1 人教版七年级上册数学导学案 第一章 有理数 1.1 正数和负数（1） 学习目标: 1、整理前两个学段学过的整数、分数（小数）知识，掌握正数和负数概念. 2、会区分两种不同意义的量，会用符号表示正数和负数. 3、体验数学发展是生活实际的需要，激发学生学习数学的兴趣. 学习重点：两种意义相反的量 学习难点：正确会区分两种不同意义的量 教学方法：引导、探究、归纳与练习相结合 教学过程 一、学前准备 1、 小学里学过哪些数请写出来： 、 、 . 2、在生活中，仅有整数和分数够用了吗？有没有比0 小的数？如果有，那叫做什么数？ 3、阅读课本（重点是三个例子，边阅读边思考） 回答上面提出的问题： . 二、探究新知 1、正数与负数的产生 1） 、生活中具有相反意义的量 如：运进 5 吨与运出 3 吨；上升 7 米与下降 8 米；向东 50 米与向西 47 米等都是生活中遇到的具有相反意义的量. 请你也举一个具有相反意义量的例子： . 2）负数的产生同样是生活和生产的需要 2、正数和负数的表示方法 1）一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与 2 它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的。正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+” （读作正）号，如前面的 5、7、50；负的量用小学学过的数前面放上“” （读作负）号来表示，如上面的3、8、47。 2）活动 两个同学为一组，一同学任意说意义相反的两个量，另一个同学用正负数表示. 3、正数、负数的概念 1）大于 0 的数叫做 ，小于 0 的数叫做 。 2）正数是大于 0 的数，负数是 的数，0 既不是正数也不是负数。 三、练习 1、读出下列各数，指出其中哪些是正数，哪些是负数？ 2， 0.6， +13， 0， 3.1415， 200， 754200， 2、举出几对（至少两对）具有相反意义的量，并分别用正、负数表示 四、应用迁移，巩固提高（A 组为必做题） A 组 1任意写出 5 个正数：_；任意写出 5 个负数：_ 2小明的姐姐在银行工作，她把存入 3 万元记作+3 万元，那么支取 2 万元应记作_,-4 万元表示_ 3已知下列各数：51，432，3.14，+3065，0，-239 则正数有_；负数有_ 4如果向东为正，那么 -50m 表示的意义是（ ） A向东行进 50m C向北行进 50m 3 B向南行进 50m D向西行进 50m 5下列结论中正确的是 （ ） A0 既是正数，又是负数 BO 是最小的正数 C0 是最大的负数 D0 既不是正数，也不是负数 6给出下列各数：-3，0，+5，213，+3.1，21，2004，+2008 其中是负数的有 （ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 B 组 1零下 15，表示为_，比 O低 4的温度是_ 2地图上标有甲地海拔高度 30 米，乙地海拔高度为 20 米，丙地海拔高度为-5米，其中最高处为_地，最低处为_地 3 “甲比乙大-3 岁”表示的意义是_ C 组 1写出比 O 小 4 的数，比 4 小 2 的数，比-4 小 2 的数 2如果海平面的高度为 0 米，一潜水艇在海水下 40 米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方 10 米处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度 4 1.1 正数和负数（2） 学习目标: 1、会用正、负数表示具有相反意义的量. 2、通过正、负数学习，培养学生应用数学知识的意识. 3、通过探究，渗透对立统一的辨证思想 学习重点：用正、负数表示具有相反意义的量 学习难点：实际问题中的数量关系 教学方法：讲练相结合 教学过程 一、.学前准备 通过上节课的学习， 我们知道在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量,为了区分它们,我们用正数和负数来分别表示它们. 问题 1： “零”为什么即不是正数也不是负数呢? 引导学生思考讨论,借助举例说明. 参考例子:温度表示中的零上,零下和零度. 二.探究理解 解决问题 先引导学生分析，再让学生独立完成 例 (1)一个月内,小明体重增加 2kg,小华体重减少 1kg,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值; (2)2009 年下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是: 美国减少 6.4%, 德国增长 1.3%, 法国减少 2.4%, 英国减少 3.5%, 意大利增长 0.2%, 中国增长 7.5%. 写出这些国家 2009 年商品进出口总额的增长率. 解:(1)这个月小明体重增长 2kg,小华体重增长-1kg,小强体重增长 0kg. (2)六个国家 2009 年商品进出口总额的增长率: 5 美国-6.4%, 德国 1.3%, 法国-2.4%, 英国-3.5%, 意大利 0.2%, 中国 7.5%. 三、巩固练习 从 0 表示一个也没有,是正数和负数的分界的角度引导学生理解. 在学生的讨论中简单介绍分类的数学思想先不要给出有理数的概念. 在例题中,让学生通过阅读题中的含义,找出具有相反意义的量,决定哪个用正数表示,哪个用负数表示. 通过问题(2)提醒学生审题时要注意要求,题中求的是增长率,不是增长值. 四、阅读思考 问题:1.直径为 30.032mm 和直径为 29.97 的零件是否合格? 2.你知道还有那些事件可以用正负数表示允许误差吗?请举例. 五、小结 1、本节课你有那些收获？ 2、还有没解决的问题吗？ 六、应用与拓展 选做题 1、甲冷库的温度是-12C,乙冷库的温度比甲冷酷低 5C,则乙冷库的温度是 . 2、一种零件的内径尺寸在图纸上是90.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺寸是 9mm,加工要求最大不超过标准尺寸多少?最小不小于标准尺寸多少? 6 3、 吐鲁番的海拔是155m， 珠穆朗玛峰的海拔是 8848m ， 它们之间相差多少米？ 4、如果规定向东为正，那么从起点先走+40 米，再走60 米到达终点，问终点在起点什么方向多少米？应怎样表示？一共走过的路程是多少米？ 5、10 筐橘子，以每筐 15 为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数。标重的记录情况如下：+1，0.5，0.5，1，+0.5，0.5，+0.5，+0.5，+0.5，0.5。问这 10 筐橘子各重多少千克？总重多少千克？ 【解】17 6.一种零件的内径尺寸在图纸上是90.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺寸是 9mm,加工要求最大不超过标准尺寸多少?最小不小于标准尺寸多少? 【解】9.05mm,8.95mm 7 1.2 有理数(1) 教学目标 1. 正我有理数的概念,会对有理数按照一定的标准进行分类,培养分类能力; 2. 了解分类的标准与分类结果的相关性,初步了解“集合”的含义; 3. 体验分类是数学上的常用的处理问题的方法. 教学重点与难点 重点:正确理解有理数的概念. 难点:正确理解分类的标准和按照定的标准进行分类. 一.知识回顾和理解 通过两节课的学习,我们已经将数的范围扩大了,那么你能写出 3 个不同类的数吗?.(3 名学生板书) 问题 1:我们将这三为同学所写的数做一下分类. (如果不全,可以补充). 问题 2:我们是否可以把上述数分为两类?如果可以,应分为哪两类? 二.明确概念 探究分类 正整数、0、负整数统称整数,正分数和负分数统称分数. 整数和分数统称有理数 问题3:上面的分类标准是什么?我们还可以按其它标准分类吗? 负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 三.练一练 熟能生巧 1.任意写出三个数,标出每个数的所属类型,同桌互相验证. 2.把下列各数填入它所属于的集合的圈内: 每名学生都参照前一名学生所写的,尽量写不同类型的,最后有下面同学补充. 在问题 2 中学生说出按整数和分数来分,或按正数和负数来分,可以先不去纠正遗漏 0的问题,在后面分类是在解决。 教师可以按整数和分数的分类标准画出结构图,而问题3中的分类图可启发学生写出. 8 15,-91,-5,152,813,0.1,-5.32,-80,123,2.333. 正整数集合 负整数集合 正分数集合 负分数集合 小结 到现在为止我们学过的数是有理数(圆周率除),有理数可以按不同的标准进行分类,标准不同时,分类的结果也不同. 作业 必做题:教科书练习.T1、2 作业 2.把下列给数填在相应的大括号里: -4,0.001,0,-1.7,15,23. 正数集合 ,负数集合 , 正整数集合 ,分数集合 备选题 1.下列各数,哪些是整数?哪些是分数?哪些是正数?哪些是负数? +7,-5,217 ,61,79,0,0.67,321,+5.1 2.0 是整数吗?自然数一定是整数吗?0 一定是正整数吗?整数一定是自然数吗? 3.图中两个圆圈分别表示正整数集合和整数集合,请写并填入两个圆圈的重叠部分.你能说出这个重叠部分表示什么数的集合吗? 在练习 2 中,首先要解释集合的含义.练习 2 中可补充思考:四个集合合并在一起是什么集合?(若降低难度可分开问) 这里可以提到无限不循环小数的问题.并特殊指明我们以前所见到的数中,只有是一个特殊数,它不是有理数.但3.14是有理数. 作业 2 意在使学生熟悉集合的另一种表示形式. 利用此题明确自然数的范围.0 是自然数.这点可以在前面的教学中出现. 3 题是一个探索题,有一定难度,可以分步完成,不如先写出正数,在写出整数,观察都具备的是其中哪个数. 9 正数集合 整数集合 10 1.2 有理数(2) 教学目标 1. 掌握数轴的概念,理解数轴上的点和有理数的对应关系; 2. 会正确地画出数轴,会用数轴上的点表示给定的有理数,会根据数轴上的点读出所表示的有理数; 3. 感受在特定的条件下数与形是可以互相转化的,体验生活中的数学. 教学重点与难点 重点:数轴的概念和用数轴上的点表示有理数. 难点:同上. 一.创设情境 引入新知 观察屏幕上的温度计,读出温度.(3 个温度分别是零上,零,零下) 问题 1:在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东 3m 和 7.5m 处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西 3m和 4.8m 处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.(分组讨论,交流合作,动手操作) 二.合作交流 探究新知 通过刚才的操作,我们总结一下,用一条直线表示有理数,这条直线必须满足什么条件?(原点,单位长度,正方向,说出含义就可以) 小游戏:在一条直线上的同学站起来,我们规定原点,正方向,单位长度,按老师发的数字口令回答“到” 游戏前可先不加任何条件,游戏中发现问题,进行弥补. 总结游戏,明确用直线表示有理数的要求, 提出数轴的概念和要求 三.动手动脑 学用新知 1.你能举出生活中用直线表示数的实际例子吗?(温度计,测量尺,电视音量,量杯容量标志,血压计等). 2.画一个数轴,观察原点左侧是什么数,原点右侧是什么数?每个数到原点的问题 1 先给出情境,学生观察,思考,研究,表示.增强学生的合作意识. 满足的条件可以先不必明确,基本能明确就可以,在后面逐步明确 游戏的目的是使学生明白数与点的对应关系,并知道要想在直线上表示数必须满足的条件是什么. 11 距离是多少? 四.反复演练 掌握新知 1.5,-2.2,-2.5,29,32,0. 2.写出数轴上点 A,B,C,D,E 所表示的数: . 小结 1. 数轴需要满足什么样的条件; 2. 数轴的作用是什么? 作业 1.在数轴上,表示数-3,2.6,53,0,314,322,-1 的点中,在原点左边的点有 个. 2.在数轴上点A表示-4,如果把原点O向负方向移动1.5个单位,那么在新数轴上点 A 表示的数是( ) A.215 B.-4 C.212 D.212 3.(1)(请先在头脑中想象点的移动,尝试解决下面问题,然后再画图解答)一个点在数轴上表示的数是-5,这个点先向左边移动3个单位,然后再向右边移动6个单位,这时它表示的数是多少呢?如果按上面的移动规律,最后得到的点是 2,则开始时它表示什么数? (2)你觉得数轴上的点表示数的大小与点的位置有关吗?为什么? 明确数轴的正确画法和要求. 练习中注意纠正学生数轴画法的错误和点的表示错误 总结可以由教师提出问题,学生总结,教师完善 2 题也可以启发学生反过来想,即点A 向正方向移动 1.5 个单位. 3 题有一定的难度,两次变动可转化成原点实际怎样移动了,移动了几个单位,那么-5 实际上怎样移动了 12 1.2 有理数(3) 教学目标 1. 借助数轴，使学生了解相反数的概念 2. 会求一个有理数的相反数 3. 激发学生学习数学的兴趣. 教学重点与难点 重点: 理解相反数的意义 难点: 理解相反数的意义 提问 1、数轴的三要素是什么？ 2、填空： 数轴上与原点的距离是2 的点有 个，这些点表示的数是 ；与原点的距离是5 的点有 个，这些点表示的数是 。 相反数的概念： 只有符号不同的两个数，我们称它们互为相反数，零的相反数是零。 概念的理解： （1） 互为相反数的两个数分别在原点的两旁，且到原点的距离相等。 （2） 一般地，数 a 的相反数是a，a不一定是负数。 （3） 在一个数的前面添上“-”号，就表示这个数的相反数，如：-3 是 3 的相反数，-a 是 a 的相反数，因此，当 a 是负数时，-a 是一个正数 -（-3）是(-3)的相反数，所以-（-3）=3，于是 （4） 互为相反数的两个数之和是 0 即如果 x 与 y 互为相反数，那么 x+y=0;反之，若 x+y=0, 则 x 与 y 互为相反数 （5） 相反数是指两个数之间的一种特殊的关系，而不是指一个种类。如： “-3是一个相反数”这句话是不对的。 问题 1 求下列各数的相反数： 13 （1）-5 （2）21 （3）0 （4）3a （5）-2b (6) a-b (7) a+2 问题 2 判断： （1）-2 是相反数 （2）-3 和+3 都是相反数 （3）-3 是 3 的相反数 （4）-3 与+3 互为相反数 （5）+3 是-3 的相反数 （6）一个数的相反数不可能是它本身 问题 3 化简下列各数中的符号： （1）)312( （2）-（+5） （3）)7( （4）)3( 问题 4 填空： （1）a-4 的相反数是 ，3-x 的相反数是 。 （2）x32是 的相反数。 （3）如果-a=-9,那么-a 的相反数是 。 问题 5 填空： （1）若-（a-5）是负数，则 a-5 0. (2) 若)(yx 是负数，则 x+y 0. 问题 6 已知 a、b 在数轴上的位置如图所示。 （1） 在数轴上作出它们的相反数； （2） 用“0,b0.（ ） 3.若 a+b0,则 a，b 两数可能有一个正数.（ ） 4.若 x+y=0,则x=y.（ ） 5.有理数中所有的奇数之和大于 0.（ ） 三、填空 1 （+5）+（+7）=_； （-3）+（-8）=_； （+3）+（-8）=_； （-3）+（-15）=_； 0+（-5）=_； （-7）+（+7）=_ 2一个数为-5，另一个数比它的相反数大 4，这两数的和为_ 3 （-5）+_=-8； _+（+4）=-9 _(2)11； _(2)11； 5. 如果, 5, 2ba则ba , ba 四、计算 （1） （+21）+（-31） （2） （-3.125）+（+318） （3） （-13）+（+12） （4） （-313）+0.3 （5） （-22 914）+0 （6）-7+-9715 21 五、土星表面夜间的平均气温为150，白天的平均气温比夜间高 27，那么白天的平均气温是多少？ 六、一位同学在一条由东向西的跑道上，先向东走了 20 米，又向西走了 30 米，能否确定他现在位于原来的哪个方向，与原来位置相距多少米？ 七、潜水员原来在水下 15 米处，后来上浮了 8 米，又下潜了 20 米，这时他在什么位置？要求用加法解答。 八、 已知. 5, 2ba （1）求ba （2）若又有ba ,求ba . 22 1.3 有理数的加减法(2) 学习目标：1.进一步掌握有理数加法运算法则， 理解加法运算律在有理数范围内推广的合理性； 2.能运用加法运算律简化加法运算； 3.经历有理数加法运算律的探索，体会观察、实践、归纳等活动在数学中的作用. 学习难点：运用有理数加法法则简化运算. 课堂活动 一、 有理数加法运算律的探索 1.试一试： （1）任意选择两个有理数（至少有一个是负数） ，分别填入下列和内，并比较两个运算的结果： + 和 + （2）任意选择三个有理数（至少有一个是负数） ，分别填入下列、和内，并比较两个运算的结果： （+）+ 和 +（+） 2.你能发现什么？请说说自己的猜想. 3.概括：通过实例说明加法的交换律和结合律对于有理数同样适用 . 加法的交换律：文字概括： 字母表示 加法的结合律：文字概括： 字母表示 二、有理数加法运算律的应用 问题 1.计算 （1） (-23)+(+58)+(-17) （2）（-2.8)+(-3.6)+(-1.5)+3.6 （3）)75()65()72(61 （4） （+4.56） + （-3.45） + （+4.44）+（+2.45） 23 问题 2：计算 （1） (-11)+8+(-14) （2）32)41()32()43( （3） 0.35+(-0.6)+0.25+(-5.4) （4）)61(31)21()2( 三、拓展延伸 问题 3.10 筐苹果，以每筐 30 千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：2，-4，2.5，3，-0.5，1.5，3，-1，0，-2.5. 问（1）10 筐苹果共超过（不足）多少千克？ （2）10 筐苹果共重多少千克？ 课堂反馈： 1.从某点 O 出发,在一直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程记为负数,爬过的各段路程依次为(单位:厘米):+5, -3,+10, -8, -6, +12, -10. 试问:小虫最后能否回到出发点 O? 2.10 名学生的某一次数学考试成绩如下（单位：分）87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，你能迅速算出总成绩之和吗？ 知识巩固 一、 填空 1. 存折中有存款 240 元,取出 125 元,又存入 100 元,存折中还有 元. 2.绝对值小于 5 的所有负整数的和为 3.已知a是最小的正整数,b是a的相反数,c的绝对值为 3,则a+b+c= 4.某天股票 A 的开盘价是 18 元，上午 11：30 跌 1.5 元，下午收盘时又涨 0.3元，则股票 A 这天的收盘价是 元. 5.如果 a0,则a+a= 二、计算 （1） )4(1)3() 1(3 （2） （-9）+4+（-5）+8； 24 （3） （-36.35）+（-7.25）+26.35+（+714） （4）)2(9465195 （5）)127(25)125()23( （6） （-13）+（+25）+（+35）+（-123） 三、解答题 1. 一天早晨的气温是-7C,中午上升了 11C,半夜又降了 9C,则半夜的气温是多少? 2.仓库内原存某种原料4500 千克，一周内存入和领出情况如下（存入为正，单位：千克） ： 1500，-300，-670，400，-1700，-200，-250.问：第 7 天末仓库内还存有这种原料多少千克？ 3. 某种袋装奶粉标明净含量为 400g，检查其中 8 袋，记录如下表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 差值/g -4.5 +5 0 +5 0 0 +2 -5 请问这 8 袋被检奶粉的总净含量是多少？ 4.一只电子跳骚从数轴上的原点出发,第一次向右跳 1 个单位,第二次向左跳 2个单位,第三次向右跳 3 个单位,第四次向左跳 4 个单位,按这样的规律跳 25 100 次,跳骚到原点的距离是多少？ 5. 某出租车沿公路左右行驶，向左为正，向右为负，某天从 A 地出发后到收工回家所走的路线如下： （单位：千米）8, 9, 4, 7, 2, 10, 18, 3, 7, 5 问收工时离出发点 A 多少千米？ 若该出租车每千米耗油 0.3 升，问从 A 地出发到收工共耗油多少升？ 6.已知cba, 7, 2的相反数为-5,试求a+)( b+(-c) 7计算：|1-12|+|12-13|+|13-14|+|19-110| 课后反思： 学习小结： 26 1.3 有理数的加减法(3) 学习目标: 1.理解有理数减法法则, 能熟练进行减法运算. 2.会将减法转化为加法,进行加减混合运算,体会化归思想. 学习难点 有理数的减法法则的理解，将有理数减法运算转化为加法运算 自主学习： 一、情境引入： 1昨天，国际频道的天气预报报道，南半球某一城市的最高气温是5，最低气温是-3， 你能求出这天的日温差吗？ （所谓日温差就是这一天的最高气温与最低气温的差） 2珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的海拔高度分别是8848 米和-155 米，问珠穆朗玛峰比吐鲁番盆地高多少？ 探索新知： （一） 有理数的减法法则的探索 1我们不妨看一个简单的问题： （-8）-（-3）=？ 也就是求一个数“？” ，使 （？）+（-3）=-8 根据有理数加法运算，有 （-5）+（-3）= -8 所以 （-8）-（-3）= -5 2这样做减法太繁了，让我们再想一想有其他方法吗？ 试一试 做一个填空： （-8）+（ ）= -5 容易得到 （-8）+（+3 ）= -5 思考： 比较 、两式，我们有什么发现吗？ 3.验证： （1）如果某天 A 地气温是 3，B 地气温是5，A 地比 B 地气温高多少？ 3（5）=3+ ； （2）如果某天 A 地气温是3，B 地气温是5，A 地比 B 地气温高多少？ 27 （3）（5）=（3）+ ； （2）如果某天 A 地气温是3，B 地气温是 5，A 地比 B 地气温高多少？ （3）5=（3）+ ； （二）有理数的减法法则归纳 1说一说：两个有理数减法有多少种不同的情形？ 2议一议：在各种情形下，如何进行有理数的减法计算？ 3试一试：你能归纳出有理数的减法法则吗？ 由此可推出如下有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母表示：)( baba 由此可见，有理数的减法运算可以转化为加法运算。 【思考】 ：两个有理数相减，差一定比被减数小吗？ 说明： （1）被减数可以小于减数。如： 1-5 ； （2）差可以大于被减数，如： （+3）-（-2） ； （3）有理数相减，差仍为有理数； （4）大数减去小数，差为正数；小数减大数，差为负数； （三 ）问题： 问题 1. 计算： 15（7） （8.5）（1.5） 0（22） （+2）(+8) （4）16 41)21( 问题 2 （1）13.75 比435少多少？ （2）从1 中减去125与87的和，差是多少？ （四）课堂反馈： 1 求出数轴上两点之间的距离： （1）表示数 10 的点与表示数 4 的点； （2）表示数 2 的点与表示数4 的点； （3）表示数1 的点与表示数6 的点。 归纳总结： 28 1有理数减法法则 2.有理数减法运算实质是一个转化过程 【知识巩固】 1下列说法中正确的是( ) A 减去一个数，等于加上这个数. B 零减去一个数，仍得这个数. C 两个相反数相减是零. D在有理数减法中，被减数不一定比减数或差大. 2下列说法中正确的是（ ） A 两数之差一定小于被减数. B 减去一个负数，差一定大于被减数. C 减去一个正数，差不一定小于被减数. D 零减去任何数，差都是负数. 3若两个数的差不为 0 的是正数，则一定是（ ） A 被减数与减数均为正数，且被减数大于减数. B 被减数与减数均为负数，且减数的绝对值大. C 被减数为正数，减数为负数. 4下列计算中正确的是（ ） A（3）（3）= 6 B 0（5）=5 C（10）（7）= 3 D | 64 |= （64） 5 （1） （2）_=5； （5）_=2. （2）04（5）（6）=_. （3） 月球表面的温度中午是 1010C， 半夜是-153oC， 则中午的温度比半夜高_. （4）已知一个数加3.6 和为0.36，则这个数为_. （5）已知 b 0，则 a，ab，ab 从大到小排列_. （6）0 减去 a 的相反数的差为_. （7）已知| a |=3，| b |=4，且 ab，则 ab 的值为_. 6计算 （1） （2）（5） （2） （9.8）（6） 29 (3) 4.8（2.7） （4） （0.5）（+13） （5） （6）（6） （6） （39）（213） （7）| 114（213）| （112） （8） （323）（123）（1.75）（234） 7已知 a = 8，b = 5，c = 3，求下列各式的值： (1)abc; （2）a(c+b) 8若 a0, 则 a， a+b, a-b, b 中最大的是（ ） A. a B. a+b C. a-b D. b 9.请你编写符合算式（-20）-8 的实际生活问题。 30 1.3 有理数的加减法(4) 学习目标： 1、能把有理数的加、减法混合运算的算式写成几个有理数的和式，并能正确地进行有理数加减混合运算。 2、能体会数学中的转化思想。 学习难点 ：有理数加减法的混合运算及其应用。 教学过程 一、情境引入 1有理数的加法法则，有理数的减法法则。 2一架飞机做特技表演， 它起飞后的高度变化情况为： 上升 4.5 千米，下降 3.2千米，上升 1.1 千米，下降 1.4 千米，求此时飞机比起飞点高了多少千米？ 3 （-8）-（-10）+（-6）-（+4） ， 这是有理数的加减混合运算题，你会做吗？请同学们思考练习。 根据有理数减法法则，有理数的加减混合运算可以统一为 二、探索新知 1加法、减法统一成加法 由于减法可以改写成加法进行运算， 因此所有加法、 减法的运算在有理数范围内都可以统一成加法运算。如： （-12）+（-5）-（-8）-（+9）可以改写成 （-12）+（-5）+（+8）+（-9） 做一做： （1） （-9）-（+5）-（-15）-（+9） （2） 2+5-8 （3） 14-（-12）+（-25）-17 2有理数加法运算中，加号可以省略 如： 12+（-8）=12-8； （-12）+（-8）=（-12）-（+8）=（-12）-8 （-9）+（-5）+（+15）+（-20）= -9-5+15-20 练一练：将（-15）-（+63）-（-35）-（+24）+（-12）先统一成加法，再省略加号。 3加、减混合运算中“+” “”号的理解 （1）可以看作是运算符号（第一个数除外） 31 如：-5-3+8-7 可读作负 5 减去 3 加上 8 减去 7 （2）可以看作是一个数的本身的符号 如：-5-3+8-7 可以看作是（-5）+（-3）+（+8）+（-7） ，可读作负 5、负 3、正 8、负 7 的和 4省略加号的加法算式的运算 练一练： （1）-3-5+4 （2）-26+43-24+13-46 三、 问题 问题 1计算 （1） （-4）+9-（-7）-13 （2）11-39.5+10-2.5-4+19 （3）54) 1 . 3()53(4 . 2 问题 2寻道员沿东西方向的铁路进行巡视维护。他从住地出发，先向东行走了7km，休息之后继续向东行走了 3km；然后折返向西行走了 11.5km，此时他在住地的什么方向？与住地的距离是多少？ 课堂反馈：在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从 A 处出发，晚上到达 B 处，记向东方向为正方向，当天航行路程记录如下：（单位：千米） 14，-9，+8，-7,13，-6，+10，-5 （1） B 在 A 何处？ （2） 若冲锋舟每千米耗油 0.5 升，油箱容量为 29 升，球途中还需补充多少升油？ 四、归纳总结 1有理数加减法统一成加法运算。 2解题时要注意解题技巧的应用。 32 【知识巩固】 1.判断题 (1)运用加法交换律，得-7+3=-3+7. ( ) (2)-5-4=-9.( ) -5-4=-1.( ) (3)两个数相加，和一定大于任一个加数 （ ） (4)两数差一定小于被减数 （ ） (5)零减去一个数，仍得这个数 （ ） 2.选择题 (1)把（+5）-（+3）-（-1）+（-5）写成省略括号的和的形式是 ( ) A.-5-3+1-5 B.5-3-1-5 C.5+3+1-5 D.5-3+1-5 （2）算式 8-7+3-6 正确的读法是 ( ) A.8、7、3、6 的和 B.正 8、负 7、正 3、负 6 的和 C.8 减 7 加正 3、减负 6 D.8减 7 加 3 减 6 的和 （3）两个数相加，其和小于每个加数，那么这两个数( ) A.同为负数 B.异号 C.同为正数 D.零或负数 （4）甲数减去乙数的差与甲数比较，必为( ) A.差一定小于甲数 B.差不能大于甲数 C.差一定大于甲数 D.差的大小取决于乙是什么样的数 3.把下列各式写成省略括号的和的形式 (1)（-28）-（+12）-（-3）-（+6） （2） （-25）+（-7）-（-15）-（-6）+（-11）-（-2） 33 4.计算下列各题 (1)（+17）-（-32）-（+23） （2） （+6）-（+12）+（+8.3）-（+7.4） （3）1.2-2.5-3.6+4.5 （4）7+6+985； （5）73（89+25） （6）16+25+1615+410 (7)5.4+0.20.6+0.8 5有十箱梨，每箱质量如下： （单位:千克）51,53,46,49,52,45,47,50,53,48。你能较快地算出它们的总质量吗？列式计算。 6 若5a，2b，6c且,),(cacababa求 a-b+c 的值。 34 1.4 有理数的乘除法(1) 学习目标：1了解有理数乘法的实际意义，理解有理数的乘法法则； 2. 能熟练地进行有理数的乘法运算. 学习难点：积的符号的确定 教学过程： 一、情境引入： 什么叫乘法运算？ 求几个相同加数的和的运算。如 2+2+2+2+2=25； （-2）+（-2）+（-2）+（-2）+（-2）=（-2）5 像（-2）5 这样带有负数的式子怎么运算？ 二、探究学习： 1、在水文观测中，常遇到水位上升与下降的问题，请根据日常生活经验，回答下列问题： （1）如果水位每天上升 4cm，那么 3 天后的水位比今天高还是低？高（或低）多少？ （2）如果水位每天上升 4cm，那么 3 天前的水位比今天高还是低？高（或低）多少？ （3）如果水位每天下降 4cm，那么 3 天后的水位比今天高还是低？高（或低）多少？ （4）如果水位每天下降 4cm，那么 3 天前的水位比今天高还是低？高（或低）多少？ 我们规定水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负；你能用正数或负数表示上述问题吗？你算的结果与经验一致吗？ 3、两个有理数相乘，积的符号怎样确定？积的绝对值怎样确定？小组讨论，总结、归纳得出有理数乘法法则。 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数与 0 相乘都得 0。 问题 1、计算 （1）（- 4）5； （2）（- 5） （-7） 解：（1） （- 4）5； （2）（- 5） （-7） 35 = - （4 5） （异号得负，绝对值相乘） = + （5 7） （同号得正，绝对值相乘） = - 20 = 35 注：计算时，先定符号，再把绝对值相乘，切勿与加法混淆。 练一练： 4、我们已经学会了两个有理数相乘，那多个有理数相乘又如何运算呢？ （2）3456=720 （2）（3）456=720 （2）（3）（4）56=720 （2）（3）（4）（5）6=720 （2）（3）（4）（5）（6）=720 积的符号怎样确定？积的绝对值怎样确定？你发现规律了吗？ 小组讨论，总结、归纳得： 多个有理数乘法法则：几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数来确定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为 0 时，积就为 0。 问题 2、计算： （1）412()0.5 （2）3745724 练一练： （1）152.5716()8 （2）3556()6 【知识巩固】 1填空 _（-2）=-6 ； （-3）_=9 ；_(-5)=0 2.选择： 1. 一个有理数与它的相反数的积 （ ） A. 是正数 B. 是负数 C. 一定不大于 0 D. 一定不小于 0 36 2. 下列说法中正确的是 （ ） A.同号两数相乘,符号不变 B.异号两数相乘,取绝对值较大的因数的符号 C.两数相乘,积为正数,那么这两个数都为正数 D.两数相乘,积为负数,那么这两个数异号 3. 两个有理数， 它们的和为正数， 积也为正数， 那么这两个有理数 （ ） A. 都是正数 B. 都是负数 C. 一正一负 D. 符号不能确定 4. 如果两个有理数的积小于零，和大于零，那么这两个有理数 （ ） A.符号相反 B.符号相反且绝对值相等 C.符号相反且负数的绝对值大 D.符号相反且正数的绝对值大 5.若ab=0，则( ) A. a=0 B. b=0 C. a=0 或b=0 D. a=0 且b=0 6. 两个有理数 a,b 满足下列条件,能确定 a,b 的正负吗( ) A. ab0，ab0 B. ab0，ab0 C. ab0，ab0 D. ab0，ab0 3判断 同号两数相乘，取原来的符号，并把绝对值相乘。 （ ） 两数相乘积为正，则这两个因数都为正。 （ ） 两数相乘积为负，则这两个因数都为负。 （ ） 一个数乘（-1） ，便得这个数的相反数。 （ ） 4、计算: （1） ()4 ()7 （2）6()8 （3）524135 （4）()25 16 （5） 3()5 ()7 4 （6） 15()17 ()20090 37 （7） 814 （8）5()1 ()4 14 5、规定一种新的运算：ababab1.如，3434341 （1）计算56 ； （2）比较大小：()3 4 4()3 6、初一年级共 100 名学生，在一次数学测试中以 90 分为标准，超过的记为正，不足的记为负，成绩如下： 人数 10 20 5 14 12 18 10 4 9 6 2 成绩 1 +3 2 +1 +10 +2 0 7 +7 9 12 请你算出这次考试的平均成绩. 38 1.4 有理数的乘除法(2) 学习目标： 1. 熟练掌握有理数的乘法法则 2. 会运用乘法运算率简化乘法运算. 3. 了解互为倒数的意义，并回求一个非零有理数的倒数 学习难点：运用乘法运算律简化计算 教学过程： 一、探索 1、同加法运算律在有理数范围内仍然适用的验证活动一样，从复习有理数的乘法运算开始，由问题“在含有负数的乘法运算中，乘法交换律，结合律和分配律还成立吗？”引发学生思考。 观察下列各有理数乘法，从中可得到怎样的结论 (1)(6)(7)= (7)(6)= (2)(3)(5)2 = (3)(5)2= (3)(4)(35)= (4)(3)(4)5= 结论？ (4)请学生再举几组数试一试，看上面所得的结论是否成立？例如对扑克牌上数字的正负规定(黑正， 红负)， 用抽两张扑克牌的方法验证有理数乘法运算律。 2.有理数乘法运算律 交换律 ab=ba 结合律 ( ab)c=a(bc) 分配律 a(bc)=abac 二、问题讲解 问题 1.计算： （1）8(32)(0.125) （2）)()()(9141531793170 （3）(1276521)(36) （4）)()()()()()(7251272577255 39 练一练： 2 问题 2计算 (1)99171620 (2)( 992524)5 练一练：(1)(28)99 (2)( 5181)9 问题 3.计算 (1)881 (2)(4)(41) (3)(87)(78) 互为倒数的意义_ 倒数等于本身的数是 ;绝对值等于本身的数是 ;相反数等于本身的数是 . 练一练：1 【知识巩固】 1运用运算律填空 （1）2()3 ()3 （_） （2）()3 2（4）()3 （_）（_） （3）()5 ()2 ()3 ()5 （_）（_）()3 2.选择题 （1）若 ab0 ,必有 ( ) A a0 B a0 ,b0 C a,b同号 D a,b 异号 （2）利用分配律计算98( 100) 9999时,正确的方案可以是 ( ) A 98(100) 9999 B 98(100) 9999 C 98(100) 9999 D 1( 101) 9999 3.运用运算律计算： （1）(25)(85)(4) （2） 14121816 40 （3）603760176057 （4） （100)(10321510.1) （5）(7.33)(42.07)(2.07)(7.33) （6）18231323423 4. 已知：互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值是 1， 求：3x(ab)cdx 的值 5. 定义一种运算符号的意义：ab=ab1， 求：2(3)、2(3)5的值 6. 有 6 张不同数字的卡片：3,2,0, 8, 5, 1,如果从中任取 3 张， (1)使数字的积最小，应如何抽？最小积是多少？ (2)使数字的积最大，应如何抽？最大积是多少？ 41 1.4 有理数的乘除法(3) 学习目标： 1.会将有理数的除法转化成乘法 2.会进行有理数的乘除混合运算 3.会求有理数的倒数 教学重点：正确进行有理数除法的运算，正确求一个有理数的倒数 教学难点：如何进行有理数除法的运算，求一个负数的倒数 教学过程： 一、复习引入： 1、倒数的概念； 2、说出下列各数对应的倒数：1、43、（4.5） 、|23| 3、现实生活中，一周内的每天某时的气温之和可能是正数，可能是0，也可能是负数，如盐城市区某一周上午8 时的气温记录如下： 周日 周一 周二 周三 周四 周五 周六 30c 30c 20c 3c 0c 2c 1c 问：这周每天上午 8 时的平均气温是多少？ 二、探索新知： 1、解： （3）+（3）+（2）+（3）+0+（2）+（1） 7， 即： （14）7=？ （除法是乘法的逆运算）什么乘以7 等于14？ 因为（2）7=14， 所以： （14）7=2 又因为： （14）71=2 所以： （14）7=（14）71 2、有理数除法法则 除以一个不等于 0 的数等于乘以这个数的倒数； 0 除以任何一个不等于 0 的数都等于 0 42 有此可见： “除以一个数，等于乘以这个数的倒数” ，在引进负数以后同样成立。 问题 1、计算： （1）36（9） （2） （48）（6） （2）0（8） （3） （21）（32） （4）0.25(0.5) (5)(2476)(6) （6） （32）4（8） （7）17（6）5 1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； 2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法； 3、有乘除混合运算时，注意运算顺序。先将除法转化为乘法，再进行乘法运算； 问题 2、计算： （1）48（6）4 （2） （81）4994（16） （3）52（252）281（143）0.75 问题 3、化简下列分数： 721，122，317 3、小结本节内容 （1）有理数的乘法法则及运算律 （2）有理数的除法法则 （3）与小学四则运算不同，有理数的加、减、乘、除首先要确定和、差、积、商的符号，然后在确定和、差、积、商的绝对值。 课后思考题： 1、计算： （721+343271187）（1521+743473387） 2、a、b、c、d 表示 4 个有理数，其中每三个数之和是1，3，2，17，求 a、b、c、d； 3、2001 减去它的21，再减去剩余数的31，再减去剩余数的41，依此类推， 43 一直减去剩余数的20011，求最后剩余的数 知识巩固： A 组题: 1、下列说法中，不正确的是 （ ） A.一个数与它的倒数之积为 1； B.一个数与它的相反数之商为-1； C.两数商为-1，则这两个数互为相反数； D.两数积为 1，则这两个数互为倒数； 2、下列说法中错误的是 （ ） A.互为倒数的两个数同号； B.零没有倒数； C.零没有相反数； D.零除以任意非零数商为 0 3、如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（ ） A.一定是负数； B.一定是正数； C.等于 0； D.以上都不是； 4、1.4 的倒数是 ； 若 a,b 互为倒数，则 2ab= ； 5、 若一个数和它的倒数相等， 则这个数是 ； 若一个数和它的相反数相等，则这个数是 ； 6、计算： （1） （-27）9； （2）-0.12583； （3） （-0.91）（-0.13） ； 44 （4）0（-351719） ； （5） （-23）（-3）13； （6）1.25（-0.5）（-212） ； （7） （-81）（+314）（-49）（-1113） ； （8） （-45）（-13）（-25）； （9） （13-56+79）（-118） ； （10）-32324（-112） 7、列式计算 （1）-15 的相反数与-5 的绝对值的商的相反数是多少？ （2）一个数的 413倍是-13，则此数为多少？ B 组: 1若0_0, 0baba，则 若0_0, 0baba，则 2若0_0, 0baba，则 若0_0, 0baba，则 3.=0，则一定有 （ ） A.n=0 且 m0； B.m=0或 n=0 ； C.m=0且 n0； D.m=n=0 4.果两个有理数的和除以它们的积，所得的商是0，那么这两个有理数 （ ） A.互为相反数，但不等于0 ； B.互为倒数 ； C.有一个等于 0 ； D.都等于0 5.数的相反数与这个数的倒数的和为0，则这个数的绝对值为 （ ） A.2 B.1 C.0.5 D.0 6.b0,则aa+bb的取值不可能是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.-2 7.aa+bb+cc=1，求（abcabc）2003（abbcbcacacab）的值。 45 1.5 有理数的乘方(1) 使用说明及方法指导： 学生先自学课本，经历自主探索总结的过程，并独立完成自主学习部分，然后小组讨论交流，预习时间20 分钟 学习目标 1、理解乘方的意义，探究有理数乘方的符号法则，会进行乘方的运算 2、通过合作交流及独立思考，培养学生正确迅速的运算及探究新知识的能力。 重点：乘方的意义及运算 难点：乘方的运算 一、自主学习： 1、复习巩固： 乘法运算的符号法则及运算方法： 多个不为 0 的数相乘，积的符号怎样确定？ 2、导学： （1）一般地，几个相同因数a相乘，即. .a aa，记作 ，读作 求 n 个相同因数的 ，叫作乘方，乘方的结果叫做 。 在na中，a叫做 ，n叫作 。当na看作a的n次方的结果时，也可读作 。 特别地一个数也可以看作这数本身的一次方，如 5 就是 5 的一次，即155，指数为 1 通常 不写。 （2）警示： 乘方是一种运算（乘法运算的特例） ，即求n个相同因数连乘的简便形式； 幂是乘方的结果，它不能单独存在，即没有乘方就无所谓幂； 乘方具有双重含义：既表示一种 ，又表示乘方运算的结果； 书写格式：若底数是负数、分数或含运算关系的式子时，必须要用 把底数括起来，以体现底数的整体性。 46 （3）拓展：底数为1，0，1，10，0.1 的幂的特性： ( 1)n 0n （n 为正整数） 1n (n 为整数) 101000n (1后面有_ 个 0), 0.1n=0.00 01 (1前面有_ 个 0) （4）乘方的符号法则： 负数的奇次幂是 数，负数的偶次幂是 数。 正数的任何次幂都是 数，0 的任何正整数次幂都是 。 （5）参照乘法运算的方法进行乘方运算。 （6）用计算器作乘方运算。 二、合作探究： 1、计算： 2010( 1) 5( 2) 38 3( 5) 41()2 4( 10) 3( 2) 223 2、2( 3) ；23_ 3、已知 n 是正整数，那么2( 1)n ，21( 1)n 4 、如果一个有理数的偶次幂是非负数，那么这个有理数是 。 A 、正数 B、负数 C、0 D、任何有理数 5、平方等于 9 的数是 ，立方等于 27 的数是 ，平方等于本身的数是 ，立方等于本身的数是 三、学以致用： 1、把333()444 写成乘方形式 。 2、计算：232 ，22()3 ，22( )3 3、下列运算正确的是 。 A、229( )32 B、3327()22 C、239()24 D、3327()28 4、若249x ，则x n 为奇数 n 为偶数 47 若327x ，则x 四、能力提升： 1、计算：23456789102222222222 2、232_， 3、观察下列数，根据规律写出横线上的数 12；34；58；716；_；第 2010 个数是_。 48 1.5 有理数的乘方(2) 学习目标： 1、熟练进行有理数的混合运算 2、及时纠正运算中的错误，进一步培养学生正确迅速的运算能力，培养学生严谨的学习态度 重难点：有理数的四则混合运算 一、自主学习： （一）复习回顾： 1、有理数的加、减、乘、除及乘方的运算法则 2、加入乘方后，有理数的混合运算的顺序如何？ （二）导学： 有理数的混合运算顺序： （1）先 ，再 ，最后 ； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做 的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 方法规律： （1）有理数运算分三级运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方（以后学习）是第 级运算。 运算顺序是：先算高级运算，再算 运算；同级运算，再按从左至右的顺序运算。 （2）在运算过程中注意运算律的运用 二、合作探究 1、计算： （1）3114( 2)1 1( 2 )425 49 （2）2233311( 12)674 (- ) （3）3232333519143()2( 1 )( )()251949252 (- ) 2、观察下面行数： -3，9，-27，81，-243，729， 0，12，-24，84，-240，732， -1，3，-9，27，-81，243， （1）第行数有什么规律？ （2）第行数与第行数有什么关系？ （3）第行数与第行数有什么关系？ （3）取每行数的第 10 个数，计算这三个数的和 三、学习致用： 1、计算： 223311233( 3)3( )2 2、x、y为有理数，且212(3)0xy ，求2232xxyy的值； 50 3、20092010(0.25)4 4、一根 1 米长的绳子，第一次剪去12，第二次剪去剩下的12，如此剪下去，第六次后剩下的绳子还有 1 厘米长吗？为什么？ 四、能力提升 已知22(1)0abb 试求1111(1)(1)(2)(2)(3)(3)abababab的值