统稳定性： 表示系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消表示系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，系统自身仍然能恢复到原来平衡状态的一种失后，系统自身仍然能恢复到原来平衡状态的一种“顽性顽性”。这里。这里指的可能是一个平衡点，也可能不是一个平衡点指的可能是一个平衡点，也可能不是一个平衡点 。 经典控制理论中对控制系统稳定性判据经典控制理论中对控制系统稳定性判据劳斯判据、胡维茨判据、奈奎斯特稳定性判据等。劳斯判据、胡维茨判据、奈奎斯特稳定性判据等。 对于非线性系统和时变系统，经典控制理论的这些判据方法就对于非线性系统和时变系统，经典控制理论的这些判据方法就不适用用了。不适用用了。 2稳定性与李雅普诺夫方法课件李亚普诺夫第一法李亚普诺夫第一法(间接法间接法)通过求解系统解微分方程，然后根据解的性质来判断系统稳定通过求解系统解微分方程，然后根据解的性质来判断系统稳定性。性。李亚普诺夫第二法（直接法）李亚普诺夫第二法（直接法）特点是不解系统微分方程，而是通过一个叫李亚普诺夫函数的特点是不解系统微分方程，而是通过一个叫李亚普诺夫函数的标量函数来直接判定系统的稳定性，此方法可用于线性系统，也可标量函数来直接判定系统的稳定性，此方法可用于线性系统，也可用于非线性系统，可用于定常系统，也可用于时变系统。特别试用用于非线性系统，可用于定常系统，也可用于时变系统。特别试用于那些难于求解微分方程的非线性系统和时变系统。该方法是本章于那些难于求解微分方程的非线性系统和时变系统。该方法是本章论述的重点。论述的重点。 3稳定性与李雅普诺夫方法课件4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义线性系统的稳定性只与系统本身的结构和参数有关，但对于非线性系统，其稳定性还与系统的初始条件与外界扰动的大小有关，李雅普诺夫给出了一种具有一般意义的稳定性的概念。4稳定性与李雅普诺夫方法课件4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义5稳定性与李雅普诺夫方法课件4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义6稳定性与李雅普诺夫方法课件4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义7稳定性与李雅普诺夫方法课件4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义8稳定性与李雅普诺夫方法课件4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义9稳定性与李雅普诺夫方法课件4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义10稳定性与李雅普诺夫方法课件4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义11稳定性与李雅普诺夫方法课件4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义12稳定性与李雅普诺夫方法课件4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义13稳定性与李雅普诺夫方法课件4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义+xeX014稳定性与李雅普诺夫方法课件4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义+xeX015稳定性与李雅普诺夫方法课件4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义16稳定性与李雅普诺夫方法课件4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义17稳定性与李雅普诺夫方法课件+xeX04-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义18稳定性与李雅普诺夫方法课件4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义19稳定性与李雅普诺夫方法课件4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义20稳定性与李雅普诺夫方法课件基基本本思思路路：通通过过系系统统状状态态方方程程的的解解来来判判别别系系统统的的稳稳定定性性。对对于于线线性性定定常常系系统统，只只需需要要解解出出特特征征方方程程的的根根就就可可以以作作出出稳稳定定性性判判断断。对对于于非非线线性性不不很很严严重重的的系系统统，则则可可通通过过一一次次线线性性化化处处理理得得出出线线性性化方程，然后根据其特征根来判断系统的稳定性。化方程，然后根据其特征根来判断系统的稳定性。4-2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法(间接法间接法)21稳定性与李雅普诺夫方法课件线性系统的稳定性判据：线性系统的稳定性判据：（以线性定常系统为例CxyBuAxxCBA=+=&),4-2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法(间接法间接法)22稳定性与李雅普诺夫方法课件非线性系统的稳定性判据：非线性系统的稳定性判据：4-2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法(间接法间接法)23稳定性与李雅普诺夫方法课件非线性系统的稳定性判据：非线性系统的稳定性判据：4-2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法(间接法间接法)24稳定性与李雅普诺夫方法课件非线性系统的稳定性判据：非线性系统的稳定性判据：4-2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法(间接法间接法)25稳定性与李雅普诺夫方法课件非线性系统的稳定性判据：非线性系统的稳定性判据：4-2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法(间接法间接法)26稳定性与李雅普诺夫方法课件非线性系统的稳定性判据：非线性系统的稳定性判据：4-2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法(间接法间接法)27稳定性与李雅普诺夫方法课件4-3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法28稳定性与李雅普诺夫方法课件一、一、 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法(直接法直接法)的基本思路的基本思路 从能量的观点来进行系统稳定性分析。从能量的观点来进行系统稳定性分析。 如果一个系统被激励后，其存储的能量随着如果一个系统被激励后，其存储的能量随着时间的推移逐渐衰减，达到平衡状态时，能量将时间的推移逐渐衰减，达到平衡状态时，能量将达到最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的；达到最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的； 反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的；能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的； 如果系统的储能既不增加，也不消耗，那么如果系统的储能既不增加，也不消耗，那么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。 以小球在凹形曲面以小球在凹形曲面(包括曲面有无摩擦包括曲面有无摩擦)情况举例说明。情况举例说明。29稳定性与李雅普诺夫方法课件 基本思路不是通过求解系统的运动方程，基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李亚普诺夫函数来判断系而是借助于一个李亚普诺夫函数来判断系统的稳定性，对运动方程难于求解的系统，统的稳定性，对运动方程难于求解的系统，如非线性系统、时变系统，分析其稳定性如非线性系统、时变系统，分析其稳定性带来了极大的方便；除了对系统稳定性分带来了极大的方便；除了对系统稳定性分析外，还可用于对系统瞬态响应的质量进析外，还可用于对系统瞬态响应的质量进行评价以及求解参数最优化问题，在现代行评价以及求解参数最优化问题，在现代控制理论的许多方面都有广泛的应用。但控制理论的许多方面都有广泛的应用。但是构成李亚普诺夫函数目前还没有一个通是构成李亚普诺夫函数目前还没有一个通用的方法，其构成需要经验和技巧。用的方法，其构成需要经验和技巧。一、一、 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法(直接法直接法)的基本思路的基本思路30稳定性与李雅普诺夫方法课件一、一、 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法(直接法直接法)的基本思路的基本思路 由于系统的复杂性和多样性，一般不容易到由于系统的复杂性和多样性，一般不容易到一个能量数来描述系统的能量关系；一个能量数来描述系统的能量关系； 李亚普诺夫定义一个正定的标量函数李亚普诺夫定义一个正定的标量函数 ，作为虚构的广义能量函数，根据作为虚构的广义能量函数，根据 的符号特征来判断系统的稳定性；的符号特征来判断系统的稳定性； 李亚普诺夫函数：对于一个正定的标量函数李亚普诺夫函数：对于一个正定的标量函数 ， 是负定的，则这个系统是稳定的。这是负定的，则这个系统是稳定的。这个个 叫做李亚普诺夫函数；叫做李亚普诺夫函数；31稳定性与李雅普诺夫方法课件一、一、 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法(直接法直接法)的基本思路的基本思路 问题是如何找到李亚普诺夫函数，目前还问题是如何找到李亚普诺夫函数，目前还没有一个通用的方法。没有一个通用的方法。 对于一个给定的系统，李亚普诺夫函数不对于一个给定的系统，李亚普诺夫函数不是唯一的。是唯一的。32稳定性与李雅普诺夫方法课件二、相关预备知识二、相关预备知识标量函数的符号性质标量函数的符号性质33稳定性与李雅普诺夫方法课件二、相关预备知识二、相关预备知识标量函数的符号性质标量函数的符号性质34稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据35稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据36稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据37稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据38稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据39稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据40稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据41稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据42稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据43稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据44稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据45稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据46稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据47稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据48稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据49稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据50稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据51稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据52稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据53稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据54稳定性与李雅普诺夫方法课件三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据55稳定性与李雅普诺夫方法课件四、对李亚普诺夫函数的讨论四、对李亚普诺夫函数的讨论 56稳定性与李雅普诺夫方法课件