2.4.2 2.4.2 平面向量数量积的坐标平面向量数量积的坐标表示、模、夹角表示、模、夹角 2.4 2.4 平面向量的数量积平面向量的数量积 第二章第二章 平面向量平面向量问题提出问题提出1.1.向量向量a与与b的数量积的含义是什么？的数量积的含义是什么？ ab=| |a|b| |cos. 其中其中为向量为向量a与与b的夹角的夹角 2.2.向量的数量积具有哪些运算性质？向量的数量积具有哪些运算性质？ （1）ab ab0(a0，b0)；（2）a2a2；（3）abba；（4）(a)b(ab)a(b)；（5）(ab)cacbc；（6）abab.3.3.平面向量的表示方法有几何法和坐标平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变表示方式也会改变. .向量的坐标表示，对向量的坐标表示，对向量的加、减、数乘运算带来了很大的向量的加、减、数乘运算带来了很大的方便方便. .若已知向量若已知向量a与与b的坐标，则其数量的坐标，则其数量积是唯一确定的，因此，如何用坐标表积是唯一确定的，因此，如何用坐标表示向量的数量积就成为我们需要研究的示向量的数量积就成为我们需要研究的课题课题. . 探究（一）：探究（一）：平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示 思考思考1 1：设设i、j是分别与是分别与x x轴、轴、y y轴同向的轴同向的两个单位向量，若两个非零向量两个单位向量，若两个非零向量a(x(x1 1，y y1 1),),b(x(x2 2，y y2 2) )，则向量，则向量a与与b用用i、j分分别别如何表示？如何表示？ax x1 1iy y1 1j，bx x2 2iy y2 2j.思考思考2 2：对于上述向量对于上述向量i、j，则，则i2，j2，ij分别等于分别等于什么？什么？ i2=1 1，j2=1 1，ij=0. 0. 思考思考3 3：根据数量积的运算性质，根据数量积的运算性质，ab等等于什么？于什么？ 思考思考4 4：若若a(x(x1 1，y y1 1),),b(x(x2 2，y y2 2) )，则，则abx x1 1x x2 2y y1 1y y2 2，这就是平面向量数量积，这就是平面向量数量积的坐标表示的坐标表示. .你能用文字描述这一结论吗你能用文字描述这一结论吗？ abx x1 1x x2 2y y1 1y y2 2 两两个个向向量量的的数数量量积积等等于于它它们们对对应应坐坐标标的的乘积的和乘积的和.思考思考5 5：如何利用数量积的坐标表示证明如何利用数量积的坐标表示证明(ab)cacbc？ 探究（二）：探究（二）：向量的模和夹角的坐标表示向量的模和夹角的坐标表示 思考思考1 1：设向量设向量a(x(x，y)y)，利用数量积，利用数量积的坐标表示，的坐标表示，a等于什么？等于什么？ 思考思考2 2：如果表示向量如果表示向量a的有向线段的起点的有向线段的起点和终点的坐标分别为和终点的坐标分别为(x(x1 1，y y1 1), (x), (x2 2，y y2 2) )，那么向量那么向量a的坐标如何表示？的坐标如何表示？a等于什等于什么？么？ a a(x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1) )； a 思考思考3 3：设向量设向量a(x(x1 1，y y1 1),),b(x(x2 2，y y2 2) )，若若ab，则，则x x1 1，y y1 1，x x2 2，y y2 2之间的关系如何之间的关系如何？反之成立吗？反之成立吗？ 思考思考4 4：设设a、b是两个非零向量，其夹角是两个非零向量，其夹角为为，若，若a(x(x1 1，y y1 1),),b(x(x2 2，y y2 2) )，那么，那么coscos如何用坐标表示？如何用坐标表示？ ab x x1 1x x2 2y y1 1y y2 20 0. 例例1 1 已知向量已知向量a(4(4，3),3),b( (1 1，2), 2), 求求: : (1) (1) ab； (2) (2) (a2b)(ab)； (3) |(3) |a| |2 24 4ab. .理论迁移理论迁移(1) 2(1) 2；（；（2 2）1717；（；（3 3）3. 3. 例例2 2 已知点已知点A A（1 1，2 2）,B,B（2 2，3 3）, ,C(C(2 2，5)5)，试判断，试判断ABCABC的形状，并给的形状，并给出证明出证明. . ABCABC是直角三角形是直角三角形 例例3 3 已知向量已知向量a(5(5，7)7)，b ( (6 6，4)4)，求向量，求向量a 与与b的的夹角夹角（精确到（精确到1 1）. . coscos0.030.03，9292. . 例例4 4 已知向量已知向量a(，2)2)，b( (3 3，5)5)，若向量，若向量a 与与b的夹角为钝角，的夹角为钝角，求求的取值范围的取值范围. . 例例5 5 已知已知b(1(1，1)1)，ab3 3，| |ab| |2 2，求，求| |a|. |. 小结作业小结作业2.2.若非零向量若非零向量a 与与b的夹角为锐角（钝角）的夹角为锐角（钝角），则，则ab0 0（0 0），反之不成立），反之不成立. . 1 1. .ab ab 二者有着本二者有着本质区别质区别. . 3.3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在联系，解析几何中与角度、距何的内在联系，解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题，可以考虑离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用向量方法来解决用向量方法来解决. .