5 二次型及其标准形二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法三、合同矩阵三、合同矩阵四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念称为称为二次型二次型. .例如例如都为都为二次型二次型 .只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的称为二次型的标准形标准形（或（或法式法式）例如例如为二次型的标准形为二次型的标准形. .称为二次型的称为二次型的规范形规范形 例如例如为二次型的规范形为二次型的规范形. .1 1用和号表示用和号表示对对二次型二次型二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法2 2用矩阵表示用矩阵表示在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系二次型的矩阵及秩二次型的矩阵及秩解解例例2三、合同矩阵三、合同矩阵四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解解step1step1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例3 3从而得特征值从而得特征值step2step2求特征向量求特征向量step3step3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组step4step4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P于是所求正交变换为于是所求正交变换为说明说明五、小结五、小结1.1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常实二次型的化简问题，在理论和实际中经常2.2.遇到，通过遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一在二次型和对称矩阵之间建立一一3.3.对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法请同学们注意这种研究问题的思想方法2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种方法的可逆变换下一节，我们将介绍另一种方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次表示何种二次曲面曲面.求一正交变换，将二次型求一正交变换，将二次型思考题思考题思考题解答思考题解答