第第4章章 向量组与线性方程组的解的结构向量组与线性方程组的解的结构 4.1向量组及其线性组合4.2向量组的线性相关性4.3向量组的秩4.4 线性方程组的解的结构 即 矩阵4.1向量组及其线性组合4.1.1 维向量的概念 1 维向量的定义个有次序的数维向量，这个数称为该向量的分量，第个数称为第个分量（或第 个坐标） 行向量 列向量 即 矩阵2零向量 3负向量 4向量的相等 5向量组 同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称为向量组 4.1.2 维向量的线性运算 1加法与数乘为任意实 数，则 2加法与数乘的运算规律（略）注:利用向量的运算,对于方程组 则4.1.3向量组的线性组合与线性表示 1.定义定义2 (1) 给定向量组 ,对于任何一组实数 ,表达式称为向量组 的一个线性组合， 称为该线性组合的系数. (2)给定向量组和向量 ,如果存在一组实数 ,使 则称 是向量组的线性组合，或称 可由向量组线性表示.2.定理定理1 可由向量组线性表示 的充分必要条件充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩注：设可由向量组唯一线性表示 的充分必要条件充分必要条件是例例1 试问 能否由线性表示？若能，写出具体表示式. 解解: 所以 能否由惟一线性表示，且例例2 因为, 所以,不能由线性表示. 解解: 试问 能否由线性表示？若能，写出具体表示式. 4.1.4向量组的等价1.定义定义3 设两个向量组 若向量组 中的每个向量都可由向量组 线性表示，则称向量组 可由向量组 线性表示.若向量组 与向量组 可以互相线性表示，则称向量组 与向量组 等价.2.定理定理2设向量组 与向量组 等价向量组 可由向量组 线性表示推论：维向量组4.2向量组的线性相关性 4.2.1线性相关与线性无关的定义 1.定义定义4 设有,若存在一组不全为使 称向量组线性相关,否则称为线性无关.线性无关,则上式当且仅当时才成立 2.由定义4可知， (1) 仅含一个零向量的向量组必线性相关; (2) 仅含一个非零向量的向量组必线性无关; (3) 任何包含零向量在内的向量组必线性相关; (4) 向量组 线性相关 齐次线性方程组 有非零解 换言之,若,则零的数4.2.2 向量组线性相关的充分必要条件定理定理3 向量组 线性相关线性无关向量组例例3 讨论向量组的线性相关性. 解解: 由于 ,从而 线性相关. 例4：已知向量组，问是否线性相关.，所以，是线性无关.解：例5：设向量组线性无关，又设，证明向量组 也线性无关.证明：设有使得因为 线性无关，故有此时，线性方程组只有零解也即向量组 线性无关.定理定理4 向量组 线性相关有一个向量可以由其余 个向量线性表示.向量组中至少注：两个向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例. 4.2.3 线性相关性的判断定理 定理定理5 （1）若 线性相关,则 也线性相关; （ 2）线性无关向量组的任何部分组必线性无关. 定理定理6 线性无关,而 若线性相关,则 能由 线性表示，且表示式是惟一的. 定理定理7 设有两个向量组 若向量组 线性无关，则向量组 也线性无关；若向量组 线性相关，则向量组 也线性相关.注:向量组的线性相关与线性无关的概念可用于线性方程组 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个 方程就是多余方程，此时称方程组（各个方程）是线性 相关的； 当方程组中没有多余方程，则称该方程组（各个方程） 是线性无关（或线性独立）的 .4.3向量组的秩4.3.1 向量组的极大无关组与秩的定义1.定义定义5 设有向量组 ,如果在 中能选出 个向量满足 向量组 线性无关； 向量组 中任意一个向量都能由 线性表示那么称 是向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组；极大线性无关组所含向量的个数 ,称为向量组 的秩. 注: (1) 只含零向量的向量组没有极大线性无关组,规定它的秩为0 (2) 任何非零向量组必存在极大无关组 (3) 向量组的极大无关组与向量组本身等价 (4) 线性无关向量组的极大无关组就是其本身 . (5) 向量组的极大无关组一般不是惟一的.但每一个极大无关组所含向量的个数是惟一的,等于向量组的秩 列即是列向量组的一个极大无关组，4.3.2向量组的秩与矩阵的秩的关系 定理定理8 矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩. 结论:若是矩阵的一个最高阶非零子式，则所在的所在的是行向量组的一个极大无关组. 行即4.3.3 利用初等行变换求向量组的秩与极大无关组 将所讨论的向量组 的每一个向量作为矩阵的列列写成一个矩阵 ,并对此矩阵施行初等行变换行变换,化为行阶梯形行阶梯形矩阵,其非零行的行数就是矩阵的非零行的行数就是矩阵的秩秩,也是向量组的秩(当然也是极大无关组所含向量的个数); 行阶梯形矩阵的每一个非零行的第一个非零元所在的列行阶梯形矩阵的每一个非零行的第一个非零元所在的列对应的向量构成的向量组就是向量组的一个极大无关组.例例6 解解: 将向量组构成矩阵 ,进行初等行变换 从而向量组 的秩为3, 为其一极大无关组.例例7 解解 将向量组按列排成矩阵 ,用初等行变换将 化为行阶梯形矩阵故 是其一个极大无关组.4.4 线性方程组的解的结构4.4.1齐次线性方程组的解的结构 性质1 若 为(2)的解,则 为(2)的解. 性质2 若 为(2)的解, 为实数则 为(2)的解. ,称为(2)的解向结论:将方程组(2)的全体解所组成的集合记作 量组,如果能找到解向量组 的一个极大无关组 则 的任何线性组合都是方程(2)的解,因此式就是(2)的通解. 齐次线性方程组的解向量组的极大无关组称为该齐次线性 方程组的基础解系.由上面的讨论,要求齐次线性方程组的通解, 只需求出它的基础解系.定理定理9 设 矩阵 的秩 ,则 元齐次线性方程组 的解向量组 的秩 .例例8 求齐次线性方程组的基础解系与通解. 解解: 对系数矩阵 作初等行变换同解方程组为即所以,方程组的通解为一基础解系为4.4.2非齐次线性方程组的解的结构 性质3 设 是方程(5)的解,则 是方程(6)的解.性质4 设 是方程(5)的解, 是方程(6)的解,则 是方程(5)的解.结论:若 为方程(6)的一个基础解系 ,是方程(5)的一个特解,则方程则方程(5)的通解为的通解为 为任意实数). 例例9 求解方程组 解解: 对增广矩阵 作初等行变换 同解方程组为即所以,方程组的通解为一特解为 对应的齐次线性方程组的通解为一基础解系为