文档仅供参考 文档仅供参考 九年级上学期数学课时练习题 21.3 二次函数与一元二次方程 一、精心选一选 1下列抛物线中, 与 x 轴有两个交点的是（ ） A. y3x25x+ 3 B. y4x212x+ 9 C. yx22x+ 3 D. y2x2+ 3x4 2函数 ykx26x+ 3 的图象与 x 轴有交点, 则 k 的取值范围是（ ） A. k3 B. k3 且 k0 C. k3 D. k3 且 k0 3已知抛物线 yax22x+ 1 与 x 轴没有交点,那么该抛物线的顶点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4已知二次函数 yx23x+ m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1, 0）, 则关于 x 的一元二次方程 x23x+ m0 的两实数根是（ ） A. x11, x21 B. x11, x22 C. x11, x20 D. x11, x23 5下列关于二次函数 yax22ax+ 1（a1）的图象与 x 轴交点的判断, 下确的是（ ） A. 没有交点 B. 只有一个交点, 且它位于 y 轴右侧 C. 有两个交点, 且它们均位于 y 轴左侧 D. 有两个交点, 且它们均位于 y 轴右侧 6如图, 已知抛物线 yax2+ bx+ c 与 x 轴的一个交点为 A（1,0）, 对称轴为直线 x1,则方程 ax2+ bx+ c0 的解是（ ） A. x13, x21 B. x13, x21 C. x3 D. x2 7已知抛物线 y16x2+32x+ 6 与 x 轴交于点 A, 点 B, 与 y 轴交于点 C. 若 D 为 AB 的中点, 则 CD的长为（ ） A.154 B.92 C.132 D.152 8如图, 二次函数 yax2+ bx+ c 的图象与 x 轴相交于（2,0）和 （4,0）两点,当函数值 y0 时, 自变量 x 的取值范围是（ ） A.x2 B. 2x4 C. x0 D. x4 9二次函数 ya( x4)24（a0）的图象在 2x3 这一段位于 x 轴的下方, 在 6x7 这一段位于 x 轴的上方, 则 a 的值为（ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 10. 如图, 已知顶点为（3, 6）的抛物线 yax2+ bx+ c 经过点 （1,4）,则下列结论中错误的是（ ） A. b24ac B. ax2+ bx+ c6 C. 若点（2, m）, （5, n）在抛物线上, 则 mn D. 关于 x 的一元二次方程 ax2+ bx+ c4 的两根为5 和1 二、细心填一填 11. 一元二次方程 ax2+ bx+ c0 的根就是抛物线 yax2+ bx+ c 与直线文档仅供参考 文档仅供参考 _的交点的_坐标. 12. 抛物线 y3( x2)(x+ 5) 与 x 轴的交点坐标为_. 13. 已知二次函数 yx2+ 2mx+ 2, 当 x2 时, y 的值随 x 的增大而增大, 则实数 m 的取值范围是_. 14. 若关于 x 的函数 ykx2+ 2x1 的图象与 x 轴仅有一个公共点, 则实数 k 的值为_. 15. 已知关于 x 的函数 y( m+ 6) x2+ 2( m1) x+ m+ 1 的图象与 x 轴有交点, 则 m 的取值范围为_. 16. 二次函数 yax22ax+ 3 的图象与 x 轴有两个交点, 其中一个交点坐标为 （1, 0） , 则一元二次方程 ax22ax+ 30 的解为_. 17. 抛物线 yx22x3 在 x 轴上截得的线段长度是_. 18. 关于x的一元二次方程ax23x10的两个不相等的实数根都在1和0之间 （不包括1和0） ,则 a 的取值范围是_. 三、解答题（本题共 8 小题,第 19 题 8 分；第 20、21 每小题各 10 分；第 22、 23 每小题各 12 分；第 24 题 14 分共 66 分） 19. 已知抛物线 y(xm)2(xm),其中 m 是常数. （1）求证：不论 m 为何值,该抛物线与 x 轴一定有两个公共点； （2）若该抛物线的对称轴为直线 x52. 求该抛物线的函数解析式； 把该抛物线沿 y 轴向上平移多少个单位长度后, 得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点. 20. 已知二次函数 yx2+ 2x+ m . （1）如果二次函数的图象与 x 轴有两个交点, 求 m 的取值范围； （2）如图, 二次函数的图象过点 A（3, 0）, 与 y 轴交于点 B, 直线 AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点 P, 求点 P 的坐标. 21. 如图, 抛物线 yx2+ bx+ c 经过点 A（1, 0）, B（3, 0）. 请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）点 E（2,m）在抛物线上,抛物线的对称轴与 x 轴交于点 H,点 F 是 AE 中点, 连接 FH, 求线段FH 的长. 文档仅供参考 文档仅供参考 22. 如图, 已知二次函数 yax2+bx+c 的图象过 A（2,0）,B（0,1）和 C（4,5）三点. （1）求二次函数的表达式； （2）设二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 D,求点 D 的坐标； （3） 在同一坐标系中画出直线 yx+1,并写出当 x 在什么范围内时, 一次函数的值大于二次函数的值. 23. 已知函数 ymx26x+1（m 是常数）. （1）求证：不论 m 为何值,该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点； （2）若该函数的图象与 x 轴只有一个交点,求 m 的值. 文档仅供参考 文档仅供参考 24. 如图所示, 抛物线与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C 点,点 A 的坐标为 （2,0） ,点 C 的坐标为 （0,3） ,抛物线的对称轴是直线 x12. （1）求抛物线的解析式； （2）M 是线段 AB 上的任意一点,当MBC 为等腰三角形时,求点 M 的坐标. 文档仅供参考 文档仅供参考 21.3 二次函数与一元二次方程课时练习题 参考答案 一、精心选一选 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B D A B A C 1下列抛物线中, 与 x 轴有两个交点的是（ ） A. y3x25x+ 3 B. y4x212x+ 9 C. yx22x+ 3 D. y2x2+ 3x4 解答：A. y3x25x+3,(5)243390,抛物线与 x 轴没有交点,故 A 错误； B. y4x212x+9,(12)24490,抛物线与 x 轴有一个交点,故 B 错误； C. yx22x+3,(2)241380,抛物线与 x 轴没有交点,故 C 错误； D. y2x2+3x4,3242(4)410,抛物线与 x 轴有两个交点,故 D 正确, 故选：D. 2函数 ykx26x+ 3 的图象与 x 轴有交点, 则 k 的取值范围是（ ） A. k3 B. k3 且 k0 C. k3 D. k3 且 k0 解答：函数 ykx26x+3 的图象与 x 轴有交点, 当 k0 时,(6)24k30,解得：k3, 当 k0 时,函数 ykx26x+3 为一次函数,则它的图象与 x 轴有交点, 综合上述：k 的取值范围是 k3, 故选：C. 3已知抛物线 yax22x+ 1 与 x 轴没有交点,那么该抛物线的顶点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解答：抛物线 yax22x+1 与 x 轴没有交点, (2)24a10,且 a0, 解得：a1, 22a1a0,241 ( 2)4aa 11a0, 抛物线顶点在第四象限, 故选：D. 4已知二次函数 yx23x+ m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1, 0）, 则关于 x 的一元二次方程 x23x+ m0 的两实数根是（ ） A. x11, x21 B. x11, x22 C. x11, x20 D. x11, x23 解答：抛物线 yx23x+m 的对称轴是 x32,且与 x 轴的一个交点为（1,0）, a1,抛物线的开口向上, 抛物线与 x 轴的另一个交点为（2,0）, 一元二次方程 x23x+ m0 的两实数根是 x11, x22, 故选：B. 5下列关于二次函数 yax22ax+ 1（a1）的图象与 x 轴交点的判断, 下确的是（ ） A. 没有交点 B. 只有一个交点, 且它位于 y 轴右侧 文档仅供参考 文档仅供参考 C. 有两个交点, 且它们均位于 y 轴左侧 D. 有两个交点, 且它们均位于 y 轴右侧 解答：当 y0 时,ax22ax+ 10, a1,4a24a4a(a1) 0, 方程 ax22ax+ 10 有两个实数根,则抛物线与 x 轴有两个交点, x24 (1)2aa aa0, 抛物线与 x 轴的两个交点均在 y 轴的右侧, 故选：D. 6如图, 已知抛物线 yax2+ bx+ c 与 x 轴的一个交点为 A（1,0）, 对称轴为直线 x1,则方程 ax2+ bx+ c0 的解是（ ） A. x13, x21 B. x13, x21 C. x3 D. x2 解答：由图象可知：抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3,0）, 方程 ax2+ bx+ c0 的解是 x13, x21, 故选：A. 7已知抛物线 y16x2+32x+ 6 与 x 轴交于点 A, 点 B, 与 y 轴交于点 C. 若 D 为 AB 的中点, 则 CD的长为（ ） A.154 B.92 C.132 D.152 解答：解方程16x2+32x+ 60 得 x112,x23, A、B 两点坐标分别为（12,0） 、 （3,0）, D 为 AB 的中点, D（4.5,0）, OD4.5, 当 x0 时,y6, OC6, CD224.56152, 故选：D. 8如图, 二次函数 yax2+ bx+ c 的图象与 x 轴相交于（2,0）和 （4,0）两点,当函数值 y0 时, 自变量 x 的取值范围是（ ） A.x2 B. 2x4 C. x0 D. x4 解答：当函数值 y0 时, 二次函数图象在 x 轴的上方, 当2x4 时, y0, 即自变量 x 的取值范围是2x4 , 故选：B. 9二次函数 ya( x4)24（a0）的图象在 2x3 这一段位于 x 轴的下方, 在 6x7 这一段文档仅供参考 文档仅供参考 位于 x 轴的上方, 则 a 的值为（ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 解答：抛物线 ya(x4)24（a0）的对称轴为直线 x4, 而抛物线在 6x7 这一段位于 x 轴的上方, 抛物线在 1x2 这一段位于 x 轴的上方, 抛物线在 2x3 这一段位于 x 轴的下方, 抛物线过点（2,0）, 把（2,0）代入 ya(x4)24（a0）得 4a40,解得 a1 故选：A 10. 如图, 已知顶点为（3, 6）的抛物线 yax2+ bx+ c 经过点 （1,4）,则下列结论中错误的是（ ） A. b24ac B. ax2+ bx+ c6 C. 若点（2, m）, （5, n）在抛物线上, 则 mn D. 关于 x 的一元二次方程 ax2+ bx+ c4 的两根为5 和1 解答：由图象可知：抛物线与 x 轴有两个交点, b24ac0,则 b24ac,故 A 正确； 抛物线开口向上,且顶点坐标为（3,6）, 函数 y 的最小值是6,则 ax2+bx+c6,故 B 正确； 抛物线的对称轴为直线 x3, 点（2,m）离对称轴的距离比点（5,n）离对称轴距离近, mn,故 C 错误； 根据抛物线的对称性可知： （1,4）关于对称轴对称的对称称点为（5,4）, 一元二次方程 ax2+ bx+ c4 的两根为5 和1,故 D 正确, 故选：C. 二、细心填一填 11. x0, 横； 12. （2,0）,（5,0） ； 13. m2； 14. k0 或 k1； 15. m59； 16. x11, x23； 17. 4； 18. 94a2. 11. 一元二次方程 ax2+ bx+ c0 的根就是抛物线 yax2+ bx+ c 与直线_的交点的_坐标. 解答：一元二次方程 ax2+ bx+ c0 的根就是抛物线 yax2+ bx+ c 与直线 x0 的交点的横坐标, 故答案为：x0, 横. 12. 抛物线 y3( x2)(x+ 5) 与 x 轴的交点坐标为_. 解答：令 y0,则3(x2)(x+5)0, 解这个方程得：x12,x25, 此抛物线与 x 的交点坐标为（2,0）,（5,0）, 故答案为： （2,0）,（5,0）. 13. 已知二次函数 yx2+ 2mx+ 2, 当 x2 时, y 的值随 x 的增大而增大, 则实数 m 的取值范围是_. 解答：a10,抛物线开口向上, 又当 x2 时, y 的值随 x 的增大而增大, 文档仅供参考 文档仅供参考 22 1m2, 解得 m2, 故答案为：m2. 14. 若关于 x 的函数 ykx2+ 2x1 的图象与 x 轴仅有一个公共点, 则实数 k 的值为_. 解答：当 k0 时,此函数为一次函数,则直线 y2x1 与 x 轴只有一个公共点； 当 k0 时,224k(1)0,解得 k1,此时抛物线与 x 轴只有一个公共点, 综合上述,实数 k 的值为 k0 或 k1, 故答案为：k0 或 k1. 15. 已知关于 x 的函数 y( m+ 6) x2+ 2( m1) x+ m+ 1 的图象与 x 轴有交点, 则 m 的取值范围为_. 解答：当 m+60,即 m6 时,此函数为一次函数,这时图象必与 x 轴有交点； 当 m+60,即 m6 时,4(m1)24(m+6)(m+1)2036m0, 解得 m59, 综合上述,m 的取值范围是 m59, 故答案为：m59. 16. 二次函数 yax22ax+ 3 的图象与 x 轴有两个交点, 其中一个交点坐标为 （1, 0） , 则一元二次方程 ax22ax+ 30 的解为_. 解答：抛物线 yax22ax+ 3 的对称轴为直线 x22aa1, 抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（1,0）, 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3,0）, 一元二次方程 ax22ax+ 30 的解为 x11, x23, 故答案为：x11, x23. 17. 抛物线 yx22x3 在 x 轴上截得的线段长度是_. 解答：设抛物线与 x 轴的交点分别为（x1,0）,（x2,0）, 则 x1+x22,x1x23, 12xx21212()4xxx x164, 即此抛物线在 x 轴上截得的线段长度为 4, 故答案为：4. 18. 关于x的一元二次方程ax23x10的两个不相等的实数根都在1和0之间 （不包括1和0） ,则 a 的取值范围是_. 解答：关于 x 的一元二次方程 ax23x10 的两个不相等的实数根, (3)24a（4）0, 解得：a94, 设 yax23x1,则可画出图象如图, 实数根都在1 和 0 之间, 132a0, 文档仅供参考 文档仅供参考 解得 a32, 由图象可知：当 x1 时,y0,当 x0 时,y0, 即 a(1)23(1)10,10, 解得 a2, 94a2, 故答案为：94a2. 三、解答题 19. 已知抛物线 y(xm)2(xm),其中 m 是常数. （1）求证：不论 m 为何值,该抛物线与 x 轴一定有两个公共点； （2）若该抛物线的对称轴为直线 x52. 求该抛物线的函数解析式； 把该抛物线沿 y 轴向上平移多少个单位长度后, 得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点. 解答： （1）证明：y(xm)2(xm)x2(2m+1)x+m2+m, (2m+1)24(m2+m)10, 不论 m 为何值,该抛物线与 x 轴一定有两个公共点； （2）解：x(21)2m52, m2, 抛物线解析式为 yx25x+6； 设抛物线沿 y 轴向上平移 k 个单位长度后,得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点,则平移后抛物线解析式为 yx25x+6+k, 抛物线 yx25x+6+k 与 x 轴只有一个公共点, 524(6+k)0, k14, 即把该抛物线沿 y 轴向上平移14个单位长度后,得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点 20. 已知二次函数 yx2+ 2x+ m . （1）如果二次函数的图象与 x 轴有两个交点, 求 m 的取值范围； （2）如图, 二次函数的图象过点 A（3, 0）, 与 y 轴交于点 B, 直线 AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点 P, 求点 P 的坐标. 解答： （1）二次函数的图象与 x 轴有两个交点, 22+4m0 m1, 文档仅供参考 文档仅供参考 即 m 的取值范围是 m1； （2）二次函数的图象过点 A（3,0）, 09+6+m m3, 二次函数的解析式为：yx2+2x+3, 令 x0,则 y3, B（0,3）, 设直线 AB 的解析式为：ykx+b, 303kbb,解得：13kb , 直线 AB 的解析式为：yx+3, 抛物线 yx2+2x+3,的对称轴为：x1, 把 x1 代入 yx+3 得 y2, P（1,2） 21. 如图, 抛物线 yx2+ bx+ c 经过点 A（1, 0）, B（3, 0）. 请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）点 E（2,m）在抛物线上,抛物线的对称轴与 x 轴交于点 H,点 F 是 AE 中点, 连接 FH, 求线段FH 的长. 解答： （1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（1,0）,B（3,0）, 10930bcbc ,解得：23bc , 抛物线的解析式为：yx22x3； （2）点 E（2,m）在抛物线上, m4433, E（2,3）, BE22(32)(03)10, 点 F 是 AE 中点,抛物线的对称轴与 x 轴交于点 H,即 H 为 AB 的中点, FH 是三角形 ABE 的中位线, FH12BE1210102 22. 如图, 已知二次函数 yax2+bx+c 的图象过 A（2,0）,B（0,1）和 C（4,5）三点. （1）求二次函数的表达式； 文档仅供参考 文档仅供参考 （2）设二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 D,求点 D 的坐标； （3） 在同一坐标系中画出直线 yx+1,并写出当 x 在什么范围内时, 一次函数的值大于二次函数的值. 解答： （1）二次函数 yax2+bx+c 的图象过 A（2,0）,B（0,1）和 C（4,5）三点, 42011645abccabc ,解得：12121abc , 二次函数的表达式为 y12x212x1； （2）当 y0 时,则12x212x10, 解得：x12,x21, 点 D 的坐标为（1,0） ； （3）图象如图所示,当1x4 时, 一次函数的值大于二次函数的值. 23. 已知函数 ymx26x+1（m 是常数）. （1）求证：不论 m 为何值,该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点； （2）若该函数的图象与 x 轴只有一个交点,求 m 的值. 解答： （1）令 x0,则 y1, 故不论 m 为何值,该函数的图象都经过 y 轴上的定点（0,1） ； （2）当 m0 时,函数 ymx26x+1 为 y6x+1, 函数 y6x+1 图象为一条直线, 此时函数图象与 x 轴只有一个交点； 当 m0 时, 函数 ymx26x+1 与 x 轴只有一个交点, 方程 mx26x+10 有两个相等的实数根, 文档仅供参考 文档仅供参考 (6)24m0, 解得：m9, 综合上述,该函数的图象与 x 轴只有一个交点时,m 的值为 0 或 9. 24. 如图所示, 抛物线与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C 点,点 A 的坐标为 （2,0） ,点 C 的坐标为 （0,3） ,抛物线的对称轴是直线 x12. （1）求抛物线的解析式； （2）M 是线段 AB 上的任意一点,当MBC 为等腰三角形时,求点 M 的坐标. 解答： （1）设抛物线的解析式为 ya(x+12)2+k, 把（2,0）,（0,3）代入上式得：2504134akak, 解得：a12, k258, y12(x+12)2+258,即 y12x212x+ 3, （2）令 y0, 则12x212x+ 30, 解得：x12, x23, B（3, 0）, 当 CMBM 时, BOCO3, 即BOC 是等腰直角三角形, 当 M 点在坐标原点 O 处时, MBC 是等腰三角形, M（0, 0） ； 当 BCBM 时, 在 RtBOC 中, BOCO3, 由勾股定理得：BC22OCOB32, BM32, M（323, 0）, 综合上述, 点 M 的坐标为（0, 0）或（323, 0）. 文档仅供参考 文档仅供参考 （22.1 比例线段） 一、精心选一选 1若yx34, 则xyx的值为（ ） A. 1 B.47 C.54 D.74 2下列判断正确的是（ ） A. 所有的等腰三角形都相似 B. 所有的等腰直角三角形都相似 C. 所有的矩形都相似 D. 所有的菱形都相似 3在比例尺为1： 5000的地图上, 量得甲、 乙两地的距离为25cm, 则甲、 乙两地间的实际距离是 （ ） A. 1250km B. 125km C. 12.5km D. 1.25km 4如果 a3, b2, 且 b 是 a 和 c 的比例中项, 那么 c 等于（ ） A. 23 B.23 C.43 D. 43 5下列长度的各组线段中, 能组成比例线段的是（ ） A. 2, 5, 6, 8 B. 3, 6, 9, 18 C. 1, 2, 3, 4 D. 3, 6, 7, 9 6如图, 已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点（其中 ACBC）, 则下列结论中正确的是（ ） A. AB2AC2+ BC2 B. BC2AC BA C.BCAC512 D.ACBC 512 7如图, 直线 l1l2l3,直线 AC 分别交 11,l2,l3于点 A、 B、 C,直线 DF 分别交 11,l2,l3于点 D、 E、 F,AC与 DF 相交于点 G,且 AG2,GB1,BC5,则DEEF的值为（ ） A.12 B. 2 C.25 D.35 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 8如图, 在ABC 中, DEBC, AD6, DB3, AE4, 则 EC 的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9如图, AB 与 CD 相交于点 O,ABCD,若 AO2,DO3,BC6,则 CO 等于（ ） A. 2.4 B. 3 C. 3.6 D. 4 10. 如图, ABC 中, 若 DEBC, EFAB, 则下列比例式正确的是（ ） A.AEECBFFC B.ADDBDEBC C.BFBCEFAD D.EFABDEBC 二、细心填一填 11. 已知4c5b6a0, 则bca的值为_. 12. 已知xy23, 则xyxy_. 文档仅供参考 文档仅供参考 13. 已知实数 x、y、z 满足 x+y+z0,3xy2z0,则 x：y：z_. 14. 如图, ABC中, 点D、 E分别在边AB、 BC上, DEAC. 若BD4, AD2,BC5, 则EC_. 15. 如图, 点 D 是ABC 边 BC 上的中点,点 E 在边 AC 上,且AEEC13,AD 与 BE 相交于点 O,则AOOD_. 第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图 16. 如图, 已知ABC 中, D 为 BC 中点, E, F 为 AB 边三等分点, AD 分别交 CE, CF 于点 M, N, 则 AM：MN：ND 等于_. 三、解答题 17. 已知 a, b, c 为ABC 的三边长, 且 a+ b+ c36,3a4b5c, 求ABC 的三边长. 18. 如图, 已知 D 为ABC 的边 AC 上的一点, E 为 CB 的延长线上的一点, 且EFFDACBC. 求证：ADEB. 19. 如图, 已知 E 为平行四边形 ABCD 的边 AB 的延长线上的一点, DE 分别交 AC、BC 于 G、F, 试说明：DG 是 GE、GF 的比例中项. 文档仅供参考 文档仅供参考 20. 已知：如图, D 为ABC 的边 AC 上一点, 且ADDC23, E 为 BD 的中点, 连接 AE 并延长交 BC 于点 F, 求BFBC的值. 21. 已知：如图, 四边形 ABCD 是平行四边形, E 是 AB 延长线上一点, DE 交 BC 于点 G, GFAE 交CE 于点 F. 求证：EF AEBE EC. 22. 如图, 在ABC 中, AB1, AC2, BAC 的平分线交 BC 于点 E, 取 BC 的中点 D, 作 DFAE 交AC 于点 F. 求 CF 的长. 文档仅供参考 文档仅供参考 23. 如图, 已知在ABC 中, ABC2C, ADBC 于点 D, E 为 BC 的中点, 连接 AE, ABC 的平分线 BF 交 AC 于点 F. 求证：AB2DE.